LECTURA Nº 4: LOS POLINOMIOS

LECTURA Nº 4: LOS POLINOMIOS
Tomado con fines instruccionales de:
Santamaría, J. (2006). Los polinomios. Artículo no
publicado (pp.1-20). Tinaquillo, Estado Cojedes.
En estudios anteriores has trabajado con operaciones de suma, resta, multiplicación y
división de números naturales, enteros, racionales e irracionales. Este estudio se
enmarca dentro de la aritmética, rama de la matemática que se encarga de situaciones
específicas, donde las operaciones sólo se hacen con números.
Si profundizamos un poco más en nuestra experiencia, ya sea la que obtuvimos en el
bachillerato o en cualquier otra actividad escolar, es posible que recordemos algún
conocimiento sobre las operaciones con polinomios, donde de manera similar
aplicabas la suma, resta, multiplicación y división, pero ya no sólo intervenían números
sino que también se involucraban letras. El estudio de la matemática se tornaba un
poco más abstracto, pues aquellas situaciones específicas que se trabajaban en
aritmética ahora tomaban un carácter de generalización, es decir, podían representar
situaciones diversas en un mismo campo. Ahora la matemática se enfoca desde
Álgebra.
A pesar de tener más o menos claro las distintas operaciones con polinomios, es
necesario retomar y practicar esos conocimientos hasta dominarlos por completo,
pues de ello depende alcanzar las competencias en contenidos pertinentes a la
asignatura, como lo son: las inecuaciones y las funciones; además de otras
actividades que guardan relación con este tema.
Empecemos definiendo lo que es un polinomio; este término es de origen griego “poli”
que significa muchos y “nomio” expresión algebraica. Un polinomio, matemáticamente
hablando es una suma algebraica de varias expresiones algebraicas, que representan
cantidades desconocidas. Cuando decimos suma algebraica nos referimos a una
operación combinada, donde intervienen la suma y la resta, y al hablar de expresiones
algebraicas significa los términos que componen la suma. Cada término que compone
un polinomio es una estructura matemática que consta de una parte numérica y una
parte literal.
Exponente de la variable
Ejemplo de la Estructura de una Término:
 3x 5
Parte numérica o coeficiente de la variable
Parte literal o variable
CARACTERÍSTICAS DE UN POLINOMIO:
Sea el polinomio:
3 2
1
x  5x 3  x 
4
3
Vamos a ordenarlo por el exponente de la variable y a describir sus elementos:
 5x3 
3 2
1
x x
4
3
 5x 3
Términos
3 2
x
4
x
x
x
1
Variable
Coeficientes de la variable
x
5
3
4
Exponentes de la variable
* Grado del polinomio
Término Independiente
3
3
2

