Tema 3 Aritmética Mercantil. Progresiones.
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MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES: Mayores de 25 años. Tema 3. Aritmética mercantil. Progresiones. Sucesiones de números reales. Progresiones aritméticas. Progresiones geométricas. Interés simple y compuesto. IPEP de Granada Dpto. de Matemáticas Tema 3. Aritmética mercantil. Progresiones. Sucesiones de números reales. http://www.ehu.es/juancarlos.gorostizaga/apoyo/sucesiones.htm Se llama sucesión de números reales, a una lista infinita de números reales: A cada uno de estos números se le llama término (primer término, segundo, etc.). De una manera matemática una sucesión se suele definir como una aplicación de N* en R, dada por: es decir, para n=1 tenemos el primer término, para n=2 el segundo, ... A las sucesiones se las suele representar por su término general, que es un término genérico dependiente de n, tal que al ir dando a n los sucesivas valores de N* vamos obteniendo todos los términos de ella. Por ejemplo, la sucesión: es la formada por: En concreto, en esta sucesión hay dos aspectos destacables, observémosla más detenidamente dibujándola sobre la recta real: Por una parte, podemos notar que todos sus infinitos términos se encuentran comprendidos entre 0 y 1. Cuando esto sucede se dice que la sucesión está acotada (superiormente por el 1, e inferiormente por el 0). En caso de que esto no fuera así, se hablaría de una sucesión no-acotada (bien superiormente, bien inferiormente, o incluso puede ser no-acotada en ambos lados). El segundo aspecto destacable es que cada término es inferior al que le antecede (los términos se encuentran colocados sobre la recta real de derecha a izquierda) lo cual indica que la sucesión es decreciente. En caso opuesto como sucede con la sucesión (2, 4, 6, 8, 10, ...) se dice que la sucesión es creciente. Progresiones aritméticas. http://www.vitutor.com/al/sucesiones/suc3_Contenidos.html Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d. 8, 3, -2, -7, -12, ... Si a cada término le restamos su anterior, observamos que se obtiene el mismo número (la diferencia) 3 - 8 = -5 -2 - 3 = -5 -7 - (-2) = -5 -12 - (-7) = -5 Luego la diferencia es d = −5. Término general de una progresión aritmética 1. Si conocemos el 1er término. an = a1 + (n - 1) · d Ejemplo: 8, 3, -2, -7, -12, .. an= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5n + 13 2. Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión. an = ak + (n - k) · d Ejemplo: a4= -7 y d= -5 an = -7+ (n - 4) · (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 13 Interpolación de términos en una progresión aritmética Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos números, es construir una progresión aritmética que tenga por extremos los números dados. Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m. Ejemplo: Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12. 8, 3, -2, -7 , -12. Suma de términos equidistantes de una progresión aritmética Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que la suma de términos equidistantes es igual a la suma de los extremos. ai + aj = a1 + an a3 + an-2 = a2 + an-1 = ... = a1 + an Ejemplo: 8, 3, -2, -7, -12, ... Si sumamos el primer término con el último da la misma suma que al unir el segundo con el penúltimo o al sumar consigo mismo el que queda en medio, es decir: 8 + (-12) = 3 + (-7) = (-2) + (-2) Hacemos cada una de las sumas y comprobamos que da lo mismo -4 = -4 = -4 Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética Ejemplo: Calcula la suma de los primeros 5 términos de la progresión : 8, 3, -2, -7, -12, ... Progresiones geométricas. http://www.vitutor.com/al/sucesiones/suc4_Contenidos.html Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón. Si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ... Si dividimos el segundo término entre el primero 6/3 = 2 obtenemos el mismo resultado que al dividir el tercero entre el segundo 12/6 = 2, lo mismo que al dividir el cuarto entre el tercero 24/12 = 2, que coincide con la división del quinto entre el cuarto 48/24 = 2 y así sucesivamente. Luego la razón de esta progresión geométrica es r = 2. Término general de una progresión geométrica 1. Si conocemos el 1er término. an = a1 · rn-1 Ejemplo: 3, 6, 12, 24, 48, .. an = 3· 2n-1 = 3· 2n · 2-1 = (3/2)· 2n 2. Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión. an = ak · rn-k Ejemplo: a4= 24, k=4 y r=2. an = a4 · rn-4 an = 24· 2n-4= (24/16)· 2n = (3/2) · 2n Interpolación de términos en una progresión geométrica Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados. Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m. Ejemplo: Interpola tres medios geométricos entre 3 y 48. 3, 6, 12, 24 , 48. Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica Ejemplo: Calcula la suma de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ... Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente Ejemplo: Calcula la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente ilimitada: Producto de dos términos equidistantes Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que el producto de términos equidistantes es igual al producto de los extremos. ai . aj = a1 . an a3 · an-2 = a2 · an-1 = ... = a1 · an Ejemplo: 3, 6. 12, 24, 48, ... 48 · 3 = 6 · 24 = 12 · 12 144 = 144 = 144 Producto de n términos equidistantes de una progresión geométrica Ejemplo: Calcula el producto de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ... Interés simple y compuesto. http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Interes_simple.html El concepto de interés tiene que ver con el precio del dinero. Si alguien pide un préstamo debe pagar un cierto interés por ese dinero. Y si alguien deposita dinero en un banco, el banco debería pagar un cierto interés por ese dinero. Componentes del préstamo o depósito a interés En un negocio de préstamo o depósito a interés aparecen: El capital, que es la cantidad de dinero inicial, prestado o depositado. La tasa, que es la cantidad de dinero que se paga o se cobra por cada 100 en concepto de interés; también llamada tanto por ciento. El tiempo, durante el cual el dinero se encuentra prestado o depositado y genera intereses. El interés cobrado o pagado, que es la cantidad de dinero cobrado o pagado por el uso del capital durante todo el tiempo. El interés, como precio por el uso del dinero, se puede presentar como interés simple o como interés compuesto. El interés simple El interés simple se calcula y se paga sobre un capital inicial que permanece invariable. El interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Dicho interés no se reinvierte y cada vez se calcula sobre la misma base. En relación a un préstamo o un depósito mantenido durante un plazo a una misma tasa de interés simple, los cálculos de cualquier de esos elementos se realizan mediante una regla de tres simple. Es decir, si conocemos tres de estos cuatro elementos podemos calcular el cuarto: El interés (I) que produce un capital es directamente proporcional al capital inicial (C), al tiempo (t), y a la tasa de interés (r): Esto se presenta bajo la fórmula: si la tasa anual se aplica por años. si la tasa anual se aplica por meses si la tasa anual se aplica por días Recordemos que cuando se habla de una tasa de 6 por ciento (o cualquier porcentaje), sin más datos, se sobreentiende que es anual. Ahora, si la tasa o porcentaje se expresa por mes o por días, t debe expresarse en la misma unidad de tiempo. Veamos algunos ejercicios: Ejercicio Nº 1: Calcula a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 25.000 € invertido durante 4 años a una tasa (rédito) del 6 % anual. Resolución: Aplicamos la fórmula pues la tasa se aplica por años. Que es igual a I = C • r • t En la cual se ha de expresar el 6 % en tanto por uno, y se obtiene 0,06 I = 25.000 • 0,06 • 4 = 6.000 Respuesta: A una tasa de interés simple de 6% anual, al cabo de 4 años los 25.000 € han ganado 6.000 € en intereses. Ejercicio Nº 2: Calcula el interés simple producido por 30.000 € durante 90 días a una tasa de interés anual del 5 %. Resolución: Aplicamos la fórmula pues la tasa se aplica por días. Que es igual a I = C • i • t En la cual se ha de expresar el 5 % en tanto por uno, y se obtiene 0,05 Respuesta: El interés simple producido al cabo de 90 días es de 369,86 € Ejercicio Nº 3: Al cabo de un año, un banco ha ingresado en una cuenta de ahorro, en concepto de intereses, 970 €. La tasa de interés de una cuenta de ahorro es del 2 %. ¿Cuál es el saldo medio (capital) de dicha cuenta en ese año? Resolución: Aplicamos la fórmula pues la tasa se aplica por años. Que es igual a I = C • i • t En la cual se ha de expresar el 2 % en tanto por uno, y se obtiene 0,02 Nótese que aquí conocemos el interés y desconocemos el capital. Reemplazamos los valores: Despejamos C: Respuesta: El saldo medio (capital) anual de dicha cuenta fue de 48.500 €. Ejercicio Nº 4: Por un préstamo de 20.000 € hay que devolver al final del año 22.400 €. ¿Cuál es la tasa de interés cobrada? Resolución: Como conocemos el capital inicial y el capital final (sumados los intereses) podemos calcular el monto de los intereses, haciendo la resta. 