Clase 12

TRANSFORMADA Z INVERSA
La transformada Z inversa formal esta basada en la integral de Cauchy. Sin embargo existen métodos
menos formales que resultan más simples y prácticos para obtener la transformada z inversa de tipos
comunes de secuencias. Estos métodos son:

Método de inspección

Expansión en fracciones parciales

Expansión en series de potencias
Método de Inspección
Este método consiste simplemente en familiarizarse o reconocer “por inspección” ciertos pares de
transformadas.
Por ejemplo, el siguiente par es bien conocido:
(12.1)
Ahora, asúmase que se tiene la siguiente transformada z:
(12.2)
entonces, por inspección, se puede concluir que la transformada inversa de la Ecuación (12.2) es
(12.3)
Método de Expansión en Fracciones Parciales
Algunas veces X(z) es presentada en una forma que no puede ser identificada en una tabla de pares de
transformada z, pero si puede obtenerse una expresión alternativa de X(z) en la forma de una suma de
términos más simples, cada uno de los cuales pueden encontrarse en las tablas. Este es el caso para
cualquier función racional, ya que se puede representar como una expansión de fracciones parciales y
posteriormente identificar fácilmente las secuencias correspondientes a cada uno de los términos
individuales.
Asúmase que X(z) puede expresarse como el radio de polinomios en z-1, esto es
(12.4)
Tales transformadas z aparecen comúnmente en el estudio de sistemas LTI. Una expresión equivalente
a la ecuación anterior es
(12.5)
La Ecuación (12.5) muestra explícitamente que para tales funciones, habrá M ceros y N polos en
posiciones distintas a cero en el plano z. Además, habrán M-N polos en z = 0 si M > N o N-M ceros en z =
0 si N > M. En otras palabras, las transformadas z de la forma mostrada en la Ecuación (12.5) siempre
tiene el mismo número de polos y ceros en el plano z finito, y no hay polos o ceros en z = ∞. Para
obtener la expansión de fracciones parciales de X(z) en la Ecuación (12.4), es más conveniente notar que
X(z) puede ser expresada en la forma
,
(12.6)
Donde las ck’s son los ceros de X(z) distintos a cero y las dk’s son los polos de X(z) distintos a cero. Si M <
N y los polos son todos de primer orden, entonces X(z) puede expresarse como
(12.7)
Obviamente, el común denominador de las fracciones en la Ecuación (12.7) es el mismo que el
denominador de la Ecuació (12.6). Multiplicando ambos lados de la Ecuación (12.7) por (1 – dkz-1) y
evaluando para z = dk muestra que los coeficientes, Ak, pueden ser obtenidos como
(12.8)
Ejemplo:
Considere la secuencia x[n] con transformada z
La gráfica de polos y ceros de X(z) se muestra en la figura anterior. En base a la región de convergencia y
la propiedad de la transformada z, se puede ver que x[n] es una secuencia lateral derecha. Ya que ambos
polos son de primer orden, X(z) puede expresarse en la forma de la Ecuación (12.7), es decir,
En base a la Ecuación (12.8),
Entonces,
Ya que x[n] es lateral derecha, por inspección de cada uno de los términos de la ecuación anterior, se
puede concluir que
Para los casos M ≥ N, se usa el método de división larga, tal como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
X z  



1  2 z 1  z 2
1  z 1 2

3
1
1
1  z 1  z 2 1  z 1  1  z 1
2
2
 2 
resolviendo la división se obtiene
2
1  2 3 1
2
1
z  z 1 z  2z 1
2
2
z  2  3z 1  2
5 z 1  1
por lo que

z 1
 1  5 z 1
X z   2 
 1 1 
1
1  z  1  z
 2 


Ahora, mediante la expansión de fracciones, X(z) puede rescribirse como
X z   2 
Donde A1 = -9 y A2 = 8. Esto es
X z   2 
A1
A2

1
1
1  z 1 1  z
2
9
8

1
1
1  z 1 1  z
2
z 1
La ROC se extiende hacia el infinito, indicando una secuencia lateral derecha o causal
n
1
x(n)  2δ(n)  9  u(n)  8u(n)
2
Método de Expansión en Series de Potencias
De la definición de la transformada z, tenemos que
(12.9)
Se puede determinar cualquier valor particular de la secuencia encontrando los coeficientes de la
potencia de z-1 apropiada. Ya se hizo esto al encontrar la transformada z de la parte polinomial de la
expansión de fracciones parciales cuando M ≥ N. Este método es también es muy útil para secuencias de
longitud finita donde X(z) pueda tener una forma no más simple que un polinomio en z-1.
Ejemplo:



1
1
 1 
X z   z 2 1  z 1  1  z 1 1  z 1  z 2  z  1  z 1
2
2
 2 
Entonces, por inspección se puede determinar que
1
1
x(n)   (n  2)   (n  1)   (n)   (n  1)
2
2
Esto es
 1
 1

 2
x ( n)    1
 1
 2
 0

n  2
n  1
n0
n 1
n2
La siguiente información, complementaria al presente tema, fue tomada de apuntes del Dr. Humberto
Ochoa
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