1
3

1
3
1
*El grado del polinomio lo representa el exponente mayor de la variable
Clasificación de los Polinomios
Los polinomios, según el número de términos, se clasifican en:
-
Monomio: Es aquella expresión algebraica que consta de un solo término.
Ejemplos: 
-
3 2
x
7
5
x4  a
4
ab
Trinomio: Es aquella expresión algebraica que tiene tres términos:
Ejemplos:
-
a 2b x
2
Binomio: Es aquella expresión algebraica que tiene dos términos:
Ejemplos: 3x  1
-
5
6 3
1
x x
5
7
9 2
y  y 5
2
Polinomio: Es aquella expresión algebraica que tiene más de tres términos:
Ejemplo: 
3 4 2 3
x  x  x2 1
4
5
Recuerden que los términos en un polinomio se identifican porque están separados unos
de otros por el signo positivo (+) o el negativo (-).
OPERACIONES CON POLINOMIOS
Anteriormente se dijo que con las expresiones algebraicas, se cumplen las
operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división. Vamos a trabajar cada
operación y aprender un poco más de ellas.
Adición de polinomios: La adición consiste en reunir dos o más expresiones
algebraicas, llamadas sumandos, en una sola que se le llama suma.
En la aritmética la adición siempre significa aumento, pero en el álgebra es un
concepto más general por lo que puede significar aumento o disminución.
En una adición de polinomios se puede dar una agrupación de términos semejantes.
Incluso, hasta un polinomio puede tener inmerso términos semejantes.
Hay semejanza entre términos cuando:
 Tienen la misma variable o variables.
 Tienen igual exponente en la variable o variables.
Ejemplo:
Son términos semejantes:
 5x 2
 3x 2
Aunque los coeficientes
de las variables sean
diferentes
 x2
El exponente “2” de la
variable es igual para los
tres términos
La variable “x” es la misma
para los tres términos
Entonces, se puede hacer una agrupación con estos términos y reducirlos a una sola
expresión aplicando una suma.
Ejemplo Nº 1:
Eliminando los paréntesis queda:
 5 x 2  3x 2  x 2 
Tomemos los coeficientes formando una suma indicada con ellos y esto lo
multiplicamos por la variable con su respectivo exponente, así:
 5  3  1  x 2 
Efectuamos la suma algebraica entre las cantidades que están dentro del paréntesis:
 5  3  1  x 2   5  4  x 2
-
Primero sumamos los enteros positivos 3 y 1
 5  3  1  x 2   1  x 2
-
Se restan las cantidades por ser de signos diferentes y la
diferencia lleva el signo de la mayor (-5 y -4)
 5  3  1  x 2   1  x 2
-
Se elimina el paréntesis
 5  3  1  x 2   x 2
-
Como el 1 es elemento neutro de la multiplicación, sólo
se multiplican los signos (+ . - = -)
Son términos no semejantes los siguientes:
6x 3 , 6x 2 , 6y 2 ,
Los términos 6x 3 y 6x 2 , tienen igual variable pero distintos exponentes, y a pesar que
tienen el mismo coeficiente no son términos semejantes. El término 6y 2 no es
semejante a ninguno de los otros dos términos, pues su variable es distinta.
Veamos algunos ejemplos de adición de polinomios:
Cuando es una suma de monomios
Ejemplo Nº 2:
Sumar:
 5x 2 y 7 x
Solución:
 5x 2  7 x  5x 2  7 x
Cuando es una suma de binomios
Observa que, como los términos
no son semejantes la suma se deja
indicada
Ejemplo; Sumar:
3 2 1
x 
4
3
y
7 2
x  3x
8
Indicamos la operación de los dos
binomios agrupando cada uno entre
paréntesis
 3 2 1  7 2

x     x  3x  
3  8
4

Solución: 
3 2 1 7 2
x   x  3x 
4
3 8
Eliminamos los paréntesis, como el signo
que los precede es positivo, no se afecta
ningún término
3 2 7 2 1
 x  x    3x 
8  3
4
Agrupamos los términos semejantes
Extraemos la variable con su respectivo
exponente como factor dejando los
coeficientes dentro del paréntesis.
Observe que estos nos indican una suma
de fracciones con diferente denominador
3
7 
1
   x 2  3x  
4

8 
3

Recordar:
Para sumar fracciones de diferente denominador
1.
2.
3.
4.
m.c.m(4,8)  8
3 7
 
24 8
8
3 24
6
3- 8 . 
4 4
7 56
8. 
7
8 8
3 7 6  7 13
4 

4 8
8
8
1-
Se calcula el mcm entre los denominadores
Esta cantidad es el denominador del
resultado
Se multiplica cada fracción por el mcm y
estas cantidades forman el numerador del
resultado
Se efectúa la operación indicada y
obtenemos la fracción resultado
Luego el polinomio resultante es:
13 2
1
x  3x 
8
3
En la adición de trinomios y polinomios se procede igual que en las sumas anteriores,
solo debes estar pendiente de la agrupación de términos semejantes. Es importante
señalar que la sustracción de polinomios es un caso particular de la adición. Esto lo
podemos explicar de la siguiente manera:
Ejemplo Nº 3:
Sea A 
3
7
x  6x 
5
4
y
y nos piden determinar: A – B =
1
1
5
B  x3  x2  x 
5
2
6
Es
decir,
al
x3 
1 2 1
5
x  x
5
2
6
3 2
7
x  6x 
5
4
polinomio
le
restamos
el
polinomio
estructuremos la operación:
A B 
3 2
7 
1
1
5
x  6x    x 3  x 2  x  
5
4 
5
2
6
Observa que el polinomio B por estar precedido del signo negativo se encierra entre
paréntesis.
Recordar:
Para eliminar signos de agrupación
Si B  x 3 
Cuando un paréntesis está precedido del signo
menos, todos los términos que están dentro de él
cambian de signo
Entonces
 B  x3 
1 2 1
5
x  x
5
2
6
1 2 1
5
x  x
5
2
6
- B es el opuesto de B
Luego, la operación quedaría así:
A  (  B) 
3 2
7 
1
1
5
x  6x     x 3  x 2  x  
5
4 
5
2
6
Si eliminamos el paréntesis:
A  ( B) 
3 2
7
1
1
5
x  6x   x3  x 2  x 
5
4
5
2
6
Agrupamos los términos semejantes:
1  
1 
3
 7 5
A  (  B)   x 2  x 2    6 x  x   x 3     
5  
2 
5
 4 6
Extraemos la variable de cada paréntesis con su respectivo exponente, dejándola
como factor
1
3 1

