C. Medel

Proyecto 1
Carlos Medel Portugal
Facultad de Ciencias Fı́sico- Matemáticas, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla,
Resumen
En la búsqueda de los temas de momento angular en dos diferentes libros, encontramos
diferencias en cuanto al enfoque y en algunos desarrollos, estos dos libros son Quantum
mechanics de Alastair I. M. Rae, y Principle of quantum mechanics de R. Sharkar, en
dichos libros vemos diferentes formas de ver los temas de momento angular, en el primero
mencionado anteriormente, se enfoca desde el principio clásico y con álgebra lineal de operadores, en el segundo, es sobre simetrı́as de rotación y con álgebra de matrices y transformaciones, se encontró que algunos desarrollos son idénticos, y otros son completamente
diferentes, pero tocan los mismos temas.
Desarrollo
El tema de momento angular es parte fundamental de la mecánica cuántica, en el libro
de Rae, nos lleva de la mano en este tema con una estrecha relación con la mecánica clásica,
y usando algebra lineal de operadores, un ejemplo claro de esto es al momento de definir el
operador de momento angular. En mecánica clásica el momento angular esta dado como
L=r×p
donde r es el vector de posición y p es el vector momento lineal, por el primer postulado de
mecánica cuántica, cada cantidad clásica, tiene su análogo en mecánica cuántica, pero como
operador, por lo tanto
L̂ = r̂ × p̂
, con esta definición, se construye las expresiones de Lx , Ly , Lz y sus conmutadores.
en contraste con el libro de Sharka, iniciamos con una transformación de rotación infinitesimal
dada por
iz Lz
U [R(z k)] = I −
h̄
se puede demostrar que
< xy|U [R]|ψ >=< xy|I|ψ > −
entonces
iz
∂ψ
∂ψ
< xy|Lz |ψ >= ψ(x, y) +
(yz ) +
(−xz )
h̄
∂x
∂y
h ∂ ∂ i
− y − ih̄
ψ(x, y)
< xy|Lz |ψ >= x − ih̄
∂y
∂x
y por tanto
∂ ∂ ∂
Lz = x − ih̄
− y − ih̄
= −ih̄
∂y
∂x
∂φ
esta es la forma diferencial del operador, claramente no es el mismo método de deducción,
pero se llega a lo mismo en ambos libros.
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Otro ejemplo claro es la obtención de los eigenvalores, en el libro del Rae, usamos la definición
dada antariormente, y como p = ih∇ entonces
1 ∂
∂
1 ∂2 L2 = −h̄2 (r × ∇) · (r × ∇) = −h̄2
senθ
+
senθ ∂θ
∂θ
sen2 θ ∂φ2
donde los eigenvalores son l(l + 1) y con eigenfunciones los armónicos esféricos Ylm (θ, φ). En
el libro del Sharka, solo calculamos los eigenvalores de Lz por la ecuación de eigenvalores
Lz |lz >= lz |lz > ⇒ −ih̄
∂ψlz (ρ, φ)
= lz ψlz (ρ, φ)
∂φ
que tiene como solución
ψ = R(s)eilz φ/h̄
pero como < ψ1 |Lz |ψ2 >=< ψ2 |Lz |ψ1 >∗ se puede obtener que los eigenvalores son lz =
mh̄ m = 0, ±1, ±2....
uno de los procedimientos que comparten ambos libros es sobre los operadores de escalera,
sin embargo, el libro del Rae enfatiza mucho en que si un conmutador es cero, entonces
ambos operadores comparten la misma base, y hay compatibilidad en las cantidades.
Para el tema del spin, el libro del Rae, se define usando las matrices de Pauli σx , σy , σz
como:
0 1
0 −i
1 0
σx =
σy =
σz =
1 0
i 0
0 −1
usando esto, definimos los operadores de spin como:
Ŝx =
−h̄
σx
2
Ŝy =
−h̄
σy
2
Ŝz =
−h̄
σz
2
y se demuestra que [Ŝx , Ŝy ] = ih̄Ŝz y se puede demostrar que bajo los vectores base canónicos,
sus eigenvalores son h̄2 y −h̄
usando la ecuación de eigenvalores, ademas también
2
Ŝ 2 = Ŝx2 + Ŝy2 + Ŝz2
cuyo eigenvalor es 34 h̄.
En el libro del Sharka, se define una función de rotación
i
i
U [R] = I − (Lz + Sz ) = I − (Jz )
h̄
h̄
con Sx , Sy , Sz definidos como en el libro del Rae, en el Sharka se hace mención de las
propiedades del momento angular total dado por
J =L+S
con
[Ji , Jj ] = ih̄
X
k
.
2
ijk Jk
Conclusión
ambos libros revisan casi los mismos temas bajo diferentes enfoques, el Rae lo trata con
álgebra de operadores y muy aplicado a mediciones fı́sicas, el Sharka trata los temas bajo
simetrı́as, en este caso, de rotación, sus desarrollos en algunos de estos temas varı́an, y en
algunos otros son muy parecidos.
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