ACTIVIDAD 22: (T/P) La integral indefinida

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL PARA INGENIERÍA
ORIENTACIONES
ACTIVIDAD 22: (T/P) La integral indefinida
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Introducción.
Primitivas o antiderivadas.
La integral indefinida. Representación geométrica y propiedades.
Integrales inmediatas.
Integración por completamiento de diferencial.
Integrando con DERIVE.
1. Introducción
La primera parte del curso ha estado caracterizada por la operación derivación así como la
aplicación de la derivada en la resolución de diversos problemas.
Esta operación posee lo que pudiera llamarse una operación inversa o una antioperación, de
forma similar como ocurre con los procesos elevar al cuadrado y extraer raíces. Y de la
misma manera que elevar al cuadrado es una operación sencilla y no la extracción de raíces,
ocurre entre los procesos de derivar y realizar la operación de antiderivar (a la cual le
llamaremos más adelante proceso de integración).
A modo de ejemplo podemos plantearnos el siguiente: Supongamos ahora que lo que conocemos
del movimiento es precisamente la velocidad v = v(t) en cada momento y lo que queremos es encontrar el
espacio recorrido en cada instante de tiempo. Un biólogo que conoce la rapidez a la que una población
de bacterias está creciendo podría desear deducir de qué tamaño será la población en cualquier instante
de tiempo.
Evidentemente nos encontramos en presencia de un proceso inverso en alguna medida de lo
que hasta el momento hacíamos.
2. Primitivas o antiderivadas.
Comencemos definiendo lo que llamaremos primitiva o antiderivada de una función dada.
Definición
Una función P se llama primitiva o antiderivada de una función f en un intervalo I si la
derivada de P es f, esto es P´(x) = f(x) para todo x en I.
Ejemplos sencillos:
f (x)
cos x
P( x )
sen x
x2
x3 /3
ex
ex 1
1/ x
ln x
OBSERVACIONES
1. De la definición se sigue que P no es única.
2. Para que P´(x) exista se precisa la continuidad de P(x).
3. Una primitiva o antiderivada de una función dada no es única, por ejemplo una primitiva de
1 es
P( x )  arctan(x ) pero también lo es Q( x )  arctan(x )  2
f (x) 
1 x 2
4. No siempre es posible encontrar de inmediato primitivas de funciones dadas, por ejemplo si
ahora f ( x )  arctan(x ) no parece inmediato mostrar una primitiva, y sin embargo ésta
existe. Lo cual se verifica de inmediato:
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
ORIENTACIONES
1
Una Primitiva de f ( x )  arctan(x ) es P ( x )  x  arctan(x ) 
P ( x )  arctan( x ) 
Comprobemos;
P ( x )  f x  .
x
1 2x
,
  2
2
2 x 1
1 x


ln x 2  1
2
simplificando
se
obtiene
El problema reside en ¿CÓMO ENCONTRAR LA ANTIDERIVADA?
Uno de los objetivos que nos planteamos en esta y en las siguientes actividades está
relacionado con técnicas para la obtención de primitivas o antiderivadas
Ahora, como hemos observado, una función puede tener más de una primitiva, pero podemos
hacernos la pregunta: ¿Qué relación existe entre ellas?
TEOREMA
Si dos funciones P y Q son primitivas de una función f en un intervalo I entonces P(x) = Q(x) +C
(C constante) para todo x en I.
La demostración es inmediata
Como P es primitiva de f en I, se tiene P x   f x 
(1) para todo x en I
Como Q es primitiva de f en I se tiene Qx   f x 
(2) para todo x en I
Restando 1 y 2 se tiene Px   Qx   0 para todo x en I, en virtud de una de las consecuencias del
Teorema de Lagrange, se tiene P x   Qx   C o P x   Qx   C .
Ejemplos
Encuentre la antiderivada más general de la función. Compruebe su respuesta por derivación.
5  4 x 3  2x 6
10. f x  
x6
x
2
12. f x   3e  7 sec x
x   2  x2
2
16 f
1 x
3. La integral indefinida. Representación geométrica y propiedades.
Definición
Sea F una primitiva de f en un intervalo I. Al conjunto de todas las primitivas de f en I lo
denotaremos por el símbolo
 f ( x )dx y le llamaremos integral indefinida de la función f.
Notación:  f ( x )dx  F ( x )  C
OBSERVACIONES:
1. Al símbolo

es una S alargada y se denomina símbolo integral.
2.
3.
4.
5.
A la función f le llamamos integrando.
A la constante C le llamaremos constante de integración.
La variable x se llama variable de integración, puede emplearse cualquier letra.
El termino dx, diferencial de la variable de integración, al parecer es superfluo pero más
adelante veremos la importancia de su presencia. Representa respecto a que variable se
integra.
6. A la operación de búsqueda de primitivas o antiderivadas se le llama integrar
Ejemplos
1.
n
 x dx 
x n 1
C
n 1
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
ORIENTACIONES
2
1
 x dx  ln x  C
 e dx  e  C
 sen xdx   cos x  C
 sec xdx  tan x  C
2.
x
3.
4.
x
2
5.

6.
1
1 x 2
dx  arctanx  C
Nota: A este grupo de integrales se les conoce como integrales inmediatas, y están referidas
al proceso inverso de la derivada. Sólo observemos que el caso # 1, llamada integral de una
potencia se cumple para n  1 y cuando n  1 , se obtiene el caso 2.
4. Propiedades
1. Sea f una función con integral indefinida en un intervalo I, entonces

a. d f ( x )dx  f ( x )dx
 f ( x )dx   df ( x )  f ( x )  C
c.  0dx  C
b.
2. Si f y g son funciones con primitivas en un intervalo I y a y b son constantes se tiene
 (af ( x )  bf ( x ))dx  a  f ( x )dx  b  g ( x )dx
(Propiedad de linealidad)
Observaciones:
 NO existen propiedades relacionadas con el producto o con el cociente de funciones.
 Las propiedades 1.a y 1.b, nos indican que los símbolos de integral y de diferencial se
destruyen, cuando se anteponen.
5. interpretación geométrica de la integral indefinida.

Constituye una familia de curvas monoparametricas (dependientes del parámetro C). Por
ejemplo 1 dx  ln x  C
x
En la gráfica aparecen 6 curvas para
C = 0; 1; 2; 3; 4; 5
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
ORIENTACIONES
3
Ejemplos
Interprete geométricamente el concepto de antiderivada. Proponga a los estudiantes los ejercicios 18, 34
de la p. 321.
Encuentres la antiderivada F de f que satisfaga la condición dada. Compruebe su respuesta al
comparar las gráficas de f y F.
2
18. f ( x )  4  3 1  x 2 , F (1)  0


Hallar la primitiva de f(x) = x2-1 que pasa por el punto (1;-2).
5. Integración por completamiento de diferencial.
Las fórmulas de integración anteriores permiten la obtención de primitivas de funciones que no
se encuentran en la tabla, como por ejemplo
 sin(2 x)dx,  e
3x
dx , 
1
dx . Los ejemplos
4  x2
que se proponen son para aplicar la propiedad 1.b y la propiedad de linealidad (homogénea
cuando se trata de una sola función)
Ejemplos:

Obtener cos( 2 x) dx . Aquí
luego
f ( x)  cos(2 x) pero dg( x)  2 cos(2 x)dx si g ( x)  sen(2 x) ,
1
1
1
 cos( 2 x)dx  2  2. cos( 2 x)dx  2  dg ( x)  2 sen( 2 x)  C
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
ORIENTACIONES
4