LECTURA Nº 5: PRODUCTOS NOTABLES

LECTURA Nº 5: PRODUCTOS NOTABLES
Tomado con fines instruccionales de:
Santamaría, J. (2006). Productos notables.
Artículo no publicado (pp.1-8). Tinaquillo, Estado
Cojedes.
Al iniciarnos en nuestra aventura por el conocimiento de las matemáticas, lo primero a
lo que se hace referencia es al número, como clase, según lo plantean algunos, o
como conjunto, según otros. La cuestión es que el hombre y su inmensa necesidad de
organizarse en sociedades, poco a poco, fue implementando un lenguaje simbólico
que le sirvió de instrumento en las actividades cotidianas, tanto para comunicarse
como para demarcar y establecer normas de convivencia. Primero, se da cuenta que
el medio natural le ofrece una serie de herramientas para tal organización; comienza a
utilizar las piedras como mecanismo de conteo; luego, descubre que puede hacer
marcas en los árboles, en el suelo, en las paredes de las cavernas… y así llega, sin
saber, a la intuición de número.
El estudio de los números, o mejor dicho la fase de estructuración de los números y su
aplicación en otras ramas de la matemática, como la geometría, la aritmética y el
álgebra, no ha sido fácil. Desde mucho antes de Cristo, con Pitágoras de Samos,
pasando por Euclides, Al-Jwārizmī, Fermat, Descartes, Leibniz, entre otros; todos ellos
fueron dándole forma y sentido a todo ese conocimiento vago que desde tiempos
remotos, babilonios y egipcios aplicaban en su cotidianidad.
Por ejemplo, en la aritmética, que es la parte de la matemática que trata del arte o
habilidad para contar, sólo se utilizan números o cantidades conocidas que mediante
operaciones de adición, multiplicación y potenciación, de acuerdo con ciertas
propiedades ya existentes, es posible realizar todos los cálculos habidos y por haber.
En el álgebra, rama de la matemática que permite generalizar las aplicaciones
aritméticas, mediante el uso de cantidades desconocidas representadas por letras,
también se vale de las operaciones de adición, multiplicación y potenciación para
tales aplicaciones. Y en la geometría (del griego geō que significa 'tierra' y metrein
'medir'), rama de las matemáticas que se encarga de las relaciones métricas del
espacio y sus propiedades, en su forma más elemental y no tan elemental; se vale del
álgebra y la aritmética para formalizar y sistematizar sus aplicaciones.
Dentro de todas estas operaciones elementales, como la adición, la multiplicación, la
potenciación, entre otras, aplicables en todas las ramas de las matemáticas
anteriormente mencionadas, a través de propiedades de composición bien definidas,
se derivan procedimientos que permiten simplificar con mayor facilidad las
operaciones indicadas. Procedimientos como el producto notable y la factorización
son herramientas muy prácticas para la agilización en la búsqueda de un resultado
concreto.
Cuando se realiza un producto notable se está aplicando una multiplicación, pero se
hace de una forma directa reduciendo la operación a un mínimo de pasos posibles, por
ejemplo en aritmética no es muy frecuente encontrarse con un producto notable pero
se puede ejemplificar un ejercicio para hacer sencillas demostraciones, de la siguiente
manera:
(5  3) 2  52  2  (5  3)  32  25  30  9
Si se realiza la multiplicación aplicando la propiedad distributiva, que es el proceso
normal, el procedimiento se hace más largo; observa:
(5  3) 2  (5  3)  (5  3)  5  5  5  3  3  5  3  3  25  15  15  9
Ahora bien, si trabajamos dentro del álgebra, el mismo producto notable pudiese
aplicarse de la siguiente manera:
(3x  5 y) 2  (3x  5 y).3x  5 y 
 (3x).3x  3x.(5 y)  (5 y).3x  5 y 
. 5 y
(3x  5 y) 2  (3x) 2  2  (3x  5 y)  (5 y) 2  9x 2  30xy  25y 2
Al llevar este mismo procedimiento al campo de la geometría le daríamos el siguiente
enfoque:
Suponga un terreno de forma cuadrada, donde cada lado mide ”y  4 ”, calcula el área
del terreno:
Para hallar el área de un cuadrado se multiplica lo que mide de
ancho
por lo que mide de largo; así:
( y  4)  ( y  4)  ( y  4) 2  y 2  2  ( y)  (4)  (4) 2
y4
 y 2  8 y  16, es el área del terreno
El producto notable es aquella multiplicación que se efectúa con expresiones
algebraicas de forma directa, aplicando una fórmula o procedimiento, de acuerdo a
una situación específica.
