Tarea 1. Derivada

Introducción al Cálculo. Otoño de 2015. FCFM
Tarea 1. Introducción a la derivada.
Desigualdades. Resuelva las siguientes igualdades y desigualdades.
1. |x − 2| = 0
2. |3x − 5| = 0
3. |(x − a)(x − b)| = 0
4. |x − 2| < 1
5. |x − 2| ≤ 1
6. |x − 2| > 1
7. 4x − 1 < x
8. 4(1 − 2x) < 5
9. (x − 1)(x + 1) < 0
10. x ≤ |x|
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
x − 2 = |2 − x|
|x| ≤ x
x3 + x < 0
x4 − 3x3 + 2x > 0
|x − 2| < x
(x − 1)(x + 1) ≤ 3
1
<x
x
x + x1 ≥ 1
x
≥0
x−5
|2x − 3| < 21
Funciones. Dominio y rango de una función.
Definición de lı́mite. Encuentre los lı́mites indicados. Será necesario hacer primero
un poco de manipulación algebraica.
tan x
=
x→0 sen 2x
tan x
lı́m
=
x→0 2x
1 + cos x
=
lı́m
x→π sen 2x
x2 + 2x + 5
lı́m
=
x→1
x2 + 1
2 sen x − cos x + cot x
lı́m
x→π/2
=
x−2
=
lı́m √
x→2 2 + x
1
4
lı́m (2 − + 2 ) =
x→∞
x x
x+1
lı́m
=
x→∞ x
4x3 − 2x2 + 1
lı́m
=
x→∞
3x3 − 5
1 + 2 + 3 + ··· + n
lı́m
=
n→∞
n2
12 + 22 + 32 + · · · + n2
lı́m
=
n→∞
n3
x2 + x − 1
lı́m
=
x→∞ 2x + 5
3x2 − 2x − 1
lı́m
=
x→∞
x3 + 4
x2 − 25
=
x→5 x − 5
x3 − 16x
lı́m 2
=
x→0 x + 4x
x2 + x − 2
=
lı́m
x→1
x−1
x3 − 8
=
lı́m
x→2 x − 2
x3 − 729
lı́m
=
x→9 x − 9
x2 − 12x + 36
lı́m
=
x→6
x−6
x4 − 16
lı́m 2
=
x→4 x − 4
x3 + 27
lı́m
=
x→−3 x + 3
x4 − 16
lı́m
=
x→2 x − 2
x2 + 14x + 49
lı́m
=
x→−7
x+7
2x3 + 3x2 − 2x − 3
lı́m
=
x→1
x2 −√1
√
x+3− 3
lı́m
=
x→0
x
x−9
lı́m √
=
x→9 x − 3
lı́m
lı́m
1
4x3 − 2x2 + x
=
x→0
3x2 + 2x
x2 − 4
lı́m
=
x→2 x − 2
x3 − 1
=
x→1 x − 1
x2 − 5x + 6
lı́m
=
x→2 x2 − 12x + 20
lı́m
lı́m
(x)
Definición de derivada. Aplicando la definición de derivada f 0 (x) = lı́m∆ x→0 f (x+∆x)−f
∆x
encuentre la derivada respecto de x de las siguientes funciones; esto es, deduzca una fórmula para predecir pendientes de las rectas tangentes a cada una de las siguientes funciones
en un punto arbitrario T (x, f (x)).
f (x) = 12 x2
f (x) = 2x2 − x
f (x) = x3 + 1
f (x) = x4 + 5
f (x) = ax2 + bx + c
f (x) = x1
f (x) =
2
x+6
1
x2
2
+ 5x2
x
1
x3
1/2
f (x) =
f (x) =
f (x) =
f (x) = 3x
+2
f (x) = x1/3
f (x) = x−1/2
3
f (x) = √x−2
√
f (x) = x2 + 2
f (x) = sin2 x
Fórmulas de derivación. Aplicando las fórmulas de derivación, no utilize regla de
la cadena, encuentre la derivada de f (x):
f (x) = 3x−5 + 2x−3
f (x) = x−1/4 + 2
f (x) = x33 − x14
f (x) = x(x2 − 1)
f (x) = (x4 − 1)(x2 + 1)
f (x) = (x2 − 1)(x3 + 5)
f (x) = (2x2 + 1)2
f (x) = 5x22−1
f (x) = (3x2 + 2x)(x4 − 3x2 + 1)
f (x) = (2x2 − 1)(1/x2 + 4x + 8)
f (x) = (x2 − 6x)(2/x2 − 4/x + 1)
f (x) = sen2 x + cos2 x
x
f (x) = sentan
x−cos x
f (x) = x2 ex
f (x) = e2x
Rectas tangentes. Determinar la pendiente y la ecuación de la recta tangente a las
siguientes curvas en los puntos de tangencia dados.