22.400 − 20.000 = 2.400 € son los intereses cobrados Aplicamos la fórmula pues la tasa se aplica por años. Que es igual a I = C • i • t Despejamos i: Recordemos que i es la tasa expresada en tanto por uno , por lo cual debemos multiplicar por cien para obtener la tasa en tanto por ciento: 0,12 • 100 = 12 Respuesta: La tasa de interés anual es del 12 %. Ejercicio Nº 5: Un capital de 300.000 € invertido a una tasa de interés del 8 % durante un cierto tiempo, ha supuesto unos intereses de 12.000 €. ¿Cuánto tiempo ha estado invertido? Resolución: Se sobreentiende que la tasa es 8 % anual, pero no sabemos el tiempo durante el cual ha estado invertido el capital. Podemos usar la fórmula suponiendo que la tasa (anual) se ha aplicado por año: Reemplazamos los valores: Calculamos t Respuesta: El tiempo durante el cual el capital ha estado invertido es de 0,5 año (medio año); es decir, 6 meses. También podemos calcular pensando en que la tasa anual de 8 % se aplicó durante algunos meses: Reemplazamos los valores: Calculamos Ahora despejamos t Respuesta: El tiempo durante el cual el capital ha estado invertido es 6 meses. Interés compuesto. Cuando C un capital invertido durante n años a una tasa i de interés compuesto por cada año, queremos decir que cada año las ganancias se reinvierten con lo que se va incrementando el capital inicial y generan por tanto mayores ganancias al año siguiente. Durante el primer año el capital C produce un interés I1 = C · i. El capital final será: C1 = C + Ci = C(1 + i) Después del segundo año, el capital C1 produce un interés I2 = C(1+i )·i = C(i + i 2). El capital final C2 será: C2 = C1 + I2 = C (1 + i ) + C (i + i 2) = C (i 2 + 2i + 1) = C · (1 + i )2 Al cabo de n años el capital inicial C, invertido en la modalidad de interés compuesto se convertirá en un capital final Cn, Cn = C (1 + i )n Puesto que el interés es la diferencia entre el capital final y el inicial: I = Cn - C = C (1 + i )n - C, y sacando factor común C: La tasa de interés se obtiene despejando en la fórmula de Cn: Cn = C (1 + i )n Aunque la fórmula del interés compuesto se ha deducido para una tasa de interés anual durante n años, todo sigue siendo válido si los periodos de conversión son semestres, trimestres, días, etc., sin más que convertir éstos a años: Ejercicios: 1. Averigua en qué se convierte un capital de 1 200 000 € al cabo de 5 años, y a una tasa de interés compuesto anual del 8 %. Resolución: Aplicando la fórmula Cn = C (1 + i )n ? = C( 1 + i )n C5 = 1 200 000 (1 + 0,08)5 = 1 200 000 · 1,4693280 = 1 763 193,6 El capital final es de 1 763 194 €. 2. Un cierto capital invertido durante 7 años a una tasa de interés compuesto anual del 10% se ha convertido en 1 583 945 pesos. Calcula el capital inicial, sabiendo que los intereses se han pagado semestralmente. Resolución: Como los intereses se han pagado semestralmente, la fórmula que se ha de aplicar es: 1 583 945 = C (1 + 0,05)14 1 583 945 = C · 1,97993160, y despejando C: El capital inicial fue de 800 000 pesos. 3. Calcula la tasa de interés compuesto anual que se ha aplicado a un capital de 1 500 000 pesos para que al cabo de 4 años se haya convertido en 2 360 279 pesos. Resolución: Cn = 2 360 279; C = 1 500 000; n=4 2 360 279 = 1 500 000 (1 + i )4 1 + i = 1,1199999 i = 1,1199999 - 1 = +0,1199999 0,12 La tasa de interés ha sido del 12 %. Ejercicios de interés simple: http://www.vitutor.com/di/p/ejercicios_interes.html Ejercicio 1: ¿Durante cuánto tiempo ha de imponerse un capital de 25 000 € al 5% para que se convierta en 30.000 €? Soluciones: Ejercicio 2: Se prestan 45 000 € y al cabo de un año, 4 meses y 20 días se reciben 52 500 €. Calcular el tanto por ciento de interés. Soluciones: 360 + 120 + 20 = 500 días I = 52 500 − 45 000 = 7 500 € Ejercicio 3: Halla el tanto por ciento de interés simple al que deberá prestarse un capital para que al cabo de 20 años los intereses sean equivalentes al capital prestado. Soluciones: I=C Ejercicio 4: ¿En cuánto tiempo se triplica un capital colocado al 6%? Soluciones: I=3·C Ejercicio 5: Halla el interés producido durante cinco años, por un capital de 30 000 €, al 6%. Soluciones: Ejercicio 6: Calcula en qué se convierte, en seis meses, un capital de 10.000 €, al 3.5%. Soluciones: Ejercicio 7: ¿Durante cuánto tiempo ha de imponerse un capital de 25 000 € al 5% para que se convierta en 30.000 €? Soluciones:
