teoremas

DERIVABILIDAD. RECTA TANGENTE.
1. Calcula el valor de a y b para que sean derivables :
3  ax 2 si x  1

2
si x  1

ax
2 x  a si x  1
 x 3  1 si x  0 
ax  b si  1 x  0

ax  b si x0  2
3x  2 si x  0
(2  x)3 si x  1

2.(J-01) Sea la función real de variable real definida por f(x)=  2

si x  1
x
 Lnx si 0  x  1
 2
ax  b si 1  x
a) Razona si f(x) es continua en toda la recta real. b) Razona si f(x) es derivable en todo .
c) Determina el área encerrada por la gráfica de f y por las tres rectas y = 8, x = 0, x = 2.
1
1
1 x
, halla
x
3. Sea f(x)=
a) Dominio de f.
b) Valor que debe asignarse a f(0) para que f esté definida y sea continua en el intervalo  -1/2, 1/2 
x

e  1
2

x  x
4.(J-99) Se considera la función f(x)= 
a)¿Es continua en el punto x = 0?
si x  0
si x  0
Contesta, razonadamente, a las preguntas
b) ¿Es derivable en x =0?
c) ¿Alcanza algún extremo?
x 1
; x0

x

1
5. Calcula el valor de a y b para que f(x)= 
sea continua y f’(2) =0
ax

b

; x0
 x 2  2 x  1
2
6. Se considera la función real de variable real definida por f(x)=
e
1
x
1 e
1
x
, x 0. Calcula el valor que
ha de asignarse a f(0) para que f sea continua.
7. Se considera la función definida por: f(x)= k si x 0, 2; f(x)=
1
si x0,2.
( x  1) 2
a)¿Existe algún valor de k tal que f sea continua para todo x? En caso afirmativo, especifíquese.
b)¿Existe algún valor de k tal que f sea derivable para todo x? En caso afirmativo, especifíquese
3
c) Calcula
 f ( x) dx , para el valor de k obtenido en el apartado a.
1
8.. Halla el valor de a y b para que f(x) sea derivable en R . Con los valores obtenidos , halla los
puntos en los que la tangente es paralela a la cuerda que une los puntos A( -3 , f(-3) ) y B( 2,f(2) )
 x 2  4 x  3; x  0
f ( x)   2
 x  ax  b; x 0
9. Estudia la continuidad y derivabilidad. Calcula los máximos y mínimos de g(x).
( x  1) 2 si x  0,1

g(x)= ( x  1) 2 si x   1,0
0
si x   1,1

f(x)=
10. Halla la derivada n - ésima de la función f(x) =
 x  3 si x  0

3 si x  0
 x  3 si x  0

1  x 
3

. Deriva y = arctag 
1  x 
2x  1
1

 e x 2 si x  0
11. Demostrar que f(x)= 
es derivable.

 0 si x  0
12.. Dada la parábola y = x2 - 2x + 5, se considera la recta r que une los puntos de esa parábola de
abscisas x =1, x =3. Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola que es paralela a r.
13.. Determina un punto sobre la parábola y = x2 comprendido entre los puntos A(1,1) y B(3,9) en el
que la tangente a la parábola sea paralela a la recta que pasa por A y B.
14. Sea f(x) una función derivable en x = 0, tal que f(0)=0, f’(0)=1, y sea g(x) =
f ( x)
si x0; g(0)=k.
x
Calcula el valor de k para que g sea continua en x = 0.
15. Dada la curva de ecuación y = -x3 + 26x, calcula las rectas tangentes a la misma que sean
paralelas a la recta de ecuación y = - x.
x  2
si x  2

 x 1
16. Se considera la función f(x)=  2
a) Estudia si f(x) es continua en x =2.
 3x  2 x si x  2

 x2
b) Calcula la ecuación de la recta tangente en x =3.
c) Calcula las asíntotas oblicuas.
17. Halla a, b, c para que f(x)= ax2+ b x +c pase por (5,28), corte al eje OY en (0,3) y la recta
tangente para x =5 sea una recta horizontal.
18. Calcula las rectas tangentes a la gráfica de la función y= x3 que sean paralelas a la recta y= 3x.
19. Sea f(x)=  x2 - 2 x  , representa f(x) y calcula la ecuación de la recta tangente a f(x) para x=1.
20. Calcula la recta tangente a f(x)= - x3+ 26 x, en los puntos donde sea paralela a y + x =0
21. Calcula el valor de a, b, c y d para que f(x)= ax3 + bx2 + cx + d pase por el punto (1, 1) en el
cual la tangente es y =-x + 2, y pase por el (0,2) siendo f´ (0)=0.
22. Probar que x +y = 0 es tangente a f(x)= x3 -6x2 +8x. Halla el punto de tangencia.
23.. Dada la función f(x)= Ln(x3+3 x2 +3x+1), halla el dominio de definición, el punto de la misma en
el cual la tangente es paralela a la recta 3x - y +2=0
24. Halla los puntos de la curva y= 3x2 -5x +12 en los que la tangente a ésta pasa por (0,0). Halla
dichas tangentes.
25. Calcula el valor de b para que f(x)= x3 - 2x2 + b x tenga por tangente en el origen a la bisectriz
del primer cuadrante.
GRAFICAS.
1. Dibuja la gráfica de f(x)= lim
a
2
a