Veamos algunos casos específicos de productos notables.
EL CUADRADO DE UNA SUMA DE DOS TÉRMINOS
Ejemplo Nº 1
Supóngase que tenemos una región de forma cuadrada, cuyas dimensiones son las
siguientes: de largo y de ancho mide " x  7" unidades.
Necesitamos conocer el área del cuadrado.
Sabemos que para calcular el área de un cuadrado,
sólo tenemos que multiplicar lo que mide de ancho
x7
por lo que mide de largo, Es decir:
Área del Cuadrado = Largo  Ancho
Área = (Lado) 2
x7
Entonces; Apliquemos la Fórmula:
Área
= ( x  7)  ( x  7)  ( x  7)2
Ancho Largo
Por Ley de Potenciación: a  a  a 2
Si aplicamos la propiedad distributiva nos quedaría:
(X + 7) . (X + 7) =
Luego: Área
X2 + X.7 + 7.X + 72 = X2 + 2 (7.X) + 72
= ( x  7)2
Desarrollemos esta potencia de la siguiente manera:
Doble
( x  7) 2  x 2  2  ( x )  (7)  (7) 2
Primer Segundo
Término Término
Primer
Término
El resultado es un polinomio de tres
términos: “EL primer término al
cuadrado, más el doble del producto
del primer término por el segundo, más
el segundo término al cuadrado”
Segundo
Término
Simplificando el resultado, tenemos
que: ( x  7)  x  14x  49
De esta manera obtenemos el área de
la región cuadrada:
2
Área
2
= x 2  14x  49
Ejemplo Nº 2:
Desarrollemos el Producto Notable: (5  y ) 2
(5  y ) 2  (5) 2  2  (5)  y  ( y ) 2
Cuadrado
del 1er
Término
Simplificando queda:
El Doble del
producto: del 1er
término por el 2do
término
Cuadrado
del 2do
Término
(5  y )2  25  10y  y 2
Ejercicios propuestos:
5.1- (x + 7)2
5.2- (3X/2 + 4/9) 2
5.3- ( a/5 + 5) 2
5.4- (x2 + 3) 2
5.5- (xy + xz) 2
5.6- (Xa+1 + 1) 2
5.7- (a2 b + ac) 2
5.8- (2xy + y2 ) 2
5.9- En un club se desea crear una cancha para la práctica individual de tenis y se
dispone de una pared cuadrada de lado x. Los especialistas en ese deporte
solicitan que sea más grande, por lo que se le añadieron 3m a cada lado.
¿Cuál es el área de la nueva pared?
CUADRADO DE UNA DIFERENCIA DE DOS TÉRMINOS
Se resuelve de la misma forma que el caso del cuadrado de la suma de dos términos;
sólo que para desarrollar este caso hay que tomar en cuenta el signo de los términos.
Ejemplo Nº 3:
Doble
( x  3) 2  x 2  2  ( x )  (3)  (3) 2
Primer Segundo
Término Término
Simplificando:
Primer
Término
( x  3)2  x 2  6x  9
Segundo
Término
El cuadrado de una diferencia es igual a:
El cuadrado del primer término, menos el doble
producto del primero por el segundo, más el cuadrado
del segundo
Ejercicios propuestos:
5.10- (X - 5)2
5.11- (2X/3 - 1/5) 2
5.12- (a/3 - 3) 2
5.13- (X2 - 2) 2
5.14- (Xa-1 - 1) 2
5.15-
(2xy - x2 ) 2
5.16- Si a2 + b2 = 13 y a . b = 6 ¿cuánto vale (a – b) 2?
5.17- Calcula los productos: a) (–x – a) 2
b) (x + a)
2
¿Qué relación existe entre ellos? ¿Por
qué?
5.18- Se necesita revestir un piso con cerámica, el cual tiene forma cuadrada de
lado x, pero la cantidad de cerámica sólo cubre una superficie también
cuadrada que tiene ¾ de metro menos por cada lado del área total.
¿Cuántos m2 de cerámica se compraron?
5.19- ¿Qué diferencia observas en estos ejercicios? : a) (x – a) 2
b) x2 - a2
después de resolverlos, ¿qué apreciación tienes al respecto?
