ESQUEMA DE LÍMITES

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
 Páginas sacadas del libro Anaya de 2º de bachillerato.
 Las páginas y demás datos que se citan para sacar ejercicios de ejemplo, no incluyen
todos los ejercicios posibles. Sólo son algunos ejercicios de los más importantes.
MODELOS DE EJERCICIOS
 El profesor dio una hoja de representación de funciones y demás ejercicios
relacionados con la monotonía, curvatura, etc. Esta hoja sirve para practicar casi
todo, especialmente los apartados C y D, de entre todos los modelos de ejercicios
que se detallan a continuación.
A) Dada una función, pueden pedirte estudiar uno o varios de los siguientes aspectos:
1. Pág. 291: Puede que tengas que hallar la ecuación de la recta tangente que cumpla
unas condiciones determinadas (ejer. 1), o los puntos en los que la ecuación de una
recta tangente cumple esas condiciones (ejer. 2).
2. Págs. 292-293: La monotonía: intervalos de crecimiento (ejer. 4) o puntos máximos
y mínimos (ejers. 5-6). También pueden pedirte estudiar toda la monotonía.
3. Pág. 293: Puntos de inflexión y estudio de la curvatura.
4. Hallar todas las asíntotas de la función.
1
Ejemplos: y  xex y  xe x // y  ln  x  2 y  2
x 1
…y el resto de ejemplos de la hoja de representación que Eusebio proporcionó.
B) Dada la derivada (generalmente la gráfica de la derivada) de una función, pueden
pedirte estudiar los puntos 2 y/o 3 del apartado anterior.
C) También pueden pedirte la representación de una función, para lo cual hay que
estudiarla completamente, siguiendo los siguientes pasos:
1. El dominio 2. La continuidad 3. Puntos de corte con los ejes
4. Monotonía y puntos singulares 5. Curvatura y ptos. de inflexión 6. Asíntotas
Y a continuación representas la gráfica aproximadamente, tomando como modelo los
datos estudiados con anterioridad.
D) Es importante también, hallar los valores a, b… de una función, para que cumpla
unas condiciones determinadas.
 Ejemplos: pág. 298  ejers. 21-24 y 27
E) Optimización de funciones.  Practica con la hoja de optimización que Eusebio
proporcionó, o con los ejercicios que tu profesor te haya indicado.
Recta tangente (pág. 276)
Para determinar la recta tangente a un punto, hallas la derivada en ese punto, lo cual te
dará la pendiente. Después hallas el punto por el que debe pasar la tangente. Con estos
datos puedes emplear la ecuación punto-pendiente:
y  y0  m  x  x0 
LA MONOTONÍA
Respecto a la monotonía, una función es:
 Creciente cuando f   x   0 .

Decreciente cuando f   x   0 .
1
Para estudiar la monotonía, primero halla las soluciones de f   x   0 . Las soluciones
darán lugar a unos intervalos en los que debes comprobar si la función crece o decrece.
Observa el siguiente ejemplo, en el que las soluciones fueron x = 1; x = 4.
y′ > 0
y′ < 0
-∞
y′ > 0
1
+∞
4
 Recuerda que si hay algún valor que haga el denominador 0, debes incluirlo en la recta para
comprobar los trozos que hay en medio. Ejemplo de esto es el ejer. 4b de la pág. 292.
MÍNIMOS Y MÁXIMOS
Un punto singular en a es aquél en el que f   a   0 .
Hay dos formas de comprobar los puntos máximos y mínimos.
1º forma, con la monotonía
Un punto singular es:
 Mínimo si f es decreciente a la izquierda y creciente a la derecha.
 Máximo si f es creciente a la izquierda y decreciente a la derecha.
Por tanto, tras realizar el estudio de la monotonía, tal y como se indica en el apartado
anterior, puedes ver inmediatamente los puntos máximos y mínimos. En nuestro
ejemplo, el punto máximo estaría en x = 1 y el mínimo en x = 4.
 Recuerda que tras hallar la x, aún te falta obtener la y del punto.
2º forma, con la derivada segunda
Las soluciones de f   x   0 se llevan a la derivada segunda. El punto será:

Mínimo si f   x   0 .

Máximo si f   x   0 .
LA CURVATURA
Respecto a la curvatura, una función es:
 Cóncava cuando f   x   0 .

Convexa cuando f   x   0 .
Para estudiar la curvatura, primero halla las soluciones de f   x   0 . Las soluciones
darán lugar a unos intervalos, en los que debes comprobar si la función es cóncava o
convexa. Observa el siguiente ejemplo:
y′′ > 0
-∞
y′′ < 0
-3
y′′ > 0
2
+∞
Un punto de inflexión es aquél en el que hay un cambio de curvatura,
o en el que f   x   0 y f   x   0 .
2º método para estudiar la curvatura
Las soluciones de f   x   0 se llevan a la derivada tercera.
2

Si f   x   0 , a la izquierda f es convexa y a la derecha f es cóncava.

Si f   x   0 , a la izquierda f es cóncava y a la derecha f es convexa.
LAS ASÍNTOTAS
Asíntotas verticales
Para que exista una asíntota vertical en un punto a, debe verificarse:
 lim f  x   
x a
 A.V. x = a
Asíntotas horizontales
Para que exista una asíntota vertical en una u otra dirección, debe verificarse:
 lim f  x   b
x 
 A.H. y = b
Asíntotas oblicuas
La primera condición para que exista una asíntota oblicua en una dirección, es que no
haya una asíntota horizontal en dicha dirección, y que se verifique:
 lim f  x   
x 
 A.O. y = mx + n
Falta hallar la pendiente y la ordenada en el origen. Ambos deben ser números reales.
y
 m  lim c
x  x
 n  lim  yc  mx 
x 
Asíntotas oblicuas, 2º método
( para las funciones racionales que cumplen
grado numerador – grado denominador = 1 )
x3
como por ejemplo: y  2
x 4
Para hallar la asíntota oblicua de estas funciones, divides el polinomio para que quede
de la siguiente forma:
D
r
C
d
d
siendo D el dividendo, d el divisor, C el cociente y r el resto.
 Si no recuerdas cómo dividir polinomios, consulta la siguiente web:
http://www.pntic.mec.es/Descartes/Bach_CNST_1/Polinomios/polinom1.htm#division
En nuestro ejemplo quedaría así:
x3
4x
 x 2
2
x 4
x 4
4x
siendo x la asíntota oblicua y 2
la distancia entre la asíntota y la curva.
x 4
r
Para calcular la posición de la asíntota respecto a la curva, hallas lim .
x  d
+
 Si el límite da 0 : yC > yA
 Si el límite da 0–: yC < yA
3