 7 5
A  (  B)     x 2   6   x  x 3     
2
5 5

 4 6
Observa que dentro de cada paréntesis hay una suma de fracciones con diferente
denominador.
Vamos a realizar cada adición por separado:
Para sumar fracciones con igual denominador
Recordar:
3 1 4
1º Adición
:  que es una
 suma de fracciones con igual
Observa
5
5
5


denominador. La fracción resultante tendrá el mismo
denominador común y el numerador será la suma de
los numeradores parciales
Recordar:
Para sumar fracciones con diferente denominador
Tenemos una suma de fracciones con diferente
denominador, calculamos el m.c.m de los
denominadores; es decir, m.c.m (1,2) = 2, este
m.c.m= 2 representa el denominador común a todas
las fracciones; ahora, los numeradores también
cambian multiplicando el m.c.m= 2 por las
360
fracciones parciales
3º Adición

7 5
(12 . 7 / 4) (12.5 / 6)
 

4 6
12
12

7 5
21 10
31
  

4 6
12 12
12
2º Adición
 6 1  12 1 12  1 11

    
2
2
1 2 2 2
Para sumar fracciones con diferente
denominadorel mcm entre los denominadores mcm (4 ,
Calculamos
6) = 12, este es el denominador del resultado y esa
misma cantidad se multiplica por cada fracción para
calcular los nuevos numeradores
Recordar:
Finalmente, realizadas las adiciones de los términos semejantes, tenemos:
A  ( B)   x 3 
4 2 11
31
x  x
5
2
12
Practica la Adición de polinomios con los siguientes ejercicios:
- Sean los polinomios
A
1 2
1
x  6x 
2
3
3
1
C   x  x2
5
4
6 3
7
x  x 2  92 
7
2
,
B
,
3 2 x 2 8x
D 

 x3
8
9
3
,
Calcula:
1) A + B + C =
3) (D + A) – C =
5) D + B =
2) D + C + A =
4) B – (D + A) =
6) C – A =
Multiplicación de Polinomios:
La multiplicación de polinomios, es una operación que consiste en multiplicar dos o
más polinomios llamados factores para obtener otro polinomio llamado producto. Para
multiplicar polinomios es necesario tener claro la regla de los signos, las leyes de la
potenciación y la agrupación de términos semejantes.
Recordar:
Regla de los signos
+*+=+
- *-=+
+*-= -*+= -
Recordar:
Leyes de la potenciación
* ( a n ) m  a n. m
an
 a nm
am
* a0  1
* a1  a
* a n .b m
* a n .a m  a nm
*


p
 a n. p .b m. p
Veamos algunos casos de la multiplicación:
Multiplicación de Monomios
Multiplicar:
3x .  2x.  5 
2
3 .  2 .  5 . x 2  . x 
En esta multiplicación tenemos varios factores con
sus respectivos signos, hay factores numéricos y
factores literales o variables.
Observa que los coeficientes numéricos de cada
monomio, son también factores y se pueden
manipular independientemente de la variable,
siempre y cuando estén como factores dentro de la
misma multiplicación. En la organización es
conveniente que los factores numéricos sean los
primeros en expresarse.
 3 .  2 .  5 .  x2  .  x 
Si multiplicamos los signos de cada uno
de los factores: + . - . - . + . + = +
obtenemos el signo del producto. En este
caso es positivo
+
3.  2.  5.x2 .x  30.(x2 ).(x)
Ahora calculamos el producto de los factores
numéricos: 3 . 2 . 5 = 30
Para multiplicar las variables (la parte literal),
que son potencias, tienes que estar claro con la
ley de la potenciación que dice que “en la
multiplicación de potencias de igual base se
obtiene otra potencia con la misma base, cuyo
exponente resulta de sumar los exponentes
parciales de cada potencia” x2 . x = x2+1 = x3
3.  2.  5.x 2 .x  30.x 3
Este es el resultado de multiplicar los monomios
3x .  2x.  5  30x
2
3
Multiplicación de Monomios por polinomios
Multiplicar:
5
3 2  2
 x .  x  2 x   
2
5 

Para multiplicar un monomio por un polinomio, se
aplica una propiedad distributiva del producto con
respecto a la adición, de esta manera obtenemos
una suma algebraica con los productos parciales.