EL PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN
Ejemplo Nº 4:
Tenemos una región de forma rectangular cuyas dimensiones ya conocemos:
Se necesita conocer el área de la región.
x5
Sabemos que el área de un rectángulo se calcula
multiplicando lo que mide de largo por el ancho.
x7
Entonces:
Área
= ( x  7)  ( x  5)
Largo Ancho
Desarrollarnos este producto de la siguiente manera:
( x  7)  ( x  5)  x 2  x  7  (5)  7  (5)
Término
Común
Términos no
comunes
Término
común
Suma de
términos no
comunes
Producto de
términos no
comunes
El resultado de este producto notable
es un trinomio: “El término común al
cuadrado más el producto del término
común con la suma algebraica de los
términos no comunes más el producto
de los términos no comunes”.
Simplificando el resultado, queda:
( x  7)  ( x  5)  x 2  x  (2)  (35)
 x 2  2x  35
Trinomio
De esta manera se obtiene el área de la región rectangular:
= x 2  2x  35
Área
Ejemplo Nº 5:
Desarrolla el producto: (3x  9)  (3x  2)
(3x  9)  (3x  2)  (3x ) 2  (3x )  (9  2)  (9)  2
Término
Común
Término no
comunes
Simplificando cada término:
(3x )2  (3x )  (3x )  9x 2
(3x)  (9  2)  (3x)  (7)  21x
(9)  2  18
Luego:
(3x  9)  (3x  2)  9x 2  21x  18
El producto de los términos no comunes
Producto del término común con la suma de los no
comunes
El cuadrado del término común
Ejercicios propuestos:
5.19- (x2 + 6) . (x2 – 2)
5.20- (a3 + 1/5) . (a3 + 2/3)
5.21- (y – 3/5) . (y + 4)
5.22- (2x - 7) . (2x +2)
5.23- Si se cumple que (x + a) . (x + b) = x2 - 2x + 8 entonces ¿cuánto vale a + b?
5.24- ¿Para qué valores de la x se cumple que el producto de:
a) (x + 3) por
b) (x - 1) es igual a cero?
5.25- Si a un cuadrado cuya área mide x2 se le suma a un lado 9 cm y en el otro se
x
b
le resta 2cm, ¿cuál será el área de la nueva figura?
x
2.26- Calcule el área del siguiente rectángulo:
a
LA SUMA DE DOS TÉRMINOS POR SU DIFERENCIA:
Ejemplo Nº 6:
Se conocen las dimensiones de una región rectangular:
Largo = x  6 y Ancho = x  6
Tenemos que calcular el área respectiva:
Para hallar el área de un rectángulo aplicamos la
Fórmula: Área = Largo x Ancho.
o Área = base x Altura
x 6
x6
Entonces, Área
= ( x  6)  ( x  6)
Para desarrollar este producto procedemos de la siguiente forma:
( x  6)  ( x  6)  ( x)2  (6)2
Suma
Diferencia 1er Término al
2do Término al
cuadrado
cuadrado
Simplificando el resultado:
El resultado de este producto notable es
un binomio:
“El cuadrado del primer término menos el
cuadrado del segundo término”
x 2  36
Luego:
El área de la región rectangular
es: x  6
2
2
Ejercicios propuestos:
5.27- (y – 3/5) . (y + 3/5)
5.28- (x2 + 6) . (x2 – 6)
5.29- (a3 + 1/5) . (a3 –
1/5)
5.30- (x/3 + 2/7) . (x/3 – 2/7)
5.31- (2x - 7) . (2x +7)
5.32- Si a un cuadrado cuya área mide x2 se le suma a un lado 5 m y en el otro se
x
le resta 5 m ¿cuál será el área de la figura que se originó?
5.33- Calcula el área de la figura sombreada:
a
x
a
EL CUBO DE UNA SUMA DE DOS TÉRMINOS:
Ejemplo Nº 6:
Se debe determinar el volumen de un tanque que tiene forma de cubo, conociendo
sus dimensiones:
Largo = x + 5, Ancho = x + 5 y Alto = x + 5
Para hallar el volumen de un cubo aplicamos la fórmula:
Volumen = Largo x Ancho x Alto
x 5
x 5
Como las tres medidas son iguales entonces
Volumen = (Lado)3
Entonces: Volumen = ( x  5)   x  5)  ( x  5)
Por Ley de Potenciación: ( x  5)   x  5)  ( x  5)  ( x  5)3
Luego:
Volumen = ( x  5)3
Para desarrollar esta potencia procedemos así:
( x  5)3 = (x + 5)2 . (x + 5) esto por ley de potenciación y como sabemos calcular el
cuadrado de una suma
( x  5)3 = (x2 + 10.x + 25) . (x + 5)
( x  5)3 = x3 + 5.x2 + 10.x2 + 50.x + 25.x + 125 esto por multiplicación de polinomios
( x  5)3 = x3 + 15.x2 + 75.x + 125 por agrupación de términos semejantes
( x  5)3 = x3 + 3 . 5. x2 + 3. 52.x + 53
El resultado de este producto notable es un polinomio: “El cubo del primer término,
más el triple del producto del primer término al cuadrado, por el segundo término,
más el triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo, más el
cubo del segundo término”.
