Matemática 2ª Año ES Capítulo VI: Números Racionales

Capítulo VI:
Matemática 2ª Año ES
Prof. María Silvia Romano
Números Racionales
Números Racionales
Son los números que
pueden expresarse como
fracción, es decir como
un cociente de enteros
a
b
numerador
denominador
Siendo b  0
A este conjunto
lo designamos
con la letra Q
Los números racionales se presentan como:
a) Un entero
 3 6
3
1

2
2,6 
b) Una expresión decimal exacta
26
10
c) Una expresión decimal periódica
 2
0,2 
9
13
10
d) Como una fracción decimal (Fracciones con denominador
e)Como una fracción ordinaria
Ejemplo 1:
6 3 2
;
;
5 2 5
10)
Las fracciones pueden
representar una
situación determinada
Cada 10 alumnos 8 aprueban Matemática
8
10
8
1
Propiedades
10
1) Podemos multiplicar numerador y denominador por un mismo número y
no se altera la fracción
3 2 6
 
2 2 4
3 3 9
 
2 3 6
Ambas son
equivalentes de 3/2
2) Podemos dividir numerador y denominador por un mismo número y la
fracción no se altera.
32  2 16

6 2
3
Ejemplo: si tenemos
20
25
En este caso hemos
simplificado
Podemos dividir
numerador y denominador
por 5; es decir podemos
simplificar por 5
20 20  5 4


25 25  5 5
es una fracción IRREDUCIBLE
Una fracción es IRREDUCIBLE cuando el numerador y denominador tienen como único divisor
en común el número “1”.
1
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Números Racionales
Ejercicios
1) Escribe tres fracciones equivalentes a la dada
a)
9
5
b) 
1
8
c)
6
7
d) 
5
9
2) Escribe  o  según corresponda
1
2
...... 5
10
3
12
d ) ......
2
18
2
3
........
7
8
21
4
e) - .......
10
2
a)
b)
12
3
.......
20
5
6
14
f) .........
5
7
c) -
3) Simplifica o reduce las siguientes fracciones a la forma irreducible
a)
154

66
b)
40

144
c)
750

1000
d)
18

54
e)
3780

840
f)
4212

25272
Igualdad y desigualdad de números fraccionarios
Dos fracciones son iguales cuando el primer producto cruzado es igual al segundo
3 4

porque 3 12 = 9  4
9 12
36 = 36
las fracciones son iguales
una fracción es mayor que otra cuando el primer producto cruzado es mayor que
el segundo producto
5
3

porque 5  8  6  3
6 8
40  18
la primer fracción es mayor que la
segunda
una fracción es menor que otra cuando el primer producto cruzado es menor que
el segundo producto
1 5

porque 1 8  5  5
5
8
8  25
la primer fracción es menor que la
segunda
Ejercicio
Escribe >; < o =
8
3
......
5
4
11
5
d ) ......
13
12
a)
1
14
b) - ........
7
5
3
9
e) - .......
12
15
4
20
c) - .......
8
40
1
1
f) .........
2
7
2
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Números Racionales
Operaciones con fracciones
Suma y Resta de fracciones:
Se pueden presentar dos casos:
Con el mismo denominador
4 3 1
  
5 5 5
“La suma de dos o más fracciones de igual denominador es igual a otra
fracción de igual denominador, cuyo numerador es la suma de todos los
numeradores de las fracciones dadas” 1
Ejemplos
4 3 1 4  3 1 8
  

5 5 5
5
5
5 11 1 5  11  1 15 5





12 12 12
12
12 4
Con distinto denominador
Para sumar o restar fracciones con distinto denominador debemos encontrar un
“denominador común”. Para ello buscamos el m.c.m. ( mínimo común múltiplo)
Ejemplo
1 2 5 1
   
5 3 4 2
El denominador común es el m.cm= 5.3.22= 60
.
1 2 5 1 4.1  20.2  15.5 `30.1 4  40  75  30 74  75  1
1
   




5 3 4 2
60
60
60
60
60
dividido
Si los denominadores son primos entre sí, para hallar el denominador común
podemos multiplicar los denominadores, ejemplo:
2 1 14  3 17
 

3 7
21
21
Ejercitación
2 1
 
3 6
3 
e)    
4 
a)
1
5
1 3 1

b) -    2 
9
2 5 8
5  2
1  5 8
 f)     


12  5
2  6 3
3 2
5
 3

4 3
12
4
g)   30 
9
c)
3
1
 1 
16 4
9  11  6
h)   


