La Aritmética y su historia.

Aritmética
Este artículo trata sobre la aritmética elemental. Para otros usos de
este término, véase teoría de números.
La matemática cuyo objeto de estudio son los números y
las operaciones elementales hechas con
ellos: suma, resta, multiplicación y división.
Al igual que en otras áreas de la matemática, como el álgebra o
la geometría, el sentido de«la aritmética» ha ido evolucionando con el
progresivo desarrollo de las ciencias. Originalmente, la aritmética se
desarrolla de manera formal en la Antigua Grecia, con el refinamiento
del rigor matemático y las demostraciones, y su extensión a las
distintas disciplinas de las «ciencias naturales».2 En la actualidad,
puede referirse a la aritmética elemental, enfocada a la enseñanza de la
matemática básica;
también al conjunto que reúne el cálculo aritmético y
las operaciones matemáticas, específicamente, las cuatrooperaciones
básicas aplicadas ya sea a números (naturales, fracciones, etc.) como
a entidades matemáticas más abstractas (matrices, operadores, etc);
también a la así llamada alta aritmética,3 mejor conocida como teoría
de números.
Las cuatro operaciones básicas (o elementales) de la aritmética son:
-Suma
-Resta
-Multiplicación
-División
En el sentido de la definición expuesta, el sustantivo «aritmética», en
los
primeros
simplemente
precisarse
grados
como
con
de
enseñanza
«matemáticas»,
la
introducción
escolar,
la
suele
distinción
del álgebra y
la
designarse
comienza
a
consiguiente
implementación de "letras" para representar "variables", así como las
definiciones
de
las
propiedades
algebraicas
tales
como
conmutatividad, asociatividad o distributividad, que son propias
del álgebra elemental.
De manera más general, el cómputo numérico incluye, además de
las operaciones básicas: el cálculo de congruencias, lafactorización,
el cálculo de potencias y la extracción de raíces.5 En este sentido, el
término aritmética se aplica para designar operaciones realizadas
sobre entidades que no son números enteros solamente, sino que
pueden ser decimales, racionales, etc., o incluso objetos matemáticos
con características completamente diferentes. El término «aritmética»
es
utilizado
también
como
una progresión aritmética.
adjetivo,
como
por
ejemplo
en
Origen
Los orígenes de la aritmética se pueden rastrear hasta los comienzos
de la matemática misma, y de la ciencia en general. Los registros
más antiguos datan de la Edad de Piedra: huesos, palos, piedras
talladas y escarbadas con muescas, presumiblemente con fines de
conteo, de representación numérica y calendarios.
Edad antigua
Matemática babilónica y Matemáticas en el Antiguo Egipto.
Hay evidencias de que los babilonios tenían sólidos conocimientos de
casi todos los aspectos de la aritmética elemental hacia 1800 a. C.,
gracias a transcripciones decaracteres cuneiformes sobre tablillas de
barro cocido, referidas a problemas de geometría y astronomía. Solo
se puede especular sobre los métodos utilizados para generar los
resultados aritméticos - tal y como se muestra, por ejemplo, en la
tablilla de arcilla Plimpton 322, que parece ser una lista de ternas
pitagóricas, pero sin mostrar cómo se generó la lista.
Los Shulba Sutras recopila los conocimientos matemáticos de la India
durante el período védico; constan de datos geométricos e incluyen el
problema de la cuadratura del círculo. Datados de una época que
oscila entre los 800 a. C. y los 200 a. C.
Otras civilizaciones mesopotámicas como sirios y fenicios alcanzaron
grados de desarrollo matemático similar, que utilizaron tanto para el
comercio como para la resolución de ecuaciones algebraicas.
El sistema de numeración egipcio, basado en fracciones unitarias,
permitía efectuar cuentas aritméticas avanzadas, como se muestra en
papiros
conservados
como
el Papiro
de
Moscú o
el Papiro
de
Ahmes (que data de ca. 1650 a. C., aunque es una copia de un
antiguo texto de ca. 1850 a. C.) que muestra sumas, restas,
multiplicaciones y divisiones, utilizando un sistema de fracciones, así
como los problemas de determinar el volumen de una esfera, o el
volumen de una pírámide truncada. El papiro de Ahmes es el primer
texto egipcio que menciona los 365 días del calendario egipcio, es el
primer calendario solar conocido.