5 3 2 
3 2  2
3 2
 3  5 
2
 x .  x  2 x     x .  x   x .2 x     .   
2 5 
5 
5 
5  2
Observa que cada producto parcial es una multiplicación de dos monomios. Recuerde el
procedimiento para este caso. En cada multiplicación parcial, realiza primero la multiplicación
de los signos, luego, multiplica los coeficientes de cada monomio y por último realiza la
multiplicación de las variables o potencias literales.
Vamos a calcular los productos por separado:
1° producto:
Coeficientes


  
3 4
3 2
 3
2
2
2
 x .  x   . 1. x . x   x
5
5 
5
Producto
Potencias
Literales
Ya debes tener claro la regla de los signos (+. - = -) ; los
coeficientes o parte numérica son números racionales; es decir,
fracciones. Para multiplicar fracciones se hace de forma lineal,
numerador por numerador y denominador por denominador.
3
 3
 3   1
 . 1   .    
5
5
 5   1
La multiplicación de las potencias literales se realiza aplicando la
ley de potenciación “cuando se multiplican potencias de igual
base, el producto que resulta es otra potencia con la misma base y
el exponente es la suma de los exponentes parciales”.
x 2 .x 2  x 2  2  x 4
2° producto:
 
6 3
3 2
 3 2 2
 x .2 x    . . x x    x
5
5 
5 1
Se procede igual al caso anterior:
6
 3
 3 2
Coeficientes
 .2   .   
5
5
5 1
x 2 .x  x 21  x 3
Potencias Literales
Se procede igual al caso anterior:
3° producto:
 
15 2
3 2
 3 2  5  3 5 2
 x .     .  . x   x   x
10
2
5  2 5 2
15
3.5
3
 3 5

 .      
10
2.5
2
5 2
Observa que el producto de los coeficientes, resultó una fracción que se simplificó,
debido a que al descomponer tanto el numerador como el denominador, resultó un
factor común (el 5), el cual se canceló por ley de la potenciación, quedando una
fracción irreducible. Luego, reuniendo los productos parciales resultantes
conformamos el producto total de la multiplicación inicial:
5
3 4 6 3 3 2
3 2  2
 x .  x  2 x     x  x  x
2
5
5
2
5 
El polinomio resultante no tiene términos
semejantes por lo tanto es un polinomio
irreducible.
Multiplicación de un polinomio por otro polinomio
4 3
3

x   y x 2  x  1
3 4
2

Multiplicar: 
Observa que el primer factor es un polinomio de dos términos, por lo tanto hay que aplicar la
propiedad distributiva dos veces. El primer término del binomio multiplica a todos los
términos del trinomio, luego el segundo término del binomio multiplica a todos los términos
del segundo factor, es decir, del trinomio.
4 3 2
3

 x  . x  x  1
3 4
2

Solución:
Si observas cada par
de líneas notarás como
se efectuaron los
productos
 3  3 2   3 
3 
 4 3 2   4
 4
 x . x    x . x    x . 1    . x     . x     . 1
 2  4   2 
2 
 3 4   3
 3
1° producto:
 
9 3
 3  3 2   3 3
2
 x . x    . .x . x  x
8
 2  4   2 4
2° producto:
Después de aplicar la propiedad
distributiva hemos obtenido muchos
productos parciales, para ser más
exactos, seis productos. Vamos a
resolverlos uno a uno:
3
3 
3
. x 
. x   x 2
 x . x    . 1
2
2 
2
3° producto:
3
3 
3
. x   x
 x . 1   . 1
2
2 
2
4° producto:
 
12 2
4  3 2  4 3 2
2

 x   
     x   x  x
12
 3   4   3  4
5° producto:
4
4
4

   x   
   1  x    x
3
 3 
 3 
6° producto:
4
 4
 4   1
     1          
3
 3
 3   1
Luego:
Tomamos los productos parciales resultantes y estructuramos el polinomio total.
4 3 2
4
4
3
 9 3 3 2 3
2
 x     x  x  1  x  x  x  x  x 
3 4
2
2
3
3
2
 8
Revisamos si el polinomio resultante tiene términos semejantes; si los tiene hacemos
agrupaciones con ellos:
4 3 2
4  4
3
 9 3  3 2
3
2
 x     x  x  1  x    x  x    x  x  
3 4
3  3
2
 8
 2
 2
Como en los casos anteriores, en agrupaciones de términos semejantes extraemos la
variable con su respectivo exponente como factor fuera del paréntesis.
4 3 2
4
3
 9 3  3  2 3 4
 x     x  x  1  x     1 x      x 
3 4
3
2
 8
 2 
2 3
Realizamos la adición dentro de cada paréntesis paso a paso:
1º Adición:
3 2 3 2
5
 3 1

