Geometría Analítica.....Unidad 2 Unidad 3 Coordenadas Polares

Geometría Analítica.....Unidad 2
Unidad 3 Coordenadas Polares
Sección 3.1 El Sistema de Coordenadas Polares.
Se trata de un nuevo sistema de coordenadas, diferente al que hemos empleado
hasta ahora.
Definición
Hasta el momento hemos fijado la posición de un punto en el plano cartesiano
mediante pares ordenados (x,y) que son las distancias a dos rectas
perpendiculares, en ocasiones es preferible, hacerlo en función de su distancia a
un punto fijo y de la dirección con respecto a una recta fija que pase por este
punto. Las coordenadas de un punto en esta referencia, se llaman coordenadas
polares.
Consideremos la siguiente figura:
Sea un punto fijo del plano O, al cual se le llama polo, y la recta horizontal que
pasa por el polo se llama eje polar. Las coordenadas polares de un punto P se
representan por (r, ), siendo r = distancia dirigida desde O a P y = ángulo
desde el eje polar a OP.
El ángulo es positivo cuando se mide sentido antihorario y negativo en caso
contrario.
Ejemplo 1. Representar los puntos cuyas coordenadas polares son P 1(2,  ),
4
P2(3,   ), P3(-2,  ) Solución:
6
6
FJDM…..004D…..010D…..014D 1
Geometría Analítica.....Unidad 2
RELACIÒN ENTRE LAS COORDENADAS RECTANGULARES Y POLARES
Consideremos el punto (r, ) y supongamos que coincide el eje polar con el eje
X y el polo O con el origen del sistema de coordenadas rectangulares. Sean (x ,
y) las coordenadas rectangulares del mismo punto P, como se indica en la figura
siguiente
Del triángulo anterior se obtiene:
Dado un punto de coordenadas polares P(r, θ), sus coordenadas rectangulares
P(x, y) son: x  r cos  e y  r sin  .
Ejemplo 2. Hallar las coordenadas rectangulares de los puntos con coordenadas
polares P1(-2, 5 ) y P2(3, 4 ).
3
6
Solución:
5
Para P1(-2, 5 ), tenemos que x = r cos θ = – 2 cos
=–2–( 3 )= 3
6
2
6
5
y = r sen θ = – 2 sen
= – 2 (½ ) = –1, por tanto las coordenadas
6
rectangulares del punto son P1( 3 ,–1).
4
Para P2(3, 4 3 ), x = 3 cos
= 3 (–½) = – 3/2
3
FJDM…..004D…..010D…..014D 2
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4
3 3
= 3 (– 3 ) = –
, por tanto las coordenadas rectangulares
2
3
2
3 3
del punto son P2(– 3/2, –
).
2
Y = 3 sen
Para pasar de coordenadas cartesianas (x, y) a polares (r, θ) han de usarse las
x
ecuaciones: θ = ang tan
y r = x2  y2
y
Ejemplo 3. Dadas las coordenadas cartesianas del punto P(1, - 3 ) , determinar las
coordenadas polares del mismo.
Solución:

r  x2  y2  1  3

2
 42
5
x
1
3
= ang tan
= ang tan 
= 300º =
por lo tanto las
3
y
3
 3
5
coordenadas polares del punto son P(2,
).
3
θ = ang tan
Distancia entre dos puntos en coordenadas polares
De la figura conocemos 2 lados del triangulo y el ángulo que forman, el tercer
lado lo calculamos usando el teorema del coseno.
d2 = (P1P2) 2 = r21 + r22 – 2r1r2 cos(θ2 – θ1)
Ejemplo 3. Hallar la distancia entre los puntos P1(6, 15º) y P2(8, 75º)
Solución: d =
6 2  8 2  2(6)(8) cos( 75 0  15 0 )  36  64  96(1 2)  2 3
FJDM…..004D…..010D…..014D 3
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4. Dada la ecuación polar r(3 – 2 cos θ) = 2. Obtener la ecuación cartesiana de
la curva.
Solución: sabemos que x = r cos θ
ecuaciones
de
cambio
a
la
x 2  y 2 , si aplicamos estas
y r =
ecuación
polar
dada
tenemos:
r(3 – 2 cos θ) = 2  3r – 2r cos θ = 2  3 x 2  y 2 = 2x + 2, elevando al
cuadrado ambos miembros queda: 9(x2 + y2) = 4x2 + 8x + 4, simplificando y
ordenando resulta: 5x2 + 9y2 – 8x – 4 = 0, que es la ecuación buscada.
5. Obtener la ecuación polar de la curva cuya ecuación es 3x + 4y + 1 = 0.
Solución: sabemos que x = r cos θ e y = r sen θ sustituyendo en la ecuación
cartesiana dada queda:
3(r cos θ) + 4(r sen θ) + 1 = 0  3r cos θ + 4r sen θ +1 = 0 
r(3cos θ + 4sen θ) = -1
Problemas para resolver:
Parte I
A continuación se dan los puntos en coordenadas polares calcular sus
coordenadas cartesianas.
Coordenadas Polares
3
a) P(4,
)
6
5
b) P(-1,
)
4

c) P(4,  )
3
d) P( 2 , 2,36º)
Resp en Coordenadas Cartesiana
P(0, 4)
P( 2
2
, 2
2
)
P(2,  2 3 )
P(-1,004; 0,996)
Parte II
A continuación se proporcionan puntos en coordenadas cartesianas calcular sus
correspondientes en coordenadas polares.
Coordenadas Cartesianas
a) P(1, 1)
b) P(-3, 4)
c) P  3, 3

d) P(4, 6)

Res Coordenadas Polares
P( 2, 
4
P(5, 2,214º )
P 6 , 5 4
P( 2 2 , 0,983º)




FJDM…..004D…..010D…..014D 4
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Parte III
Calcular la distancia entre los pares de puntos siguientes, expresando el
resultado con una cifra decimal.
a) P1(5, 45º)
b) P1(-5, -120º)
c) P1(50, 30º)
d) P1(3, 150º)
y
y
y
y
P2(8, 90º)
P2(4, 150º)
P2(50, -90º)
P2(-2, 60º)
R: 5,7
R: 6,4
R: 86,6
R: 3,6
Parte IV
Determinar las ecuaciones polares correspondientes a las ecuaciones
cartesianas que se indican.
a) x 2  y 2  b
b) 2x2 + 2y2 + 2x – 6y + 3 = 0
c) x 2  y 2  b
d) x2 + y2 – 2y = 0
R: r = b
R: 2r2 2r cos θ – 6r sen θ + 3 = 0
R: r2 cos 2θ = b
R: r = 2 sen θ
Parte V
Determinar las ecuaciones cartesianas
polares que se indican.
a) r = 4 sen θ
b) r – r cos θ = 4
2
c) r 
2  cos 
d) r = 2 sec2 (θ/2)
correspondientes a las ecuaciones
R: x2 + y2 – 4y = 0
R: y2 – 8x – 16 = 0
R: 3x2 + 4y2 – 4x – 4 = 0
R: y2 = 4x3
FJDM…..004D…..010D…..014D 5