1) y = √
2x3 − 4x2 + 1 en el punto T(1,-1).
2) y = x + 4x2 en el punto T(4,66).
3) y = 4x − 6 en el punto T(3,6).
4) y = x1 cuando x = 1 y x = 1/2.
d) y = −2x2 + 4x − 1 en el punto T(2,-1).
e) y = x − x2 en el punto T(1,0).
f) y = x4 − 4x + 1 en el punto T(1,-2).
g) y = x3 en los puntos con abcisa x = 1 y x = −1.
h) y = (x2 − 3x)3 − 3x en el punto T(2,-2).
i) y = 9/x + (x + 1)2 en el punto T(3,19).
j) x2 + y 2 = 25 en el punto T(-3,4).
h) y = sin 4x en el punto T(π/2,0).
i) y = tan x en el punto T(π/4,1). √
j) y = 1/ sen x en el punto T(π/3, 2/ 3).
2
k) y = cot 3x en el punto T(π/4,-1).
√
l) y = sin 2x cos x en el punto T(π/4, 1/ 2).
Derivada de funciones compuestas. Utilize la regla de la cadena para derivar las
siguientes funciones:
3
f (x) = (3x4 +x−8)
7
3
f (x) = (4x − 3x2 + 11x − 1)−5
4
3x−1
f (x) = 2x+5
2
f (x) =
f (x) =
f (x) = sen x
f (x) = tan2 x
f (x) = sec3 (3x)
f (x) = cos(2x − 1)
f (x) = sen(4x4 − 6x2 )
f (x) = cos(3x2 + 11x)
f (x) = sen2 (4x − 1)
5
f (x) = cos3 (2x
+ 3x2 )
2 +1
f (x) = sen2 xx2 −1
f (x) = sin(6x − 3) cos(2x + 1)
f (x) = tan2 (3x) cos(4x)
f (x) = x(π+1) + (π + 1)x
2
f (x) = e−x
+√
e1/x
√
f (x) = e x + ex
3
(x −1)
f (x) = (4x
3 −5)2
f (x) = (x2 + a2 )2
f (x) = (3x2 − x)2/3
f (x) = (2x − 5)5/4
4
3
2
f (x) = (3x
√ − 5x + 2x − 3)
f (x) = √x − 4x2
f (x) = √x3 − x−2
f (x) = qx3 − 3x + 2
f (x) = (x2 − 6)3 − (3x + 6)2
f (x) = [(3x4 − 5x3 + 2x − 3)2 + 8x]3
f (x) = (x √+ 4)−1/4 + (2x−3/2 + 8x2 )−1/5
x
f (x) = (x32 −1)
3
f (x) =
(3x4 +x5/4 )2
2x3 +3x−1
((3x2 −8x)4 +(x2 −4x)5/4 )2
(2x3 −3)3 +3x−1
5
(x+1)3/4
(x−1)1/2
Diferencial de una función. Encontrar el diferencial de las siguientes funciones con
base en la definición de diferencial dy = f 0 (x)dx:
1.
2.
3.
4.
5.
y
y
y
y
y
q
= 2x2 − 3x + 5
= (1 + 2x3 )−4
= 5x13x
√2 +2
= 4x5 + 2x2 − 5
= (6x8 − 11x5 + x2 )−2/3
6. y = 5 (x2 − 3)2
7. y = (5x2 + 1)2 (x − 7)3
8. y = cos2 x
9. y = sen2 ωt
10. y = e−kx
Aplicaciones da la cinemática. Utilice sus conocimientos sobre derivadas para resolver los siguientes problemas de cinemática. La posición está dada en m, el tiempo en
s, la velocidad en m/s y la aceleración en m/s2 .
1.- Una partı́cula se mueve de modo que en el instante t la posición está dada por
s(t) = t3 − 2t. ¿En que instante la velocidad es igual a cero?