x2  a  a

2.(J-00) Sea f(x)= ax3 + bx + cx + d un polinomio que cumple f(1)= 0, f’(0)=2, y tiene dos extremos
relativos para x =1 y x =2.
a) Determina a, b, c y d.
b) ¿Son máximos o mínimos los extremos relativos?
3.( J-00)
a) Si es posible, dibujar de forma clara la gráfica de una función continua en el intervalo 0,4 que
tenga al menos un máximo relativo en el punto (2,3) y un mínimo relativo en el punto (3,4).
b) Si la función fuera polinómica, ¿cuál ha de ser como mínimo su grado?
4. (J-01) a) Determina los extremos relativos de la función f(x)= x2 –4x +2. Dibuja su gráfica.
b) Halla las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la gráfica de f que pasan por el punto P(3, 5. Sea f(x)=ax4 + 3bx3 - 3x2 – a x. Calcula a y b para que presente dos puntos de inflexión , uno en
x = 1 y otro en x = 1/2.
6. Calcula b y c para que f(x)= x3 + bx2 + cx + 1 tenga un extremo en x = 1 y un punto de inflexión
en x = -1. ¿El extremo es máximo o mínimo?
7. Determina a, b y c de manera que f(x)=a / (x2+bx+c) tenga dos asíntotas verticales x=1, x=-1, y
f(0)=-1. Dibuja f(x)
8. Se considera la función f(x)= ax2 + b x +c. Determina los valores de a, b y c para los que la
función f satisface todas las condiciones siguientes:
a) f(0) = -3
b) la tangente a la gráfica de f en el punto x =0 es paralela a la recta y =2x
b) f(x) alcanza su mínimo en el punto x = -1.
9. Calcula los valores de a, b, c y d en los casos siguientes:
a) Para que f(x)=x3+ ax2+ b x + 7 tenga un punto de inflexión en x =1 en el cual la tangente a la
curva forme450con el eje OX.
b) Para que f(x)= ax3 +bx2 +cx +d tenga un extremo en (1,4/3) y un punto de inflexión en el origen
con tangente y = 2x.
c) Para que f(x)= ax3 + bx2 + cx +d tenga un mínimo en (0,1) y un máximo en x = 2. Probar que
todas las funciones anteriores tienen un punto de inflexión con la misma abscisa.
10. Dibuja la gráfica de f(x)=
( x  1) 2
determinando sus intervalos de crecimiento, máximos,
x 1
mínimos y asíntotas.
11. Sea P(x) un polinomio de grado tres tal que P’(2) >0; P( -1) = 1; P’(-1)= P’(1) = 0. Demostrar
que P(1)  1. Encontrar todos los valores que puede tomar P(1) de manera que el polinomio de
grado tres P(x) satisfaga las condiciones anteriores.
12. Sea f (x) 
sen x
. Halla su asíntota y calcula los puntos de corte de f(x) con la asíntota
x  x 1
2
13. Halla los extremos así como los intervalos de crecimiento de f(x)= sen x + cos x , -/2,/2 y de
g(x)=(x3 -4x2 +7x -6 ) ex
14. Representa las funciones:
2
Lnx
x
f(x)=
, f(x)= x 2 e  x , f(x)=x e-x ,f(x)=
,
2
x
4x
x3
1 x
3x 3
,
x2  4
x
,
1 x2
x
x3
x3
x3
1
3x
3
f(x)=
f(x)=x -3x + 2, f(x)= 2
, f(x)= 2
, f(x)= 2
, f(x)= 2
,
2
 x , f(x)=
x 1
x 4
x 4
x 9
x 1
1 e
1
x2  1
x3
x
f(x)=
, f(x)= 2
, f(x)= 2
, y=
, g(x)= x2 - x
 x  1 x  1
x 3
x  2x  3
Ln x
f(x)=
, f(x)=
f(x)=
15. Representa f(x)= Ln x . Determina un punto P de forma que la tangente trazada por él pase por
el origen de coordenadas. Determina el área del triángulo que verifica: Dos de sus vértices son P y
O. y la hipotenusa está contenida en el eje de abscisas.
16. Sea P(x)=x3-ax2+b. a) Determina a para que x =1 sea punto de inflexión
b) Discute el número de raíces reales del polinomio resultante, según los valores de b.
17.Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica f(x)=2x3 -6x2 +4 en su punto de inflexión.
18. En la figura se representa f´ (x). Determina si existen extremos o puntos de inflexión de f(x).
a)
b)
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN.
1. Descomponer el número 100:
a) en dos factores , tales que su suma sea mínima.
b) en dos sumandos, tales que el doble del cuadrado del primero más tres veces el cuadrado del
segundo sea mínimo.
2.(J-99) Halla la longitud de los lados del triángulo isósceles de área máxima cuyo perímetro sea 60
3. Se considera un triángulo rectángulo en el primer cuadrante, determinado por los ejes
coordenados y una recta que pasa por el punto (1,1). Determina los vértices del triángulo cuya
hipotenusa tiene longitud mínima.
4. Se construye un triángulo rectángulo en el primer cuadrante del plano, limitado por los ejes
coordenados y una recta que pasa por el punto (2,3). Halla las longitudes de los lados del triángulo
de área mínima.
5. Se considera la función real de variable real definida por: f(x)=
x2  1
