MATEMÁTICAS I 4ª PARTE EJERCICIOS DE REFUERZO

MATEMÁTICAS I
4ª PARTE
EJERCICIOS DE REFUERZO
1. Calcula los siguientes límites de funciones:
x2  x  2
x2  1
b. lim  2  2 
x 1 x  1
x  1

c. lim
x 3
x2  3x
x3  9x
d. lim
x 2
x2  4
2x2  2x  4
e. lim
x 1
x3  1
x3  2x2  3
f. lim
x 3
9  x2
2x2  7x  3
a. lim
x 1
g. lim
x 1
1
x3  3x  2
3x2  6x  3
x
x3  3x2  3x  9
x 3 x3  3x 2  9x  27
h. lim
2. Calcula los siguientes límites de funciones:

b.
x2  1
lim 3
x 1
x 1
c. lim
x 0
1 x  1 x
x
d.
lim
e.

a.
lim
x 
lim
x 
g.

lim
x 1
x  3  2x
x2  1  x

f.
x 1
x 1
h.
x 1
lim
x 1
x 1
x 3  64
x 2
x 4
x2  4
lim 3
x 2
x2
3. Halla la función derivada de las siguientes funciones:
a)
f x   5 x 3  2 x  e 3
b)
f x  7 x 4  x 2 3  ln 3
c)
f x   6 x  x
3
d).
e.
32
e
5
f x  8x 5  x 5 3  ln 5
f x  
2  x2 x  3
1


5
2
2
x3
x 1
f.
g.
h)
f x  
x2 1
f x  
1  3x 3x  1

3
3x  1
2
x

1 x3

6
2
x3
x x
x2
f x  

 e5
2
2
2x
i) f x   x ·sen 2 x 3 
2x
6
3
4. Resuelve los siguientes problemas: (Rectas tangentes y máximos-mínimos)
4.1. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva
el punto de abscisa x  0 .
y  3e 2 x  x  1 en
4.2. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva 2x 3  3 y  4  0 en
el punto de abscisa x  1 .
4.3. Halla la ecuación de la recta tangente a
x  2
y
1
en el punto de abscisa
x
.
4.4. Dada la función f x  x 3  6x 2  12x  5 determina el punto ó puntos
de su gráfica en los que la tangente a dicha gráfica es horizontal.
x2
determina los puntos de su gráfica en
x2
3
los que la pendiente de la recta tangente es ¾ ( f  x   )
4
4.5. Dada la función f x  
4.6. Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función
f x  x 3  5x  1 que sea paralela a la recta 2 x  y  3  0 .
4.7. Determina los puntos máximos y mínimos relativos de la función
f x   2 x 2  8 x  5 .
4.8. Determina los puntos máximos y mínimos relativos de la función
f x  x 3  3x  5 .
5. Resuelve los siguientes problemas:
1. Determina la función que permite calcular el área de un rectángulo de
24 cm de perímetro en función de su base x.
2. Determina la función que permita calcular el área de un rectángulo en
el que la base x sea 2 cm mayor que su altura.
3. El número 30 lo descomponemos en dos partes, a una de ellas la llamamos
x, y multiplicamos el cuadrado de la primera por la mitad de la segunda.
determina la expresión algebraica que expresa dicho producto en función
de x.
4. Con una cartulina cuadrada de 60 cm de lado se desea construir una
caja cortando un cuadrado de lado x en cada esquina. Calcula la función
que determina el volumen de la caja según los valores de x.
5. En el laboratorio hemos puesto agua a 10º C en un matraz de manera que
la temperatura sube uniformemente hasta llegar a los 100º C en 6 segundos,
la temperatura se estabiliza mientras el agua se evapora totalmente. Si todo
el proceso se ha realizado en media hora, escribe la expresión analítica que
nos indique la temperatura en función del tiempo t transcurrido.
6. Calcula una función que determine el perímetro de todos los triángulos isósceles que tienen 9 cm2 de superficie, según los distintos valores que pude
tomar el lado desigual x.
7. En la factura del agua aparece una cuota fija de 200 pts si el consumo es igual
o menor a 5 m 3 . Los m 3 que se consuman a partir de 5 se pagan a 20 pts
hasta los 20 m 3 y a partir de aquí cada m 3 se paga a 38 pts. Calcula la expresión analítica que permite calcular el valor de la factura en función de los m 3
consumidos.
8. En las indicaciones de una medicina se lee que la dosis recomendada es de
0,05 gr por kg de peso del enfermo, no pudiendo ser la dosis superior a 2 gr.
Calcula la expresión analítica que determina la dosis en función del peso.
6. Resuelve los siguientes ejercicios:

 2 x si
f x    x
 3 si

2
x2
1. Represente gráficamente la función
2. Representa gráficamente la función
x  1 si
f x   
si
 2
x  0,5
x  5,10
3. Representa gráficamente la función
si
 1
f x    2
 x  1 si
x0
x0
x2
4. Representa gráficamente la función
x  1
 x  1 si
 2
f x    x  1 si  1  x  1
 1  x si
x 1

5. Representa gráficamente la función
f x   x 2  x  2
6. Define a trozos la función
f x  
x 1
x2 1
7. Define a trozos la función
f x  
x 1
x 1
8. Representa gráficamente la función
f x   2 x  x 2  4
10. Representa gráficamente la función
f x   x 3  8
7. Determina el dominio de las siguientes funciones:
1.
f x  
3x  1
x 2  4x
2.
f x  
3.
f x  
7
x  16
4.
f x   x  3
5.
f x   8  2 x
6.
f x  
7.
x2  4
f x  
x2
8.
f x  
9.
f x   9  x 2
2
10.
3x
x  x 1
2
3x  6
2
2x
x  2x 2  x  2
f x   ln1  x 
3
8. Resuelve los siguientes problemas de continuidad y asintotas
1. Estudia la continuidad de la función
2. Halla el valor de a para que la función

3x  1 si
f x    x  3
si

 x
x2
x2
 x 2  ax si
f x   
2
si
ax
x2
x2
sea continua en todo R .
3. Halla el valor de k para que la función
x2 9

f x    x  3
 k
sea continua en todo R .
x2 9
.
x 3
4. Determina las asíntotas de la función
f x 
5. Determina las asíntotas de la función
3x 2
f x  
.
x2
6. Determina las asíntotas de la función
x2  3
f x  
.
x2
7. Determina las asíntotas de la función
f  x 
3x2  3
.
4x2  4
si
x3
si
x3