Aritmética formal en la Antigua Grecia
: Matemática helénica.
La aritmética en la Grecia Antigua era considerada como el estudio de
las propiedades de los números, y no incluía cálculos prácticos, los
métodos operatorios eran considerados una ciencia aparte. Esta
particularidad fue heredada a los europeos durante la Edad Media, y
no fue hasta el Renacimiento que la teoría de números y los métodos
de cálculo comenzaron a considerarse «aritméticos».
La matemática griega hace una aguda diferencia entre el concepto de
número y el de magnitud o conmensurabilidad. Para los antiguos
griegos, número significaba lo que hoy se conoce por número natural,
además de diferenciar entre «número» y «magnitud geométrica». Los
libros 7–9 de Los elementos de Euclides tratan de la aritmética
exclusivamente en este sentido.
Nicómaco de Gerasa (ca. 60 - 120 d. C.), en su Introducción a la
Aritmética, resume la filosofía de Pitágoras y de Platón enfocada a los
números y sus relaciones fundamentales.
Nicómaco
hace
por
primera
vez
la
diferencia
explícita
entre Música, Astronomía,Geometría y Aritmética, y le da a esta
última un sentido más «moderno», es decir, referido a los números
enteros y
sus
propiedades
fundamentales.6 El quadrivium (lat.
"cuatro caminos"), agrupaba estas cuatro disciplinas científicas
relacionadas
con
las
matemáticas
provenientes
de
la escuela
pitagórica.
Diofanto de Alejandría (siglo III d.C), es el autor de Arithmetica, una
serie de libros sobre ecuaciones algebraicas en donde por primera vez
se reconoce a las fracciones como números, y se utilizan símbolos y
variables como parte de la notación matemática; redescubierto
por Pierre de Fermat en el siglo XVII, las hoy llamadas ecuaciones
diofánticas condujeron a un gran avance en la teoría de números.
Edad Media y Renacimiento europeo
El mayor progreso matemático de los griegos se dio entre los años
300 a.C y el 200 d.C. Después de esto los avances continuaron en
regiones islámicas. Las matemáticas florecieron en particular en Irán,
Siria e India. Si bien los descubrimientos no fueron tan sustanciales
como
los
llevados
a
cabo
por
los
matemáticos
griegos,
sí
contribuyeron en gran medida a preservar sus obras originales. A
partir del siglo XI, Adelardo de Bath y más adelante Fibonacci,
introducen nuevamente en Europa esta matemática islámica y sus
traducciones del griego.7
De las siete artes liberales en que se organizaban los estudios
formales en la Antigüedad y la Edad Media, la aritmética era parte de
las enseñanzas escolásticas y universitarias.8 En 1202, Fibonacci, en
su
tratado Liber
Abaci,
decimal con números
realizadas
hasta
introduce
arábigos.
entonces,
el sistema
Las
resultaban
de
operaciones
muy
numeración
aritméticas,
complicadas
con
numerales romanos, aún las más básicas; la importancia práctica en
contabilidad hizo que las nuevas técnicas aritméticas se popularizaran
enseguida en Europa. Fibonacci llegó a escribir que «comparado con
este nuevo método, todos los demás habían sido erróneos».
Civilizaciones precolombinas
.
Numeración maya y Matemática incaica.
Al igual que otras civilizaciones mesoamericanas, los mayas utilizaban
un sistema de numeración de base vigesimal (base aritmética 20)
para medir el tiempo y participar del comercio a larga distancia. Los
mayas preclásicos desarrollaron independientemente el concepto del
cero alrededor
del
año
36 a. C.9Aunque
poseían
sistema
de
numeración, la ciencia maya y azteca estaba más enfocada en
predecir el paso del tiempo, elaborar calendarios y pronosticar
eventos astronómicos. Las culturas andinas, que no poseían sistema
de escritura, sí parecen haber desarrollado más el cálculo aritmético.