, b >0 .Calcula el valor de
x2  b
b>0 para el cual es máxima la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto x = 1.
6. De todos los rectángulos inscritos en una circunferencia de radio 5 cm (radio r). ¿Cuál es el que
tiene área máxima?
7. Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en el semicírculo
determinado por x2+ y2=25, y  0
8. Una pista de atletismo está formada por una región rectangular con un semicírculo en cada
extremo. Si el perímetro es de 200 metros, halla las dimensiones de la pista para que el área de la
zona rectangular sea máxima.
9. De todos los rectángulos de perímetro 20. ¿ Cuál tiene área máxima?
10. A una ventana rectangular se le abre un triángulo equilátero sobre el lado superior. Si el
perímetro total de la figura así formada es de 11m., determina sus dimensiones para que su área
sea máxima.
11. En una esfera de radio 5 cm. se inscribe un cono. ¿Cuáles serán sus dimensiones para que sea
el de mayor volumen?
12. De todos los cilindros de área 4 cm2. ¿Cuál es el de volumen máximo?
13. Se divide una cuerda de longitud 1m. en dos partes para construir un cuadrado y una
circunferencia . Probar que de todas las posibilidades, la que encierra un área total mínima surge
cuando el radio del círculo es la mitad que el lado del cuadrado.
14. Sea la parábola y = x2 - 4x + 4 y un punto ( p, q) sobre elle con 0p2. Formamos un rectángulo
de lados paralelos a los ejes con vértices opuestos (0,0) y (p , q). Calcula (p , q) para que el área de
ese rectángulo sea máxima.
15. Una empresa fabrica cajas de latón sin tapa de volumen 500 cm3, para almacenar un líquido
colorante. Las cajas tienen la base cuadrada. Hállense la altura y el lado de la base de cada caja
para que la cantidad de latón empleada en fabricarlas sea la mínima posible.
16. Una ventana tiene forma de rectángulo coronada por un semicírculo. Sabiendo que el perímetro
de la ventana es 8m, calcula las dimensiones de la ventana que permita la mayor entrada de luz..
17. Una superficie en forma de sector circular tiene su perímetro igual a 18 metros. Calcula el radio
del sector para que la superficie sea máxima. Determina el ángulo en radianes de dicho sector.
18.Halla las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de
paralelepípedo rectangular sabiendo que su volumen a de ser de 9m3, su altura 1m. y el coste de
su construcción por m2 es de 5.000 ptas. para la base, 6.000 pesetas para la tapa y 4.000 pesetas
para cada pared lateral.
19. Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón de dimensiones 80 cm
 50cm un cuadrado y doblando convenientemente se obtiene una caja. Calcula el lado del
cuadrado a recortar para que el volumen de dicha caja sea máximo.
20. Determina el punto de y= -x3 + 6x2 -7x +5 en el que la pendiente de la tangente es máxima
21. Un heladero ha comprobado que, a un precio de 50 ptas. la unidad, vende una media de 200
helados diarios. Por cada peseta que aumenta el precio, vende 2 helados menos al día. Si el coste
de la unidad es de 40 ptas., ¿a qué precio de venta es máximo el beneficio diario que obtiene?
22. En un concurso nos ha correspondido un campo rectangular. Sus dimensiones debemos fijarlas
nosotros con la condición de que su perímetro sea de 400 m. ¿Qué dimensiones debe tener para
obtener el máximo de superficie?
23. El Ministerio de Fomento quiere construir un área de descanso de 5000m2, de forma
rectangular y cercado en los lados no adyacentes a la carretera, calcula las dimensiones del
rectángulo para que la valla tenga longitud mínima.
24. Se quiere construir un marco para una ventana de 1 m2 de área. El coste del marco se estima
en 600 pesetas por cada metro de altura de la ventana y 300 pesetas por cada metro de anchura.
¿Cuáles son las dimensiones del marco más económico?
25. Halla el punto de y= x2 + x que está más cerca de A (1, 0)
26. Un fabricante produce receptores de radio con un coste de 2.000 ptas cada uno. Si se venden a
x ptas cada uno, se venderán 12.000- x receptores al mes. Calcula el precio de venta para el que
el beneficio es mayor.
TEOREMAS-
x
 1 1
en   ,  , g (x)  x 2  x  2 en  2,1
x 1  2 2
 x 2  2x; x  0
 3 
2. Halla a y b para que sea aplicable el T. de Rolle a f(x) en  a ,
, f (x )  
 4 
b sen 2x; x  0
1.¿Es aplicable el T. de Rolle a las funciones f ( x ) 
2
2

