Vectores

Vectores
Entre los puntos del plano R2 (RxR) pueden
definirse vectores , muy importantes para estudio
de todo ese conjunto.
Un vector fijo
es un segmento orientado que
va del punto A (origen) al punto B (extremo).
Elementos de un vector
Dirección de un vector: La direcccíon del vector es la dirección de la
recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.
Sentido de un vector:El sentido del vector
es el que va desde el origen
A al extremo B.
Módulo de un vector
El módulo del vector
es la longitud del
segmento AB, se representa por
.
El módulo de un vector es un número
siempre positivo o cero.
Vectores equipolentes
Dos vectores son equipolentes cuando tienen
igual módulo, dirección y sentido.
Vectores libres
El conjunto de todos los vectores equipolentes
entre sí se llama vector libre. Es decir los
vectores libres tienen el mismo módulo,
dirección y sentido.
Vectores fijos
Un vector fijo es un representante del vector libre. Es decir,
los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido
y origen.
Vector de posición
El vector
que une el origen de
coordenadas O con un punto P se llama
vector de posición del punto P.
Por este concepto podemos relacionar puntos
del plano Rx R (ó R2) y vectores y hablar de
ellos de forma indistinta.
Coordenadas de un vector
Denominaremos coordenadas de un vector a
las coordenadas del punto extremo de un
vector de de
posición
que sea
equipolente
a él.
Si las coordenadas
los puntos
extremos,
A y B,
son:
Las coordenadas del vector
son las coordenadas del
extremo menos las coordenadas del origen
Módulo de un vector a partir de sus componentes
Módulo a partir de las coordenadas de los puntos
Vectores opuestos
Los vectores opuestos tienen el mismo módulo,
dirección, y distinto sentido.
Vectores unitarios
Los vectores unitarios tienen de módulo, la unidad.
Para obtener un vector unitario, de la misma dirección y
sentido que el vector dado se divide éste por su módulo.
Vectores concurrentes
Los vectores concurrentes tienen el
mismo origen.
Los vectores concurrentes tienen el
mismo origen.
Vectores ligados o linealmente dependientes.
Los vectores ligados (o linealmente dependientes)
son vectores que están sobre la misma recta. Es
decir, los vectores ligados tienen el mismo módulo y
dirección.
Operaciones con vectores
Dos vectores que no tienen la misma dirección se
dicen que son linealmente independientes.
Suma de vectores
Método 1:Para sumar dos vectores libres y
se escogen como representantes dos vectores
tales que el extremo final de uno coincida con el
extremo origen del otro vector. El vector suma se
obtienen uniendo el origen del primero con el
extremo del segundo.
Método 2. Regla del paralelogramo
Se toman como representantes dos vectores con
el origen en común, se trazan rectas paralelas a
los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya
diagonal coincide con la suma buscada.
Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.
Resta de vectores
Para restar dos vectores libres
opuesto de
y
se suma
con el
.
Las componentes del vector resta se obtienen restando las
componentes de los vectores.
Producto de un número por un vector
El producto de un número k por un vector
es otro vector:
De igual dirección que el vector
.
Del mismo sentido que el vector
si k es positivo.
De sentido contrario del vector
si k es negativo.
De módulo
Las componentes del vector resultante se
obtienen multiplicando por K las componentes
del vector.
Definición formal de ESPACIO VECTORIAL.
La definición de un espacio vectorial requiere de un cuerpo de escalares K (como el cuerpo de
los números reales). Un espacio vectorial es un conjuntoV (no vacío) a cuyos elementos se
llaman vectores, dotado de dos operaciones:


suma de vectores: cualquiera dos vectores v y w pueden sumarse para obtener un tercer
vector v + w
producto por un escalar: cualquier vector v puede multiplicarse por un escalar, i.e. un
elemento de K, a. El producto se denota como av.
que satisfacen las siguientes propiedades o axiomas (u, v, w son vectores arbitrarios de V, y a, b
son escalares, respectivamente):
Propiedad
Propiedad asociativa de la suma
Propiedad conmutativa de la suma
Significado
u + (v + w) = (u + v) + w
v+w=w+v
Existencia de elemento neutro o nulo de la Existe un elemento 0 ∈ V, llamado vector cero o
suma
nulo, de forma que v + 0 = v para todo v ∈ V.
Existencia de elemento opuesto o simétrico
de la suma
Propiedad distributiva del producto por un
escalar respecto a la suma de vectores
Propiedad distributiva del producto por un
escalar respecto a la suma de escalares
Propiedad asociativa mixta del producto
por un escalar
Existencia de elemento unidad del producto
por un escalar
Para todo v ∈ V, existe un elemento -v ∈ V,
llamado opuesto de v, de forma que v + (-v) = 0.
a (v + w) = a v + a w
(a + b) v = a v + b v
a (b v) = (ab) v
1 v = v, donde 1 es la identidad multiplicativa en K
Con esta definición puede comprobarse que R2, con la suma y producto vistos arriba, es por
tanto un espacio vectorial.
El plano R2, consistente en los pares (x, y) de números reales, es el típico ejemplo de espacio
vectorial: cualquiera dos pares de números reales pueden sumarse,
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2),
y cualquier par (x, y) pueden multiplicarse por un número real s, para obtener otro vector (sx,
sy).
Existe además un vector, el (0,0), llamado vector nulo que cumple que al sumarse con cualquier
otro vector no lo altera. Todo vector, por ejemplo el (1, 0), tiene su opuesto, el (-1, 0), que
sumados dan como resultante el vector nulo (0, 0).
Comprobar el resto de los axiomas se reduce a verificar identidades sencillas como
(x, y) + (0, 0) = (x, y),
i.e. la suma de un vector nulo (0, 0) con otro vector produce el mismo vector. La
propiedad distributiva lleva a (a + b) · (x, y) = a · (x, y) + b · (x, y).