Algunas inscripciones fijan con gran precisión el año solar real en 365
días. Fueron las primeras civilizaciones en inventar el cero, aunque
con algunas peculiaridades que le privaron de posibilidad operatoria.
Los incas se destacaron principalmente por su capacidad de cálculo
para fines económicos y comerciales. Los quipus y yupanas fueron
señal de la importancia que tuvo la administración incaica. Esto dotó
a los incas de una aritmética sencilla pero efectiva para fines
contables; basada en unsistema decimal, conocieron el cero y
dominaron la suma, la resta, la multiplicación y la división.
Aritmética en China.
Varillas de conteo.
La matemática china temprana es tan diferente a la de otras partes
del
mundo,
que
es
razonable
suponer
que
se
desarrolló
independientemente. El texto de matemáticas más antiguo que se
conserva es el Chou Pei Suan Ching(literalmente: La Aritmética
Clásica del Gnomon y los Senderos Circulares del Cielo), datado del
300 a.C.11
De particular notoriedad es el uso de un sistema decimal posicional,
la así llamada numeración con varillas, utilizada muchos siglos antes
del sistema indoarábigo de numeración.11 El sistema de numeración
con varillas permitía representar cantidades arbitrariamente grandes,
y facilitaba el cálculo matemático con suanpan (o ábaco chino). La
fecha de invención del "suan pan" es incierta, pero los registros
escrito más antiguos que lo mencionan datan del año 190 a.C., en las
«Notas Suplementarias en el arte de las Figuras», de Xu Yue.
Los nueve capítulos sobre el arte matemático, contiene problemas de
agricultura, comercio, geometría e ingeniería, así como trabajos con
triángulos rectángulos y aproximaciones al número π. El matemático
chino Zu Chongzhi calculó el valor de π hasta siete decimales.11
Aritmética en la India: el cero y la notación posicional
La matemática hindú alcanzó su madurez durante los siglos I al VIII,
con el invento trascendental de la notación posicional empleando la
cifra cero como valor nulo. Utilizaron, como en Occidente, un sistema
de numeración de base 10 (con diez dígitos). Egipcios, griegos y
romanos, aunque utilizaban un sistema decimal, este no era
posicional, ni poseía el cero, el cual fue transmitido a occidente
mucho más tarde por los árabes, que le llamaban hesab, a través de
la España e Italia medievales.
El sistema de numeración decimal aparece ya en el Süryasiddhanta,
pequeño tratado que data probablemente del siglo VI. Los trabajos
matemáticos de los hindúes se incorporaron en general a las obras
astronómicas. Este es el caso de Aryabhata, nacido hacia 476, y
de Brahmagupta, nacido hacia 598. Hacia 1150, Bhaskara escribió un
tratado de aritmética en el que exponía el procedimiento del cálculo
de raíces cuadradas. Se trata de una teoría de las ecuaciones de
primer y segundo grado, no en forma geométrica, como lo hacían los
griegos, sino en una forma que se puede llamar algebraica.
En el siglo VII, el obispo sirio Severo Sebhokt menciona este método
con admiración, indicando no obstante que el método indio iba más
allá de esa descripción. Las múltiples ventajas prácticas y teóricas del
sistema de «notación posicional con cero» dieron el impulso definitivo
a todo el desarrollo ulterior de las matemáticas. Los modernos
algoritmos de cálculo fueron posibles gracias a la introducción de
los números árabes y la notación decimal posicional.