 x  nx si x  2
3

 x  m si x  2
3.(J-99) Se considera la función f(x)= 
a) Determina n y m para que se cumplan las hipótesis del teorema del valor medio en -4, 2.
b) Halla los puntos del intervalo cuya existencia garantiza dicho teorema.
 x x  2 si 0  x  1
4. Sea f ( x )  
Demuestra que a f se le puede aplicar el teorema del Valor
3 x  1  1 si 1  x  2
Medio en el intervalo  0,2 . Calcula el valor o los valores intermedios vaticinados por el teorema.
3
5. Sea f(x) continua y derivable tal que f(0)=3. ¿Cuánto tiene que valer f(5) para que en 0,5 exista
un c / f´(c) =8 .
6. ¿Se verifica las hipótesis del T. de Rolle para la función f(x) =  2x - 3  - 7 ; -2  x  5.?
7. Aplica el T. del Valor Medio a f(x)= Ln x en 1,e2 determinando el valor c(1,e2), para el que se
verifica dicho teorema.
8. Analiza si el T. de Cauchy es aplicable: a) f(x)=x2-2x+3 b)g(x)=x3-7x2 +20x -5 en 1,4( aplicarlo).
9. Dada la ecuación x4 +x -1 =0
a) Demuestra que tiene al menos una solución real.
b) Demuestra que tiene exactamente dos soluciones reales distintas.
10. Probar que la ecuación siguiente no puede tener más de dos raíces reales : x18 - 5x + 3=0
11. Demostrar que ex = 1 + x tiene una raíz en x = 0 y probar que no tiene más.
12. Demostrar que la gráfica de la función f(x)=x3 -2x2+ x -1 corta a la recta y  x 
3
exactamente
2
en tres puntos.
13. Sea f(x)=x3 -x2 +x.¿Se puede afirmar que existe al menos un punto c  (1,2) tal que f(c)=2 ?
14. Sea f(x)= 3+ x5 ( x-3)4 . Probar que la función derivada f’ (x) posee al menos una raíz en  0,3
15. Calcula:
e) lim
x0
cos 2 x  cos x
x2
f) lim  x 2  1 tg

1
1
 
x  0  Ln 1  x 
x
m) lim  cot g 2x 
x0
1
Lnx
x
x 1
i) lim 
j) lim
x

4
x  
3
g) lim
x0
2
3 tg 2 x  tg x  2
2 tg 2 x  tg x  3
1  x2 
x2
k) lim arctg x·
x0
cos x
1
d) lim
x3
h) lim
x
4
3x

2
cos 2 x


x  

2
l) lim
x0
2
(2  x) e x  (2  x)
x2
x
n) lim arcsenx cotgx
x0
16.Calcula a para que :
a) lim
 1  tg x  sen x

c) lim 
x  0  1  sen x 
si m  n

si m  n
si m n

 x  3 n
1
 x  3 m
1
2 arctg x  x
b) lim
x  0 2 x  arcsen x
x  sen x
a) lim
x0
x3
x 2  ax  1  x = lim
x0
x  tg x
sen x  x
x  sen x
 sen x  sen x x

o) lim 
p) lim
x0  x 
x  0 Ln (cos x )
x
 x  1  ax

b) lim ( -x) tg   = lim 
x 
 2  x  x  2 
q) lim
x0
3x  2 x
x
 x  3  ax
 =e
c) lim 
x  x 