      
2 2
2
2
 2 1
2° Adición:
 3 4  9 8 17
    
2 3 6 6 6
Luego, resueltas las adiciones, volvemos al polinomio.
4 3 2
4
3
 9 3 5 2 17
 x     x  x  1  x  x  x 
3 4
2
6
3
2
 8
De esta manera, hemos llegado al producto final de la multiplicación de dos
polinomios.
Para que practiques los procedimientos en la multiplicación de polinomios te
proponemos los siguientes ejercicios:
Dadas las expresiones algebraicas:
7
P x
2
T
x2 3
5
  9x 
2 4
9
Q
4
 x2
5
V 
11
3
R
8 3
6
x x
7
7
Calcula:
1) V .P.Q 
2) Q.R 
3) T.Q 
4) V.T 
5) P.R 
División de polinomios
Dividir polinomios es tan sencillo, como dividir cantidades enteras, sólo que un
polinomio es como un grupo de números enteros descompuestos en una adición de
muchos sumandos. Vamos a explicarlo por medio de un ejemplo:
Sabemos que el proceso de dividir consiste en: dadas dos cantidades “dividendo” y
“divisor”, se debe buscar otra cantidad llamada “cociente” que multiplicada por el
“divisor” nos resulte el “dividendo”.
Resolveremos la siguiente división de polinomios paso a paso:
3x
2
 
 10x3  4x5  x  6  x2  1  2x

Se ordenan los dos polinomios tomando
en cuenta los exponentes de la variable
(x) en orden decreciente y completando
con coeficiente cero (0) la potencia
faltante.
4x5  0x4  10x3  3x2  x  6
x2  2x  1
Se divide el primer término del polinomio
dividendo entre el primer término del
divisor
4x5  0x4  10x3  3x2  x  6
x2  2x  1
Para efectuar esto se divide el coeficiente
del dividendo entre el del divisor y con la
variable se aplica la regla de potencia de
un cociente de igual base.
4x5  0x4  10x3  3x2  x  6
x2  2x  1
4 x5 4 x5

 4 x 5  2   4 x 3
2
2
x
1x
Se multiplica el primer término del
cociente por todos los términos del
divisor, a estos productos se les cambia
el signo y se ordenan debajo del
dividendo según el exponente de la
variable.
Estos productos se resta del dividendo
4x 3
Este es el primer término del cociente
4x5  0x4  10x3  3x2  x  6 x2  2x  1
 4 x5  8 x 4  4 x3
4x 3
4x5  0x4  10x3  3x2  x  6 x2  2x  1
 4 x5  8 x 4  4 x3
4x 3
8x 4  14x3  3x 2  x  6
Se repite todo el procedimiento
considerando que ahora el primer término
del nuevo dividendo es 8x4
8x4 8 x4

 8 x4  2   8 x 2
2
2
x
1x
4x5  0x4  10x3  3x2  x  6 x2  2x  1
 4 x5  8 x 4  4 x3
4 x3  8 x 2
8x 4  14x3  3x 2  x  6
 8x4  16x3  8x2
2 x3  5 x 2  x  6
Continuamos ahora dividiendo los demás términos
4x5  0x4  10x3  3x2  x  6 x2  2x  1
 4 x5  8 x 4  4 x3
4 x3  8 x 2  2 x  1
8x 4  14x3  3x 2  x  6
 8x4  16x3  8x2
2 x3  5 x 2  x  6
 2 x3  4 x 2  2 x
 x 2  3x  6
x2  2x  1
 5x  7
El cociente de la división es : 4 x3  8 x 2  2 x  1
Y el residuo:  5 x  7 (como el grado de este residuo es inferior al del divisor, no se
puede continuar dividiendo por lo que la división es inexacta)
Ejercicios propuestos:


2- 9x  x  24x  3x  8x  x  1
3- 10y  20y  y  2  y  2
1- 3x3  2x2  7 x  2  x  2
4
5
8
3
6
2
2
2
2
1
1
1 1
1

4-  x3  x 4  x 2  x     x 2  
2
3
2  2
3

5- ¿Cuál debe ser el valor de a, b y c para que se cumpla la siguiente igualdad?