Práctica 2: Círculo, circunferencia y arco Un círculo está limitado por su circunferencia. Un círculo tiene área, en unidades cuadradas, por ejemplo en cm2. La circunferencia tiene longitud y sus unidades son lineales, por ejemplo cm. o metros. En la figura 1 se muestran los elementos más comunes asociados al círculo Figura 1 1.- El centro del círculo (o), también lo es de la circunferencia. Cualquier punto sobre la circunferencia está a la misma distancia del centro, equidista del centro, por esta razón el centro del círculo (circunferencia) es su centro de simetría y una relación importante en el círculo se da entre el diámetro y la circunferencia. 2.- Desde épocas muy remotas los seres humanos observaron que la relación del diámetro con la circunferencia era independiente de la dimensión del círculo (de su tamaño), esto llevó a las civilizaciones antiguas a calcular cuántas veces “cabe” el diámetro en la circunferencia. Las primeras mediciones, no muy precisas por cierto, daban como resultado tres, esto es, el cociente: circunferencia / diámetro = 3. 3.- Abre Cabri y con la herramienta del tercer botón, dibuja un círculo de cualquier tamaño. Dibuja un diámetro y mide las longitudes de circunferencia y diámetro: circunferencia_____________ diámetro_____________ 4.- Con la calculadora de Cabri divide los valores de la circunferencia y diámetro y anota el resultado:___________ Esta cantidad es una aproximación a centésimas1 ¿Cuál crees que es el resultado exacto?, anótalo _________ 5.- Selecciona el puntero (1er botón), sujeta la circunferencia y arrástrala hacia fuera, de modo que aumente su tamaño. ¿Cambia el valor del inciso anterior? ___________ ¿Por qué supones que sucede lo anterior?_________________________________ 5a.- “La relación circunferencia / diámetro es constante, no depende del tamaño del círculo, del valor del diámetro. La razón circunferencia / diámetro es invariante, y el invariante no puede ser sino una constante: π”. ¿Qué podemos decir de esta declaración, es falsa o verdadera? ______________ 6.- Como sabemos, el diámetro es igual al doble del radio. Si en la relación anterior se sustituye el diámetro por 2r (r es el radio del círculo) y despejamos la circunferencia, obtenemos su perímetro. Entonces, el perímetro de la circunferencia = ___________ 1 una limitación del sistema de geometría dinámica que usamos. Si en la última relación damos al radio el valor de la unidad, esto es, r = 1, decimos que la circunferencia = 2 π radios o igual a “dos pi radianes”. Ya que la circunferencia tiene 360º, entonces: 360º ≡ 2 π radianes. La tabla 1 presenta algunos equivalentes. Grados 360º 180º 90º 45º 60º 30º Radianes 2π π π/2 π/4 π/3 π/6 Tabla 1 En la primera columna hay valores angulares o sexagesimales, en la segunda columna valores lineales, expresables en centímetros, y lo más importante, como la relación es lineal o directamente proporcional, obedece la regla de tres. Aplica esta regla y calcula: 7.- Un grado equivale a _______ rad. 8.- Un radian equivale ________ grados Construye un dibujo como el mostrado en la figura 2. Figura 2 9.- En la figura, 16.44 cm. es el perímetro de la circunferencia y 1.83 cm., la longitud del arco pq. Mide el radio y el ángulo A (en radianes) de tu construcción, mueve el punto p o q y anota algunos valores en la tabla de abajo ángulo arco Tabla 2 10.- Observar que al dividir los valores del arco entre los del ángulo (en radianes), el resultado es invariante y corresponde precisamente con el radio del círculo, entonces de esta relación, el arco se puede expresar como: _____________________ 2 11.- Sujeta la circunferencia con el puntero y arrástrala para modificar su tamaño. Evidentemente cambia su radio ¿Cambia el cociente del arco entre el ángulo (expresado en radianes)? _____________ 12.- ¿Por qué supones que sucede lo anterior? _________________________________ ______________________________________________________________________ La proporcionalidad entre el arco y el ángulo que abre (el ángulo central) la podemos expresar de otra forma si consideramos a la circunferencia el 100% y el arco como la parte proporcional o fracción correspondiente de la circunferencia, entonces 13.- ¿Qué por ciento representa el arco que abre un ángulo de 33º? ________________ 14.- Si un arco representa la séptima parte de la circunferencia ¿a qué por ciento de ésta equivale?___________ 15.- Sabemos que un arco es el 55% de la circunferencia, ¿qué ángulo abre? _________ 16.- De acuerdo con el punto 10, el arco se puede expresar como S = r θ, entonces, ¿a qué ángulo en grados equivale un arco = 1 rad, si el radio = 1? __________________ 17.- En la figura 3 hay un arco S, de radio r, y ángulo w. En este caso S = r w. La parte del círculo limitada por los radios y el arco es un sector circular. Esta zona del círculo tiene un área proporcional al área del círculo (Ac = π r2). Figura 3 18.- Si w = 60º, ¿qué fracción del círculo representa el área del sector? ____________ 19.- Si w = π/6 rad, ¿qué por ciento del círculo representa el área del sector? ________ 20.- Si el círculo tiene radio = 1, su área = ___________. Con esta condición (rc = 1) llena la tabla 3. Ángulo (grados) 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º Ángulo (rad) π/3 Fracción del área del círculo 1/6 Tabla 3 3 Los valores obtenidos en la tabla anterior obedecen a la relación de proporcionalidad que guardan las áreas del círculo y el sector con sus respectivos ángulos (en rad). 21.- Expresa esta relación como una regla de tres, recordando que el área del círculo está en proporción a una vuelta o 360º o 2π rad: 22.- De acuerdo a lo anterior, ¿A qué es igual el área del sector circular? ________________________________ 4