Liceo Polivalente Arturo Alessandri Palma Departamento de Matemática GUÍA DE APRENDIZAJE N° 2 SECTOR: Matemática Nivel / Curso: 1° A, B, C, D, E, F, G PROFESOR – A: Janet Espinosa CONTENIDO: Estadística APRENDIZAJE ESPERADO: Conocer las medidas de tendencia central Instrucciones: Leer resumen de contenidos, analizar los ejemplos, responder ejercicios propuestos y enviar evaluación. Tendrás una semana para responder la guía. Fecha inicio guía: 20 de agosto de 2011 Fecha de Recepción: Las respuestas de la evaluación deben enviarse antes del 6 de septiembre, 12:00 hrs (a.m.) Medidas de Tendencia central: Media aritmética ( x ): Corresponde al promedio de los datos. Media en datos no agrupados: Ejemplos resueltos: 1) 4, 7, 11, 12, 16, 19, 21, 24, 28 x 4 7 11 12 16 19 21 24 28 142 15,7 9 9 Entonces el promedio es 15,7 2) Determinar la media de los datos de la tabla xi 1 2 3 4 5 6 ni 5 3 1 6 2 4 1 5 2 3 3 1 4 6 5 2 6 4 5 3 1 6 2 4 5 6 3 24 10 24 x 21 72 x 3,428 21 x Entonces el promedio aproximado es 3,43 o 3,4 Media en datos agrupados Para calcular la media en datos agrupados debe calcular la marca de clase Ejemplo: Determinar la media aritmética de los datos de la tabla ni 3 8 5 2 6 10 - 20 20 - 30 30 - 40 40 - 50 50 - 60 Desarrollo: A la tabla debemos agregarle una columna para anotar la marca de clase (promedio de cada intervalo) ni 10 - 20 3 20 - 30 8 30 - 40 5 40 - 50 2 50 - 60 6 Total 24 Marca de clase (xi) 10 20 15 2 20 30 25 2 30 40 35 2 40 50 45 2 50 60 55 2 ni x i Según lo agregado a la tabla ahora podemos calcular la media aritmética 3·15 = 45 8·25 = 200 840 35 , por lo tanto el promedio o 24 media es 35 x 5·35 = 175 2·45 = 90 6·55 = 330 840 Es resumen la media aritmética se calcula dividiendo el total de n i x i por el total de individuos. Liceo Polivalente Arturo Alessandri Palma Departamento de Matemática Moda (Mo): es el valor de la variable que presenta mayor frecuencia absoluta. Puede haber más de una. Cuando los datos están agrupados en clases se puede tomar la marca de clase o utilizar la fórmula : d1 M0 = Li + donde: d1 d 2 Li = límite inferior de la clase modal, =amplitud del intervalo, d1= diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase anterior d2 = diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase posterior. Ejemplo: Calcular la moda en datos no agrupados 1) 4, 7, 11, 12, 16, 19, 21, 24, 28 Respuesta: acá la moda no existe ya que no se repite ningún dato. 2) 3, 5, 7, 1, 2, 5, 12, 3, 3 Respuesta: la moda es 3 3) 1, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 6, 8 Respuesta: La moda es 1, 3 y 5 4) xi 1 2 3 4 5 6 ni 5 3 1 6 2 4 Respuesta: en esta tabla la moda es 4 ya que corresponde al valor que tiene la frecuencia absoluta más alta (6) 4) Calcular la moda en datos agrupados 10 - 20 20 - 30 30 - 40 40 - 50 50 - 60 ni 3 8 5 2 6 Respuesta: Para determinar la moda debemos determinar los valores que debemos reemplazar d1 en la fórmula: M0 = Li + d1 d 2 Li = 19,5 (ya que 20 es el valor menor del intervalo y su forma más pequeña de escribir el número 20 es 19,5) =10 d1= 8 – 3 = 5 d2 = 8 – 5 = 3 Mo 19,5 10 Ahora reemplazamos en la fórmula 5 53 50 19,5 6,25 25,75 8 Por lo tanto la moda para los datos de la tabla es 25,75 o 25,8 Mo 19,5 Liceo Polivalente Arturo Alessandri Palma Departamento de Matemática Mediana (Me): es el valor de la variable tal que el número de observaciones menores que él es igual al número de observaciones mayores que él. Si el número de datos es par, se puede tomar la media aritmética de los dos valores centrales. En datos no agrupados los datos se deben ordenar en forma creciente o decreciente. Cuando los datos estén agrupados en clases se puede utilizar la fórmula: n Ni1 Me = Li+ 2 donde: ni Li: limite real inferior de la clase mediana : Amplitud del intervalo, n: total de individuos Ni-1: Frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase mediana ni: Frecuencia absoluta de la clase mediana Ejemplos: Calcular la mediana en datos no agrupados 1) 4, 7, 11, 12, 16, 19, 21, 24, 28 Respuesta: acá la cantidad de datos es impar (9 datos) por lo tanto la mediana esta ubicada en el 9 lugar 4,5 5 lugar . Por lo tanto la mediana es 16 2 2) 3, 5, 7, 1, 2, 5, 12, 3, Respuesta: En este ejercicio debemos ordenar en forma creciente o decreciente los datos 1, 2, 3, 3, 5, 5, 7, 12 , ahora, como la cantidad de datos es par (8 datos) tenemos 2 datos centrales 8 35 8 los que se encuentran en 4 lugar y 5° lugar, entonces la mediana es: 4 2 2 2 3) xi . 