Tarea 11

Métodos Matemáticos – Otoño 2013
Tarea 11
1.
De la ley de Kirchhoff la corriente I en un circuito RC (resistencia-capacitancia) obedece a la
ecuación
R
dI 1
+ I =0 .
dt C
(a) Encuentre I(t).
(b) Para una capacitancia de 10,000 microfarads cargado a 100 volts y descargándose a través
de una resistencia de 1 mega-ohm, encuentre la corriente I para t=0 y t=100 segundos.
∞
∫0 I ( t )dt .
Nota: El voltaje inicial es I0R o Q/C, donde Q=
2.
El movimiento de un cuerpo cayendo en un medio con resistencia se puede describir por
m
dv
=mg−bv
dt
donde la fuerza de retardo es proporcional a la velocidad, v. Encontrar la velocidad. Evaluar la
constante de integración imponiendo que v(0)=0.
3. Verificar que
[
∇ 2 ψ ( r ,θ , ϕ )+ k 2 + f (r )+
]
g(θ ) h( ϕ )
+
ψ ( r , θ , ϕ )=0
r 2 r 2 sin2 θ
es separable (en coordenadas esféricas). k2 es una constante.
4. Transformen la ecuación diferencial lineal, de segundo orden,
''
'
y + P( x ) y +Q (x ) y =0
[
x
]
y=z exp − 12 ∫ P( t ) dt y muestren que la ecuación
por medio de la substitución
diferencial resultante para z es
z '' +q ( x )z=0
1
'
1
2
donde q (x )=Q( x )− 2 P ( x )− 4 P ( x ) .
5.
Muestren, por medio del Wronskiano, que una ecuación diferencial lineal y de segundo orden de
la forma
''
'
y ( x )+ P( x ) y (x )+ Q( x ) y ( x )=0
no puede tener tres soluciones independientes. (Asuman que existe una tercera solución y
muestren que el Wronskiano se anula para toda x.)