2.- La posición de una partı́cula está dada por la ecuación s(t) = t3 +4t2 −1, determine
la velocidad y la aceleración en el instante t = 1
3.- Hallar la velocidad y la aceleración de una partı́cula para cualquier instante de
tiempo si su posición está dada por r(t) = 6t4 − 2t2 + 4t − 2.
4.- La posición de una partı́cula está dada por la ecuación s(t) = t2 − 2t − 5, determine
la velocidad y la aceleración en el instante t = 5. ¿En qué instante la velocidad es cero?
3
5.- La posición de una partı́cula está dada por la ecuación s(t) = 2t3 − 12t2 + 4t − 1,
determine en que intervalo de tiempo hubo una desaceleración y cuál fue la velocidad
inicial.
6.- Una locomotora parte de una estación y viaja en lı́nea recta. Después de t horas, su
desplazamiento en km, desde la estación, está dado por la ecuación x(t) = t4 − 6t3 + 9t2 .
¿Durante cuáles horas viajó de reversa?
7.- La trayectoria de una partı́cula se describe mediante la ecuación x(t) = (2/3)t3 −
2
4t + 7t − 9. ¿En que instante la velocidad es igual a cero?
8.- Una partı́cula se mueve a lo largo de una lı́nea recta de acuerdo a la ley de movimiento x(t) = 2t3 − 4t2 + 3t − 2. Hallar: (a) la velocidad, (b) la aceleración, (c) la rapidez
o la magnitud de la velocidad y (d) la magnitud de la aceleración en el tiempo t = 2.
9.- La posición de una pelota que rueda en una lı́nea recta está dada por x(t) =
2 + 6.6t − 1.1t2 . a) Determine la posición de la pelota en t = 1.0, 2.0 y 3.0 s. b) ¿Cuál
es la velocidad promedio sobre el intervalo t = 1.0 s a t = 3.0 s. c) ¿Cuál es la velocidad
instantánea en t = 2.0 s y en t = 3.0 s?
10.- Una partı́cula se mueve a lo largo del eje x. Su posición como función del tiempo
está dada por la ecuación x(t) = At2 + B, donde A = 2.1 m/s, B = 2.8 m. a) Determine
el desplazamiento de la partı́cula durante el intervalo de tiempo desde t1 = 3 s hasta
t2 = 5 s. b) ¿Cuál es la velocidad promedio durante este intervalo de tiempo? c) ¿Cuál es
la velocidad intantánea en t = 5 s?
11.- La posición de una partı́cula en el tiempo está dada por x(t) = A sen ω t. Encontrar
su velocidad y su aceleración en función de t y de x.
12.- El vector posición de una partı́cula que se mueve en lı́nea recta está dado por
~x(t) = a cos ω t î, donde a y ω son constantes. Encontrar: a) La velocidad, b) la rapidez y c)
la aceleración de la partı́cula en cualquier tiempo t. Analizar y describir geométricamente
el movimiento.
13. Una partı́cula se mueve a lo largo de una lı́nea recta de acuerdo a la función
y = e−t sin t. Hallar la magnitud de (a) la velocidad y (b) la aceleración en cualquier
tiempo t.
14.- Un electrón que se mueve a lo largo del eje x tiene una posición dada por
x(t) = 16te−t . ¿A que distancia se encuentra el electrón desde el origen cuando se detiene momentáneamente?
15.- Un cubo se expande de manera que su lado está cambiando a razón de 5 m/s.
Hallar la razón de cambio de su volumen y ¿cuál es esta razón de cambio del volumen
cuando su arista mide 4 m de longitud?
16.- Una esfera está creciendo de modo que su radio aumenta a razón de 1 cm/s. ¿Con
qué rapidez está cambiando su volumen cuando el radio es de 3 cm?
17.- El volumen de una esfera está decreciendo a razón de 12π cm3 /min. Hallar la
razón a la cual están cambiando el radio y el área de la superficie de la esfera cuando el
radio es de 20 cm.
18.- hay un farol en lo alto de un poste a 6.1 m del suelo. Una mujer de 1.53 m de
estatura camina alejándose del poste. Hallar la razón a la que cambia su sombra si ella
camina a razón de 1 m/s.
19.- Una escalera de 5.2 m de largo está apoyada sobre una pared vertical. Si el
extremo inferior de la escalera se está alejando del pie de la pared a razón de 0.92 m/s,
4
¿con qué rapidez está descendiendo la parte superior de la escalera cuando el extremo
inferior está a 2.45 m de la pared?