1 2 3 4 5 6 ni 5 3 1 6 2 4 Respuesta: en esta tabla la mediana la encontraremos en la frecuencia absoluta acumulada. Por lo tanto debemos agregar algunos datos a nuestra tabla xi 1 2 3 4 5 6 Total ni 5 3 1 6 2 4 21 Ni 5 5+3 =8 8+1 =9 9+6 =15 15+2 =17 17+4 =21 Entonces el total de datos (21) es impar, tenemos que la mediana se encuentra ubicada en el lugar 21 10,5 11 y la frecuencia absoluta acumulada que 2 incluye este lugar es 15 por lo tanto la mediana es 4 3) Calcular la mediana en datos agrupados 10 - 20 20 - 30 30 - 40 40 - 50 50 - 60 ni 3 8 5 2 6 Liceo Polivalente Arturo Alessandri Palma Departamento de Matemática Respuesta: Para determinar la mediana debemos completar la tabla y determinar los valores n Ni1 que debemos reemplazar en la fórmula: Me = Li+ 2 ni 10 - 20 20 - 30 30 - 40 40 - 50 50 - 60 Total ni 3 8 5 2 6 24 Ni 3 3+8 = 11 11+5 =16 16+2 =18 18+6 =24 24 12 y 13° , por lo 2 tanto la frecuencia absoluta acumulada que incluye estos lugares es 16, entonces la clase que buscamos es 30 -40. Con esta información podemos determinar los datos de nuestra fórmula La clase que tiene la mediana corresponde a la que incluya los lugares Li: 29,5 : 10 n: 24 Ni-1: 11 ni: 5 12 11 5 Ahora reemplazamos en la fórmula 1 10 Me 29,5 10 29,5 29,5 2 31,5 5 5 Por lo tanto la mediana para los datos de la tabla es 31,5 Me 29,5 10 Ejercicios Propuestos: 1. Determinar la media de los siguientes datos: 3, 4, 7, 12, 8, 1, 3, 5, 4, 2, 9 Resp: 5,3 2. Determinar la mediana de los siguientes datos: 3, 7, 10, 5, 3, 7, 6, 5, 8, 3, 2, 9 Resp: 5,5 3. Sabiendo que 5 es la media aritmética de los números 8, 7, 5, 3, m, 1, 5, 9¿Cuál es el valor de m? Resp: 2 4. La moda de los siguientes datos 1, 14, 13, 1, 7, 8, 3, 14, 13, 2 es Resp: 1, 13 y 14 5. Sabiendo que 11 es la media aritmética de los números 5, 15, m, 7, 11, 6, 4, y 14 ¿Cuál es el valor de m? a) 36 b) 8 Resp: 26 c) 26 d) 10 e) 18 6. En un curso de 45 alumnos, se sabe que 2 alumnos tiene 16 años, 9 alumnos tienen 17 años, 30 alumnos tienen 18 años, 4 alumnos tienen 19 años ¿Cuál es la media aritmética de las edades de los alumnos del curso? a) 17.8 b) 17.5 Resp: 17,8 c) 18 d) 18.2 e) 18.5 7. De acuerdo con la siguiente tabla de frecuencias de temperatura máxima de 12 días ¿Cuál es la mediana de la temperatura de esos 12 días? a) 26,5° b) 27° c) 28° d) 29° e) 30° xi 29° 28° 26° 24° ni 4 2 3 3 Resp: 27° Liceo Polivalente Arturo Alessandri Palma Departamento de Matemática 8. Las calificaciones obtenidas por 10 alumnos en un control son 4-5-7-5-3-5-4-5-5-2 ¿Cuál de las siguientes alternativas es verdadera? a) la media aritmética es 4.2 b) la moda es 4 y 5 Resp: D c) la mediana es 3 d) Moda=Mediana=5 e) N.A. 9. La media correspondiente a la siguiente información 1,3,8,5,2,6,3,4,7,1 es : a) 3.0 b) 4.0 Resp: 3,5 c) 3.5 d) 4.5 e) 5.0 10. Determinar la media, moda y mediana en la siguiente tabla de frecuencias: Clase 10 - 15 15 - 20 20 - 25 25 - 30 30 - 35 35 - 40 40 - 45 45 - 50 Frecuencia 10 15 22 29 16 15 6 4 Resp: x 27,4 , Mo = 26,3 Me = 26,5 ACTIVIDAD DE EVALUACIÓN [email protected] 1. Determinar la media aritmética, la mediana y la moda en la siguiente tabla: Clases 2. Dada la tabla. Determina xi 1 2 3 4 5 6 ni 5 3 1 6 2 4 Frecuencias 10 - 20 10 20 - 30 14 30 - 40 21 40 - 50 31 50 - 60 18 60 - 70 15 70 - 80 7 80 - 90 4 X , Mo, Me Liceo Polivalente Arturo Alessandri Palma Departamento de Matemática OBSERVACIONES: 1. Los trabajos que ingresen al correo de historia después de la hora indicada NO SERÁN REVISADOS. DEBES ENVIAR, SÓLO LA ACTIVIDAD DE EVALUACIÓN 2. No olvides enviar tus trabajos siguiendo las siguientes instrucciones: a. Crea un correo con tu nombre real, por ejemplo [email protected], j.perezgutié[email protected] para que tu profesor pueda identificar a cada alumno b. Al enviar tu trabajo o tus consultas, debes escribir en ASUNTO el sector de aprendizaje, el curso y tu nombre, por ejemplo: Historia-1ºA-JuanPérezGutiérrez.