Triple
( x  5)3   x)3  3  ( x)2  5  3  ( x)  (5)2  (5)3
Primer Segundo
Término Término
Primer
Término
Segundo
Término
Luego; simplificando cada término:
( x) 3  x 3
,
(5)3  5  5  5  125 ,
3  ( x )2  (5)  15 x 2
3  ( x )  (5)2  3  x  25  75x
De esta manera tenemos que:
( x  5)3  x 3  15x 2  75x  125
Ejemplo Nº 7:
Desarrollar el producto notable: ( 2x  1)3
Si aplicamos el procedimiento anterior; obtenemos:
El cubo del primer término
(2x) 3
El triple del producto del primer término al
cuadrado por el segundo término
3 . (2x) 2 . 1
El triple del producto del primer término
por el cuadrado del segundo
3 . 2x . 13
El cubo del segundo término
13
Sumando estos términos
(2x  1)3  (2x )3  3  (2x )2  (1)  3  (2x )  (1)2  (1)3
Simplificando cada término del resultado:
( 2 x )3  ( 2x )  ( 2x )  ( 2x )
 8x 3
2
2
3
* 3  (2x ) 1 )(1
)83x34
x 12
1x  6x  1
2
 12x
2
* 3  (2x )  (1)  3  2x  1
 6x
3
* (1)  111  1
*
Luego, el polinomio se reduce a:
Ejercicios propuestos:
5.34- (x + 3)3
5.35- (3X/2 + 4/5) 3
5.36- ( y/3 + 3) 3
5.37- (x2 + 5) 3
5.38- (xy + xz) 3
5.39- (a2 b + ac) 3
5.40- (2xy + y2 ) 3
5.41- Si el volumen de un cubo es 27 cm3 ¿Cuál será el nuevo volumen si se
aumenta su arista en x unidades?
EL CUBO DE LA DIFERENCIA DE DOS TÉRMINOS.
Se desarrolla aplicando el mismo procedimiento de “el cubo de la suma de dos
términos”, sólo que en este caso se debe tomar en cuenta el signo de los términos.
Veamos esto en un ejemplo:
Ejemplo Nº 8:
Desarrolla el producto notable: ( y  2)3
( y  2)3  ( y)3  3   y) 2  (2)  3  ( y)  (2) 2  (2)3
Primer Segundo
Término Término
Simplificando cada término en el resultado:
Luego; Simplificado cada término el
polinomio resultante es:
( y) 3  y 3
2
2
* 3  ( y )  (2)  6y
2
* 3  ( y )  (2)  3y  (4)
= 12y
*
*
( y  2) 3  y 3  6 y 2  12y  8
(2) 3  (2)  (2)  (2)
 8
En resumen, obtenemos como resultado: El cubo del primer término, menos el triple
del producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del producto del
primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término.
Ejercicios propuestos:
5.42- (X – 1/2)3
5.43- (2X/3 - 1/5) 3
5.44- (a/3 - 3) 3
5.45- (X2 - 5) 3
5.46- (xy - xz) 3
5.47-
5.48- Compara los siguientes cubos
(2xy - x2 ) 2
a) (x - p) 3
b) (p - x) 3 ¿Son iguales? ¿Por qué?
5.49- Las cajas para embalaje de mercancía de una empresa tienen forma cúbica
con volumen de 125 cm3, con la finalidad de disminuir costos, la empresa
decide reducir el tamaño del envase restando x unidades (con x < 5) a la
arista del cubo original. ¿Qué fórmula permite conocer el volumen del nuevo
envase?
5.50- Si a = b + 3 ¿cuánto vale (a – b) 3 ?
5.51- Simplifica las siguientes operaciones:
a) 3  (2x  1)2  (4x  1)  (4x  1) 


b) 2  (7 x  3)  (7x  11)  4  ( x  9)2 
c) 2  (3x  1)3  ( x  6)3 
5.52- Halla la suma de: el doble del cuadrado de la diferencia entre X y 2, con el
triple del producto de la suma de X y 1 por su diferencia.