20.- Un tanque cilı́ndrico de aceite de 20 m de radio se está llenando a razón de 5
3
m /min. Demostrar que el nivel de aceite sube a razón constante.
21.- El radio de un globo aerostático que se está llenando con helio, se incrementa
a razón de 2 dm/min. ¿Qué tan rápido está creciendo el área de la superficie del globo
después de 6 min.
22.- Un cuadrado se expande de manera que su lado cambia a razón de 4 cm/s. Hallar
la razón de cambio de su área cuando el lado mide 10 cm.
23.- La posición de una partı́cula que se mueve en el eje x es una función del tiempo
como lo indica la expresión
vx0
(1 − e−kt )
x=
k
en la cual vx0 y k son constantes.
a) Hacer una gráfica de x como función de t. Obsérvese que x = 0 para t = 0 y que
x = vx0 /k para t = ∞; es decir, la distancia total recorrida por la partı́cula es vx0 /k.
b) Demostrar que la velocidad vx está dada por vx = vx0 e−kt de manera que la velocidad
disminuye exponencialmente con el tiempo a partir de su valor inicial vx0 , llegando al
reposo sólo después de un tiempo infinito.
c) Demostrar que la aceleración ax está dada por la expresión ax = −kvx de manera
que la aceleración tiene una dirección opuesta a la de la velocidad y su magnitud es
proporcional a la rapidez.
d) Este movimiento particular es un ejemplo de movimiento con aceleración variable.
Intente mediante razonamientos fı́sicos aceptables explicar como puede ocurrir que se
requiera un tiempo infinito para poner en reposo una partı́cula que recorre una distancia
finita.
5
Tarea 2: Introducción a la Integral.
Integrales indefinidas.
Encuentre la antiderivada general F (x) + C para cada una de las siguientes funciones:
1.
2.
3.
4.
5.
6. f (x) = 4x − 5 + 8x−3
7. f (x) = x45 − x34
8. f (x) = x−2 − sen x
9. f (x) = sen x − cos x
10. f (x) = ex + e−x
f (x) = 7
f (x) = 4x3 √
f (x) = 3x2 + 2
f (x) = 6x3 − 6x + 3
f (x) = 3x4 − x5
Encuentre las siguientes integrales indefinidas:
√
R
R x2 √
8.
1. R (x + √x)dx
dx
x
3
R
2. R (x + x)dx
4
1
√
−
+
2
dx
9.
x2
x x
3. R (x2 + 1)2 dx
2
R
1
x2 + √
dx
10.
3x
4. R (x2 + 4x)2 dx
R
2
2
5. (x
− 3)x√ dx
11. (2 sen x + 3 cos x)dx
R 3
R
x x
2/3
√
− 4 dx
6.
12. (3x
+ 5 cos x)dx
x
R dx
R x
√
7.
13.
5e + x6 dx
4x
Encuentre las siguientes integrales indefinidas utilizando el método de sustitución o
cambio de variable:
1. R (3x + 1)4 3dx
2. R (x2 − 4)3 2xdx
3. R x2 (1 + x3 )dx
4. R (5x3 − 8)7 15x2 dx
5. R (x2 − 3x + 2)2 (2x − 3)dx
6. R 3x4 (2x5 + 9)3 dx
7. R (5x2 + 1)(5x3 + 3x − 8)6 dx
8. R x2 (5x3 + 9)4 dx
9. Rx(1 + x2 )3 dx
10. R x2 (1 + x3 )1/4 dx
11. R (ax + b)3/4 dx
2
4
12. R (2ax
√ + b)(ax + bx + c) dx
13. R x√2 + 1xdx
14. R 3x 3x2 +
√7dx
2
15. R (5x√+ 1) 5x3 + 3x − 2dx
3
2
16. R 3x
√ 2x − 11dx
17. R √2x + 1dx
18. R √
ax + bdx
19. R x a2√+ b2 x2 dx
20. R xn−1 a + bxn dx
21. R (x2 + 1)3 x2 dx
22. (x4 − 1)x2 dx
R
6
23.
R
24.
R
25.
26.
27.
28.
29.
30.
R
31.
R
32.
R
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
R
R
R
R
R
R
R
dx
dx
(3+2x)2
dx
(2−3x)2
√ dx
2x+1
x
dx
(4x2 +9)2
3x
dx
(x2 +1)2
x
dx
(1+x2 )3
2x
√
dx
3
6−5x2
x
√
dx
x2 +1
2
3ax −2bx
√
dx
ax3 −bx2
3 x3
b
√
dx
1−a4 x4
n−1
x
√
dx
a+bxn
5x
e dx.
