Matemática básica para ingeniería (MA105) Clase Práctica 15.3

Matemática básica para ingeniería (MA105)
Clase Práctica 15.3
2009.2
1. En una sesión fotográfica para un comercial periodístico de la UPC se hicieron tres tomas
fotográficas a una paloma alzando vuelo en línea recta. En la primera toma el fotógrafo se
encontraba en línea horizontal a 200 metros del objetivo. Las siguientes dos tomas las
realizó desde el mismo lugar, estando en la última a 169.2 metros de la paloma. Se nos pide
hallar el ángulo recorrido del lente fotográfico respecto a la horizontal en la segunda toma,
si para esta toma la paloma recorrió 160 metros. (Ver figura)
45°
169.2 m
160
m
200 m
2. El ritmo al que un empleado postal puede clasificar correo depende de la experiencia del
empleado. Se estima que después de t meses de trabajo, el empleado medio puede clasificar
C ( t )  700  500 e
 0 ,6 t
cartas por hora.
a. ¿Cuántas cartas puede clasificar por hora un empleado nuevo?
b. ¿Cuántas cartas puede clasificar por hora un empleado con seis meses de
experiencia?
c. Aproximadamente, ¿cuántas cartas podrá clasificar por hora como máximo el empleado
medio?
3. En el puente colgante de la figura adjunta, la forma de los cables de suspensión es
parabólica. La distancia entre los pilones (torres de apoyo), es de 60 metros, el punto más
bajo de los cables está a 15 metros por debajo del extremo superior de los pilones y a 5
metros de AB. Determine la altura de los postes MN y PQ sabiendo que se encuentran a 5
metros de cada pilón.
60
m
15
m
N
A
M
5m
Q
P
1
B
15
4. La circunferencia C que pasa por el origen de
coordenadas interseca a los ejes de coordenadas
en los puntos A (0; 7) y B (15; 0), determine:
10
A
5
a. La ecuación de la circunferencia.
b. La ecuación de la recta tangente a la
circunferencia en el punto A
-10
C
O
-5
5
B
15
10
20
25
-5
5. Teniendo en cuenta la gráfica adjunta,
determine:
y


a. La ecuación de la hipérbola.
b. La ecuación de una recta que pasa por el
punto de la hipérbola I1 = (1; y) con
ordenada positiva y tiene por pendiente
m = - 4.
c. La ecuación de la circunferencia cuyos
extremos de uno de sus diámetros son I1 y
I2