2  12  5
d)
Repetto, Celina. Aritmética 1, Edit. Kapelusz, Bs As.
3
El m.c.m está
formado por los
factores
comunes y no
comunes con el
mayor
exponente.
Para encon trarlo debemos
descomponer
los números en
sus factores
primos.
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Números Racionales
Producto
El producto de dos o más fracciones es otra fracción que tiene :
 Como numerador el producto de los numeradores
 Como denominador el producto de los denominadores
a c m a. c. m
  
b d n b. d. n
Ejemplo
11 7  1  117
. .(  1) (  77)  77 
    

  
 30 
3 5  2
35
. .2
30
Para multiplicar fracciones debemos simplificar un numerador con un
denominador, teniendo en cuenta los criterios de divisibilidad, se facilita la
operación si simplificamos por el mayor número posible.
9 14 25 3
    En este producto observamos que el 9 se puede simplificar
16 27 21 15
con el 27,
dividiendo mentalmente a ambos por 9
El 14 con el 21 simplificando por 7.
El 25 con el 15,por 5 .El 3 con el 3 que queda de simplificar 9
con 27.
1
También simplificamos el 2 con el 16
1 2
5 1
9 14 25 3 1151
...
5
   

16 27 21 15 813
. . .3 72
8
3
1
3
3
Ejercitación
1. Calcula los siguientes productos, simplificando cuando sea posible.
1 26 9 10
10 21 4 16
a)    
b)    
3 5 4 13
7 4 15 5
2. Resolver las siguientes operaciones combinadas, separando correctamente
en términos.
1  4
1 3
a)  
.  1 
 2 4 10  3
1
2
1
.1
10  3 : 1  5 10 
1
1
2
10
10
2
d)


1
1
1 3
g)  
 : 
 2 1 1 3 4



2 5


1 3 1
1
 .


5 5 25 10
1
21
2
4
e)

1
1
5 1

3 2
b) 4 :
 1 1 1   15 
h)    .  
5 3 2 4 
c)
2 3 1 6 3
2
.    :   1   
3 4 2 5 2
5
1 6
2
  1  .
2 5
3
f)

1 
1
. 4  
3 
2
3  1
3 1 5
i)    

:
 2 4 8 16  6
4
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Números Racionales
Problemas con fracciones
1. Un comerciante compra mercaderías por valor de $870. Ha vendido las dos
terceras partes de lo que compró realizando un beneficio igual a los dos quintos
del precio de la compra. ¿Cuánto cobró por las mercaderías vendidas?
2. ¿A qué es igual el cociente de un número fraccionario por su numerador?
3. Una deuda más dos quintos de la misma alcanzan $14.000.
¿A cuánto asciende la deuda?
4. Una modista emplea
metros para hacer un vestido. ¿Cuántos vestidos pueden
hacer con 52 metros de género?
5. Dos señoras salen de compras llevando entre las dos $494. La primera gasta los
tres séptimos de lo que llevaba también, quedando ambas con la misma suma de
dinero. ¿Cuánto dinero tenía cada una?
6. Un terreno se remata dividido en 16 lotes iguales; se presentaron solamente 3
interesados; el primero adquirió un cuarto del terreno total, el segundo un medio y
el tercero la octava parte. ¿Cuántos lotes adquirió cada uno?.¿Cuántos lotes
quedaron sin vender?.
Potenciación
Es una multiplicación
abreviada
Debemos multiplicar la base tantas veces como indica el
exponente
exponente
3
2 2 2
8
2
     
5
5
5
5
125
 
base
Ejercicio
1. Hallar las siguientes potencias:
4
 
5
2.
2

23 
 -2 
 
3
 1
 
2
2
2

6
 
7

2
 
7
3
 3
 
 5

2

3
3
 
 11 

2

3
 
8
 1
 
 10 
2. Aplica las propiedades de potenciación y resuelve
4
3 3
a)     
2 2
1
3
 
2
3

  5   4  5 2   5 3
c )         

 8    8 
  8 
2
1

5
 
 11 

 23 


 45 
4
 57 
 
 88 

-1
 3- 2

Consulta tu
carpeta
 2  4  2  7   2  4
b)          
 9   9    9 
 7  4 
d)   
 3  
0
2

5


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Números Racionales
3. Calcula, si existen, las siguientes raíces y completa los espacios vacíos.
a ) 64  ........porque .......  .........
c )4

porque 


16

81





porque 

1
b)
 .
4
3
3
4

porque 

9
d)

64

4. Calcula las siguientes raíces
16
1
a )3
 .
b) 3 

100
1000
c)
1

36
2

 

c )4
1

81
2

 

d)
25

121
5. Resuelve las siguientes raíces aplicando las propiedades de radicación
a)3
2

9
3
4

3
b)
5 2
:

2 5
c)3 
3

25
3
9

5
d)
1

2
6. Resuelve las siguientes operaciones combinadas separando correctamente en
términos.
2
1

a )   1 
4


3
 1


7
 1
  3   2 2 :   
8
 2
1

2
1
3

 1


b)  1    1   2      1  : 2   2 1 
2
4

2


6
1

8