R −2x
e dx
R 5x
(e + a5x )dx
R
−x2
xe dx
4
x3 ex dx
R 1
dx
x+2
R
R dx
R 1−x
dx
3x−7
dx
R
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
R
R
R
R
R
R
R
R
R
dx
5−2x
2x+1
dx
x2 +x+1
√ 3x
dx
2x2 +5
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
cos 5xdx
sin axdx
cos x sin xdx
sin2 x cos xdx
cos3 x sin xdx
sin4 x cos xdx
cos4 2x(−2 sen 2x)dx
R
R
sin5 x2 x cos x2 dx
cos(3x + 1) sin(3x + 1)dx
R cos xdx
2x
R sin
dx
2
R sindxx
2 3x
R cos
ln x
dx
R xdx
2
R sindx3x
2
R cos 27x
tan (2x)dx
Mediante el método de integración por partes encuentre las siguientes integrales indefinidas.
R
R √
R
1. xex dx
6. R x x + 1dx
11. x cos(x + π)dx
R
R
2
7. √x1−x dx
2. x2 ex dx
12. x2 cos xdx
R
R
R xex
3. xe−x dx
13. ex cos xdx
8. (x+1)
2 dx
R
R
R
3
4. x2 e−x dx
14. ex sen xdx
9.
x
sen
xdx
R
R
R
2
5. x3 e−x dx
10. x cos xdx
15. sec3 xdx
Integrales definidas.
Utilizando las sumas de Riemann calcular el área bajo la curva dada:
1.2.3.4.5.6.7.-
f (x) = x4 en el intervalo [0, 4]
f (x) = x3 en el intervalo [0, 3]
f (x) = 2x3 − 1 en el intervalo [1, 4]
f (x) = x2 en el intervalo [0, 2]
f (x) = 3x2 + 4x − 3 en el intervalo [1, 3]
f (x) = x en el intervalo [1, 5]
f (x) = 5 en el intervalo [6, 10]
Calcular las siguientes integrales:
0
11. −1
3x2 (4 + 2x3 )2 dx
R1
12. 0 5x(1 + x2 )4 dx
R
13. 12 (6 − x)−3 dx
R
2
14. 12 (x10x
3 +1)2 dx
1
1. R−1
2x5 dx
3
2. R−1 4x2 dx
2
3. R−1
ex dx
π
4. R−π (sen x + cos x)dx
5. R0π cos4 x sen xdx
6. R0π sen√5 x cos xdx
7. 01 x3 1 − x2 dx
R π/2
8. R0 x sen(2x2 )dx
9. 0R1 (x2 − 1)4 2xdx
10. 01 x(x2 + 1)3 dx
R
R
15.
16.
17.
18.
19.
R1
x
−1 (1+x2 )4 dx
R2
√ x
dx
2
0
R 3 4xx +9
√
dx
0
x2 +16
Ra √
x a2 − x2 dx
R0a √
2
2
0 x a + x dx
Encontrar el área bajo la curva entre los puntos señalados:
7
1)
2)
3)
4)
5)
6)
y
y
y
y
y
y
= x entre x = 0 y x = 2.
= x2 entre x = 1 y x = 5.
= x3 entre x = 0 y x = 2.
= x4 entre x = −1 y x = 1.
= 1/x entre x = 1 y x = 3.
= ex entre x = 0 y x = 1.
7) y =
√
x entre x = 1 y x = 4.
8) y = cos x entre x = 0 y x = π.
9) y = sen x entre x = −π y x = π.
10) y = sec2 x entre x = 0 y x = π/4.
11) y = ln x entre x = 1 y x = e.
Encontrar el área entre las curvas dadas:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
y
y
y
y
y
y
= x y y = x2 .
mer punto donde se intersectan estas curvas
3
=xyy=x .
para x > 0.
= x2 y y = x 3 .
7) y = x2 y y = x3 en el intervalo [1, 2]
= (x + 1)(x − 1)(x + 2) y el eje x.
= (x − 1)(x − 2)(x − 3) y el eje x.