x



6. Una fábrica de muebles manufactura mesas, sillas y armarios. Cada pieza requiere tres
operaciones: corte de la madera, ensamble y acabado. Cada proceso requiere la cantidad de
horas (h) que se da en la tabla adjunta. Los trabajadores de la fábrica pueden proporcionar
300 h de corte, 400 h de ensamble y 590 h de acabado cada por semana. ¿Cuántas mesas,
sillas y armarios se deben producir de modo que todas las horas de mano de obra se
utilicen? ¿O esto es imposible?
Corte (h)
Ensamble (h)
Acabado(h)
Mesa
½
½
1
Silla
1
1½
1½
Armario
1
1
2
4
7. Dos remolcadores están jalando una barcaza. Uno jala con una fuerza de 2 , 0 x10 lb en la
4
dirección N50°E y el otro con una fuerza de 3 , 4 x10 lb en la dirección S75°E.
a. Encuentre la fuerza resultante sobre la barcaza como un vector.
b. Determine la magnitud y dirección de la fuerza resultante.
8. Halle la ecuación de un plano que pasa por los puntos A (1;  1;  2 ) y B ( 3; 1; 1) y es
perpendicular al plano x  2 y  3 z  5 .
9. Dados los números Z 1   2  2 i ; Z 2  3 cis( 3  / 2 ) y Z 3  2 (cos( 5  / 6 )  i sen( 5  / 6 )) ,
determine el valor de la expresión E 
Z2Z3
Z1
3
.
10. Una compañía constructora "Ingenieros asociados S.A" está proyectando un complejo
habitacional, planea construir departamentos de 1, 2, y 3 dormitorios, los que deben ser
vendidos en $20 000; $30 000 y $40 000 respectivamente, esperando obtener un ingreso total
de $ 7 500 000.
2
El número de departamentos de de 2 dormitorios debe ser el 50% del total y deberá
construir la menor cantidad de departamentos de de 1 dormitorio por ser los de menor
demanda ¿Cuántos departamentos de cada tipo debe construir la compañía constructora?
11. La fábrica textil "Santa Catalina S.A" en su proceso productivo combina hilos de algodón, lino
y lana e diferentes proporciones para obtener sus telas de buena calidad: polystel, casimir,
polipyma y lanilla. La siguiente tabla nos muestra los porcentajes exactos en lo que se deben
mezclar los hilos para obtener sus telas respectivas.
Hilos
Telas
&
ALGODÓN
LINO
LANA
POLYSTEL
CASIMIR
POLIPIMA
LANILLA
40%
20%
40%
50%
10%
40%
40%
10%
50%
20%
20%
60
Para la presente temporada la compañía "Santa Catalina S.A" dispone de 160, 80 y 180
toneladas de algodón, lino, y lana respectivamente, la compañía desea saber las cantidades
de polystel, casimir, polipyma y lanilla que obtendrá al combinar exactamente los hilos en
las proporciones especificadas. Además se sabe que debe fabricar la menor cantidad posible
de polystel por estar en época no escolar.
12. Determina el CVA y el CS de las siguientes ecuaciones:
a.
b.
c.
d.
2 tan x cos x  tan x  0 ; x  [ 0 ; 2  [
log 3 ( 25
x3
x 1
3 

x 3
2
x 1
 2 )  log 3 ( 4  5

x3
) 1
2
3
3x  1  x
Y
13. Dada la gráfica de la función f , determine:
a) El Dom ( f ) y el Ran ( f )
b) Los intervalos donde la función f es
creciente y donde es decreciente.
c) Los intervalos donde la función f es
negativa y donde es positiva.
d) Las ecuaciones de las parábolas
indicando sus elementos principales
Nota: cada división representa una unidad
X
14. Dada la matriz A = ( aij) de orden 3x3, para
la cual aij = i - j , donde 3AI + X = 4I , I matriz identidad de orden 3. Calcule det X.
15. Dada la función f , cuya regla de correspondencia se indica:
a. Trace la gráfica de la función f indicando paso
a paso las técnicas de graficación enseñadas en
clase.
b. Determine analíticamente los puntos de corte de
la gráfica de f con los ejes coordenados,
indique además el rango de la función
f .
3
1  x  3

f ( x)  
1
1 
 x2
si x   2
si x   2
c. Indique los intervalos en los cuales f es creciente, y en los cuales es decreciente.
16. Responda cada una de las preguntas:
a. Determine el dominio de la función
f x  
6  5x 
1
2
f
cuya regla de correspondencia es
.
b. Trace la gráfica de la cónica con ecuación 3 x  4 y  6 x  24 y  27  0 indicando
que tipo de cónica es y determine (si existen) las coordenadas de los vértices y focos.
2
2
17. Determine el C.V.A. y el C.S. de:
( x  9 )( x  5 x  6 )
2
a) 3 
c.)
3x  1  x
2  3x
b)
2
x (1  x )( 2 x  1)
2
3
 0
 2
5
18. Grafique la ecuación del plano de ecuación 2x + 5y + 3z = 60 y determine las ecuaciones de las
trazas en los planos coordenados y los puntos de corte con los ejes.
19. Sea f , la función cuya regla de correspondencia es f ( x ) 
( x  1)
( x  4) x  2
; determine los
valores de x que hacen que la función sea cero, no definida, positiva, negativa.
Monterrico, 27 de noviembre de 2009
4