Aritmética árabe
La matemática hindú, con el temprano desarrollo de la notación
posicional y uso del cero, revistieron gran importancia en el progreso
matemático posterior. Esta herencia fue recogida por los árabes,
netamente
con
los
trabajos
de al-Jwarizmi y
las
primeras
traducciones de textos griegos al árabe, incluyendo los Elementos de
Euclides realizada por al-Hajjaj. En la Casa de la sabiduría (Bayt alHikma, una institución de investigación y traducción establecida en
Bagdad),
los
científicos
y
matemáticos
tradujeron
las
obras
deEuclides, Diofanto, Menelao, Arquímedes, Ptolomeo, Apolonio entre
otros clásicos de la ciencia griega. Uno de los avances más
significativos se da con los trabajos de Abu Yafar Mohamed ibn Musa
al-Jwarizmi:
el álgebra,12 que
representaba
un
apartamiento
revolucionario del concepto geometricista de los griegos, permitiendo
un tratamiento distinto de los "objetos" tales como los números
racionales, los irracionales o las magnitudes geométricas, y una
aplicación sistemática de la aritmética al álgebra.13 Abu Bekr ibn
Muhammad ibn al-Husayn al-Karaji, nacido en 953, es probablemente
el primero en liberar completamente al álgebra de lasoperaciones
geométricas y remplazarlas por el tipo de operaciones aritméticas que
constituyen
el
corazón
del
álgebra
actual. al-Samawal (nacido
en 1130) fue el primero en dar al nuevo tópico del álgebra una
descripción precisa, cuando escribió que ella se ocupaba ...de operar
sobre las incógnitas usando todas las herramientas aritméticas, de la
misma forma que el aritmético opera sobre lo conocido. Thabit ibn
Qurra (nacido en 836), hizo múltiples contribuciones en los más
diversos campos de las matemáticas, en especial a la teoría de
números.
Tres
distintos
tipos
de
sistemas
aritméticos
se
empleaban
simultáneamente alrededor del siglo X: la aritmética por conteo con
los dedos, con los numerales enteramente escritos en palabras, era el
método empleado por la comunidad mercantil; el sexagesimal, con
los numerales denotados por letras del alfabeto árabe, provenía de la
matemática babilónica, y los matemáticos del islam lo usaron
principalmente para el trabajo astronómico; el tercer sistema fue la
aritmética de los numerales indios y las fracciones con valor
posicional decimal.
Alta aritmética
Teoría de números.
El término aritmética también hace referencia a la teoría de números,
la cual desarrolla y profundiza las propiedades de los números
(enteros) relacionadas con su primalidad, divisibilidad y las soluciones
de ecuaciones en los enteros; en particular, el «teorema fundamental
de la aritmética» y las «funciones aritméticas» se desarrollan dentro
de
este
marco
y
este
es
el
uso
reflejado
en A
Course
in
Arithmetic de Jean-Pierre Serre, o el que le da Harold Davenport en
frases como: "aritmética de primer orden" o "alta aritmética".
La aritmética modular trata de las congruencias de números enteros;
su estudio se inscribe dentro de la teoría de números.
La aritmética
binaria y el álgebra
de
Boole, muy
utilizadas en
informática, es el cálculo aritmético efectuado en un sitema de
numeración binario, y el álgebra resultante. Documentado por
Leibniz, en el siglo XVII, en su artículo Explication de l'Arithmétique
Binaire.
La aritmética ordinal, en teoría de conjuntos, describe el cálculo
aritmético con las operaciones —suma, multiplicación ypotenciación—
aplicadas a los números ordinales.
La aritmética de Peano es el conjunto de axiomas de construcción de
los números naturales.
Teoremas de incompletitud de Gödel, enunciados por Gödel en 1930,
demuestra que ninguna teoría matemática formal capaz de describir
los números naturales y la aritmética con suficiente expresividad, es
a la vez consistente y completa.
El Teorema Fundamental de la Aritmética
También conocido como teorema de factorización única, afirma que
todo entero positivo se puede representar de forma única como
producto
de factores
primos.
Este
resultado
fue
obtenido
por Euclides, y presentado originalmente como un corolario al
llamado Primer Teorema de Euclides.14 La demostración formal no se
dio hasta la publicación de las Disquisitiones Arithmeticae por Carl
Friedrich Gauss en 1801. La generalización y profundización de este
resultado y otros similares, son los que impulsan el desarrollo de
la teoría de números, la geometría algebraica o la teoría de grupos.