tema 1: límites y continuidad - Facultad de Ingeniería

UNIVERSIDAD DE CARABOBO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESTUDIOS BÁSICOS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Volver
(Control +clic)
CONTENIDO PROGRAMÁTICO DE LA ASIGNATURA FUNCIONES
VECTORIALES (MA3B05)
TEMA 1: LÍMITES Y CONTINUIDAD
1.1. Rn como conjunto, Rn como espacio vectorial, Rn como espacio euclídeo,
Rn como espacio métrico.
1.2. Esfera abierta en Rn, Punto interior, exterior, frontera, de acumulación,
aislado. Conjunto abierto, cerrado, acotado, compacto. Interior, frontera,
derivado y clausura de un conjunto.
1.3.Función real de varias variables reales. Función vectorial. Componentes
de una función vectorial. Dominio, espacio de valores, rango de una función
vectorial. Gráfica de una función vectorial. Conjunto de nivel de una función
real de varias variables reales. Representación geométrica de una función
f:R2R.
1.4. Definición de límite de una función vectorial: en términos de esferas
abiertas, en términos de distancias. Unicidad del límite. Calculo de límites
de una función real de varias variables reales: limite a lo largo de una curva,
límites iterados. Demostración de la existencia del límite a través de la
definición. Límite de una función vectorial a partir de los límites de sus
funciones componentes.
1.5. Definición de Continuidad de una función vectorial. Discontinuidad de
una función vectorial: tipos. Extensión contínua. Continuidad de una función
vectorial a partir de la continuidad de sus funciones componentes.
Transformación lineal. Continuidad de una transformación lineal.
TEMA 2: EL DIFERENCIAL
2.1. Derivada Parcial: definición, significado geométrico e intrínseco.
Función derivada parcial. Propiedades de las derivadas parciales. Matriz
Jacobiana.
2.2. Derivadas parciales de orden superior. Igualdad de las derivadas
parciales cruzadas. Transformación afín.
2.3. Diferenciablidad de una función: caso f:RR (recta tangente a una
curva) , caso f:R2R (plano tangente a una superficie), , caso F:RnRm
(transformación afín aproximante). Matriz jacobiana y matriz del
diferencial. Diferenciabilidad y continuidad. Propiedades de las funciones
diferenciables. Continuidad de las derivadas parciales de primer orden y
diferenciabilidad de una función. Funciones de clase C1.
TEMA 3: DERIVADA DIRECCIONAL Y EL GRADIENTE
3.1. Derivada Direccional: definición, significado geométrico e intrínseco.
Derivada direccional y funciones diferenciables.
3.2. El vector gradiente. Derivada direccional y el vector gradiente. Valor
máximo y mínimo de la derivada direccional en un punto. Conjunto de nivel
de una función real de varias variables reales y el vector gradiente. . Curva
en el plano definida en forma implícita. Recta tangente a una curva de la
forma f(x,y) = c. Superficie en el espacio definida en forma implícita. Plano
tangente a una superficie de la forma g(x,y,z) = c.
TEMA 4: FUNCIÓN COMPUESTA, FUNCIÓN INVERSA Y FUNCIÓN
IMPLÍCITA
4.1. Composición de funciones. Diferencial de la función compuesta (regla de
la cadena) : diversos casos. Teorema de la función compuesta.
4.2. Inversa de una función. Inversa local. Diferencial de la función inversa .
Teorema de la función inversa.
4.3. Función implícita definida por un sistema de ecuaciones: Caso f(x,y) = 0,
caso general. Diferencial de la función implícita: diversos casos. Teorema de
la función implícita. Curva en el espacio definida en forma implícita Recta
tangente a una curva en el espacio de la forma
f(x, y, z)  c1

g(x, y, z)  c2
TEMA 5: VALORES EXTREMOS
5.1. Forma cuadrática. Matriz asociada a una forma cuadrática. Forma
cuadrática definida, semidefinida y no definida. Diagonalización de una
forma cuadrática.
5.2. Matriz Hessiana. Desarrollo de Taylor de segundo orden de una función
real de varias variables reales.
5.3. Extremos de una función real de varias variables reales: extremos
relativos y absolutos. Puntos críticos. Análisis de extremos usando la Matriz
Hessiana. Caso de una función real de dos variables.
5.4. Extremos Condicionados: sustitución directa, parametrización. Teorema
de Lagrange.Extremos en un conjunto compacto.
TEMA 6: INTEGRALES MÚLTIPLES
6.1. Integral iterada en un rectángulo de R2. Integral iterada en una región
general de R2. Definición de Integral doble como límite de sumas.
Significado geométrico. Teorema de Fubini. Propiedades de la integral
doble. Integral triple y múltiple.
6.2. Aplicaciones de las integrales dobles y triples: Área de una región
plana, volumen de una región en el espacio. Masa de regiones planas y
regiones del espacio, momentos estáticos, centro de gravedad, momentos
de inercia.
6.3. Teorema del cambio de variables en integrales dobles. Cambio de
variables a coordenadas polares. Teorema del cambio de variables en
integrales triples. Cambio de variables a coordenadas cilíndricas y
esféricas.
TEMA 7: INTEGRALES DE LÍNEA E INTEGRALES DE SUPERFICIE.
7.1. Curva en Rn definida en forma paramétrica. Curva suave y parcialmente
suave. Curva cerrada. Representación geométrica de curvas en R2 y en R3
definidas en forma paramétrica. Vector tangente. Recta tangente a una
curva definida en forma paramétrica. Longitud de arco. Integral respecto a
la longitud de arco. Aplicaciones: Masa de un alambre , centro de gravedad.
Área de una cerca de altura variable.
7.2. Campo vectorial en Rn. Integral de línea de un campo vectorial.
Propiedades. Significado físico. Campo vectorial gradiente. Integral de línea
de un campo vectorial gradiente. Curva en Rn orientada. Teorema de Green.
7.3. Superficie en R3 definida en forma paramétrica. Superficie suave y
parcialmente suave. Supeficie cerrada. Representación geométrica de
superficies en R3 definidas en forma paramétrica. Vector normal a una
superficie en R3 definida en forma paramétrica. Plano tangente a una
superficie en R3 definida en forma paramétrica. Área de superficie.
Integral respecto al diferencial de área de superficie. Aplicaciones.
7.4. Integral de superficie de un campo vectorial en R3.
Propiedades.Significado físico.
7.5. Superficie en R3 orientada. Rotacional de un campo vectorial.
Significado físico. Teorema del rotacional Stokes. Divergencia de un campo
vectorial. Significado físico.Teorema de la divergencia de
Volver
Gauss.
(Control +clic)