8) y = sen x, y = cos x, en el intervalo
= sen x, y = cos x, el eje y y el pri- [0, π]
Aplicaciones a la cinemática. Utilice sus conocimientos sobre derivadas e integrales
para resolver los si-guientes problemas de cinemática. Si no se especifica lo contrario, la
posición está dada en m, el tiempo en s, la velocidad en m/s y la aceleración en m/s2 .
1.- Si una partı́cula viaja con una aceleración dada por a(t) = t2 − 4t, determinar la
velocidad en cualquier instante de tiempo y la posición en t = 2 s, considerando que para
t = 0 la posición y la velocidad son cero.
2.- Un cuerpo se mueve a lo largo de una recta de acuerdo a la ley v(t) = t3 + 4t2 + 2.
Si x = 4 cuando t = 2, encontrar el valor de x cuando t = 3. Encontrar también su
aceleración.
3.- Dibuje la gráfica v(t) = 25+18 t, desde t1 = 1.5 hasta t2 = 3.5 Divida este intervalo
de tiempo en 10 subintervalos, calcule v para cada uno, ası́ como el desplazamiento total
determinado por el área bajo la curva.
4.- La aceleración de una partı́cula está dada por la función a(t) = 9t2 −3t+1. Suponga
las condiciones iniciales t0 = 0, x0 = 0, v0 = 0 para determinar la velocidad y la posición
como funciones del tiempo. Determinar la velocidad y la posición instantánea para t = 3.
¿Cuál es la velocidad promedio para estos 3 segundos?
5.- La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una lı́nea recta está dada
por a(t) = 4−t2 . Encontrar las expresiones de la velocidad y el des-plazamiento en función
del tiempo, suponiendo que para t = 3, v = 2 y x = 9.
6.- La aceleración de una partı́cula está dada por a(t) = 2t − t, determinar la posición
de la partı́cula para t = 4 s si para t = 0 se tiene v = 4 m/s y x = 1 m.
7.- Una partı́cula que se encuentra inicialmente en reposo, tiene una aceleración que
depende linealmente del tiempo de acuerdo a la siguiente ley: a(t) = 6t − 6. Calcular la
distancia total recorrida en los primeros cuatro segundos, la velocidad y la aceleración al
final de este intervalo. Dibuje las gráficas a − t, v − t y x − t.
8.- Si una partı́cula tiene una velocidad dada por v(t) = sen(ω t), donde ω es una constante denominada fracuencia angular, determinar la aceleración y la posición en cualquier
instante de tiempo si se consideraque para un tiempo t = 0, x = 0.
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9.- La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una linea recta está dada
por a(v) = −kv 2 , donde k es una constante. Suponiendo que cuando t = 0, v = v0 ,
encuentre la velocidad y el desplazamiento en función del tiempo. Encontrar también v
en función de x.
10.- Un cuerpo se mueve a lo largo de una recta. Su aceleración está dada por a(x) =
−2x. Encontrar la relación entre la velocidad y la distancia, suponiendo que cuando x = 0,
v = 4.
11.- Para un cuerpo en movimiento retilı́neo cuya aceleración está dada por a(v) =
32−4 v, encontrar v en función de t y x en función de t, y x en función de v. Las condiciones
iniciales son x = 0 y v = 4 cuando t = 0.
12. Velocidad terminal. La resistencia del aire al movimiento de cuerpos en caı́da
libre depende de muchos factores, tales como el tamaño del cuerpo y su forma, la densidad
y la temperatura del aire, ası́ como de la velocidad del cuerpo en el aire. Una suposición
útil, aunque sólo aproximadamente correcta, es que la fuerza de resistencia f~R que se
opone al movimiento es proporcional a la velocidad y de dirección opuesta a ella; esto es,
f~R = −b~v , siendo b una constante cuyo valor queda determinado, en cada caso particular,
por factores independientes de la velocidad. Considerando la caı́da libre en el aire de un
objeto que parte del reposo:
a) Demostrar a partir de la segunda ley de Newton que a(v) = g − kv, donde k = b/m.
b) Demostrar que la aceleración del cuerpo cesa cuando alcanza una velocidad vT =
mg/b, llamada velocidad terminal.
c) Demostrar que la velocidad varı́a con el tiempo según la expresión v(t) = vT (1 −
e−kt/m ).
d) Determinar una expresión para la posición del cuerpo como función del tiempo.
e) Hacer las gráficas cualitativas de y contra t, de v contra t y de a contra t para este
movimiento, notando que la aceleración inicial es g y la final es cero.
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