Documento 407654

Definición de función polinómica:
Función polinómica f es toda función de dominio el conjunto de los números reales, tal
que la imagen de cada número real x es:
f: R→R = an x n + an-1 x n-1 + an-2 x n-2 + …. + a3 x 3 + a2 x 2 + a1 x + a0
Definición de polinomio:
Polinomio de variable real x, es toda expresión de la forma:
P(x) = an x n + an-1 x n-1 + an-2 x n-2 + …. + a3 x 3 + a2 x 2 + a1 x + a0
con an , an-1 , an-2 , … a3 , a2 , a1 , a0 números reales y n natural.
Destacamos:






P(x)= an x n + an-1 x n-1 + an-2 x n-2 + …. + a3 x 3 + a2 x 2 + a1 x + a0 indica que el
nombre del polinomio es P(x).
an , an-1 , an-2 , … a3 , a2 , a1 , a0 se denominan coeficientes del polinomio
el subíndice i de ai , indica que ai es el coeficiente de xi , (i es un natural que varía
entre 0 y n).
x es la variable independiente
el polinomio P(x) está ordenado según las potencias decrecientes de x
al conjunto de todos los polinomios lo notaremos P(x)
Símbolo de sumatoria.
i 5
 2i 
i 0
i 7
 (3i  1) 
i 3
i 12
 (i  2)
2

i 9
i 3
2
i

i 0
Continuamos con polinomios....
Observemos que para escribir un polinomio se suma el mismo patrón (ai x i ).El molde (ai x i ) representa todos y cada uno de los términos del polinomio y para
indicar su suma puede utilizarse:
i n
a x
i
i
 División Entera
i 0
Dividir un polinomio P(x) (dividendo) por otro D(x) (divisor), con D(x) no nulo, es
encontrar otros dos polinomios Q(x) (cociente), y R(x) (resto) que verifiquen:

P(x) = D(x) . Q(x) + R(x)
 gr R(x) < gr D(x) o R(x) es nulo
Se demuestra que estos dos polinomios Q(x) , y R(x) son únicos.Método de coeficientes indeterminados
Dos polinomios se llaman idénticos cuando constan de los mismos términos con
iguales coeficientes, es decir, cuando la diferencia de ambos polinomios es un
polinomio idénticamente nulo.Una de las aplicaciones mas importantes que tiene este principio es el método de
coeficientes indeterminados es que resuelve el problema siguiente: hallar una o varias
expresiones literales, de grado y forma prefijados, que sometidas a ciertas operaciones,
den un resultado conocido.Ejercicios:
 Determinar cociente y resto de dividir P(x)= 2x3 + 3x2 – 5x + 4 entre D(x)= x2 + 2x– 3
 ¿Qué polinomio dividido por D(x)= 3x2 + 2x – 1 da por resto R(x) = 2x+6 y cociente
Q(x) = 2x2 + 5x – 3?
 ¿Qué polinomio elevado al cuadrado da P(x)= x4 - 4x3 + 10x2 – 12x + 9?
División por (x-α) y Esquema de Ruffini.Es el caso en particular de que D(x) = (x-α), la división queda planteada en los
siguientes términos:
 P(x) = (x-α) . Q(x) + R
Demostración efectuada en clase.Ejercicio 1
Determinar cociente y resto de dividir:
 P(x)= 2x4 - 2x3 + 5x2 – 3x + 9 entre D(x) = (x-2)
 P(x)= 3x4 - x3 + 2x2 – 3x + 5 entre D(x) = (x-1)
 P(x)= - 2x3 + 3x2 – 4x + 1 entre D(x) = (x+2)
 P(x)= x4 + 3x2 – 4 entre D(x) = (x+1)
 Verificar las operaciones anteriores.Ejercicio 2
 Dado P(x)= 2x4 - x3 + 2x2 +ax + 3 , determinar “a” para que al dividirlo entre
D(x)= (x-2) de por resto 5
 Dado P(x)= -3x4 -2x3 + 4x2 +ax + 1 , determinar “a” para que al dividirlo entre
D(x)= (x+3) de por resto 1
 Dado P(x)= x4 - x3 + ax + 3, determinar “a” para que sea divisible entre
D(x)=(x-2)
 Dado P(x)= 3x4 -2 x3 + ax + 3, determinar “a” para que sea divisible entre
D(x)=(x+1)
 Dado P(x)= 3x3 -5 x2 + ax + b, determinar “a” y “b”, sabiendo que es divisible
entre (x-1) y al dividirlo por (x-2) da por resto 9. Dado P(x)= 2x3 + ax2 + bx + 1, determinar “a” y “b”, sabiendo que al dividirlo
por (x-2) da por resto 27, y al dividirlo por (x+1) da por resto 6.Teorema del Resto
El valor numérico que toma un polinomio P(x), para x = α es igual al resto de la
división por (x - α).- En otras palabras el resto r = P(α)
Demostración en clase
Teorema de Descartes
La condición necesaria y suficiente para que un polinomio P(x), sea divisible por un
binomio del tipo (x - α) es que P(α) = 0
Demostración en clase.
Ejercicios
 Determinar los valores de “a” del ejercicio 2 aplicando los teoremas del resto y
de Descartes. Sea P(x)= 2x3 - 4x2 +ax + b , determinar “a” y “b” sabiendo que al dividirlo por
(x+1) da por resto -8 y al dividirlo por (x-2) da por resto 13
 Sea P(x)= 3x3 - 4x2 +ax + b , determinar “a” y “b” sabiendo que al dividirlo por
(x -3) da por resto -31 y al dividirlo por (x + 2) da por resto -29
Raíz de un polinomio
Se llama raíz de un polinomio a aquellos valores de la variable “x”, para los cuales el
valor numérico del polinomio vale cero.- O sea que si α, es raíz de P(x), significa que
P(α) = 0
Las siguientes afirmaciones tienen el mismo significado:
 P(α) = 0
 P(x) es divisible por (x-α)
α es raíz de P(x)

(x-α) / P(x)

Hallar las raíces de P(x) significa resolver la ecuación P(x)= 0