Práctica 2: Círculo, circunferencia y arco
Un círculo está limitado por su circunferencia. Un círculo tiene área, en unidades
cuadradas, por ejemplo en cm2. La circunferencia tiene longitud y sus unidades son
lineales, por ejemplo cm. o metros.
En la figura 1 se muestran los elementos más comunes asociados al círculo
Figura 1
1.- El centro del círculo (o), también lo es de la circunferencia. Cualquier punto sobre la
circunferencia está a la misma distancia del centro, equidista del centro, por esta razón
el centro del círculo (circunferencia) es su centro de simetría y una relación importante
en el círculo se da entre el diámetro y la circunferencia.
2.- Desde épocas muy remotas los seres humanos observaron que la relación del
diámetro con la circunferencia era independiente de la dimensión del círculo (de su
tamaño), esto llevó a las civilizaciones antiguas a calcular cuántas veces “cabe” el
diámetro en la circunferencia. Las primeras mediciones, no muy precisas por cierto,
daban como resultado tres, esto es, el cociente: circunferencia / diámetro = 3.
3.- Abre Cabri y con la herramienta del tercer botón, dibuja un círculo de cualquier
tamaño. Dibuja un diámetro y mide las longitudes de circunferencia y diámetro:
circunferencia_____________
diámetro_____________
4.- Con la calculadora de Cabri divide los valores de la circunferencia y diámetro y
anota el resultado:___________ Esta cantidad es una aproximación a centésimas1
¿Cuál crees que es el resultado exacto?, anótalo _________
5.- Selecciona el puntero (1er botón), sujeta la circunferencia y arrástrala hacia fuera, de
modo que aumente su tamaño. ¿Cambia el valor del inciso anterior? ___________
¿Por qué supones que sucede lo anterior?_________________________________
5a.- “La relación circunferencia / diámetro es constante, no depende del tamaño del
círculo, del valor del diámetro. La razón circunferencia / diámetro es invariante, y el
invariante no puede ser sino una constante: π”. ¿Qué podemos decir de esta declaración,
es falsa o verdadera? ______________
6.- Como sabemos, el diámetro es igual al doble del radio. Si en la relación anterior se
sustituye el diámetro por 2r (r es el radio del círculo) y despejamos la circunferencia,
obtenemos su perímetro. Entonces, el perímetro de la circunferencia = ___________
1
una limitación del sistema de geometría dinámica que usamos.
Si en la última relación damos al radio el valor de la unidad, esto es, r = 1, decimos que
la circunferencia = 2 π radios o igual a “dos pi radianes”. Ya que la circunferencia tiene
360º, entonces: 360º ≡ 2 π radianes. La tabla 1 presenta algunos equivalentes.
Grados
360º
180º
90º
45º
60º
30º
Radianes
2π
π
π/2
π/4
π/3
π/6
Tabla 1
En la primera columna hay valores angulares o sexagesimales, en la segunda columna
valores lineales, expresables en centímetros, y lo más importante, como la relación es
lineal o directamente proporcional, obedece la regla de tres. Aplica esta regla y calcula:
7.- Un grado equivale a _______ rad.
8.- Un radian equivale ________ grados
Construye un dibujo como el mostrado en la figura 2.
Figura 2
9.- En la figura, 16.44 cm. es el perímetro de la circunferencia y 1.83 cm., la longitud
del arco pq. Mide el radio y el ángulo A (en radianes) de tu construcción, mueve el
punto p o q y anota algunos valores en la tabla de abajo
ángulo
arco
Tabla 2
10.- Observar que al dividir los valores del arco entre los del ángulo (en radianes), el
resultado es invariante y corresponde precisamente con el radio del círculo, entonces
de esta relación, el arco se puede expresar como: _____________________
2
11.- Sujeta la circunferencia con el puntero y arrástrala para modificar su tamaño.
Evidentemente cambia su radio ¿Cambia el cociente del arco entre el ángulo (expresado
en radianes)? _____________
12.- ¿Por qué supones que sucede lo anterior? _________________________________
______________________________________________________________________
La proporcionalidad entre el arco y el ángulo que abre (el ángulo central) la podemos
expresar de otra forma si consideramos a la circunferencia el 100% y el arco como la
parte proporcional o fracción correspondiente de la circunferencia, entonces
13.- ¿Qué por ciento representa el arco que abre un ángulo de 33º? ________________
14.- Si un arco representa la séptima parte de la circunferencia ¿a qué por ciento de ésta
equivale?___________
15.- Sabemos que un arco es el 55% de la circunferencia, ¿qué ángulo abre? _________
16.- De acuerdo con el punto 10, el arco se puede expresar como S = r θ, entonces, ¿a
qué ángulo en grados equivale un arco = 1 rad, si el radio = 1? __________________
17.- En la figura 3 hay un arco S, de radio r, y ángulo w. En este caso S = r w. La parte
del círculo limitada por los radios y el arco es un sector circular. Esta zona del círculo
tiene un área proporcional al área del círculo (Ac = π r2).
Figura 3
18.- Si w = 60º, ¿qué fracción del círculo representa el área del sector? ____________
19.- Si w = π/6 rad, ¿qué por ciento del círculo representa el área del sector? ________
20.- Si el círculo tiene radio = 1, su área = ___________. Con esta condición (rc = 1)
llena la tabla 3.
Ángulo (grados)
30º
45º
60º
90º
180º
270º
360º
Ángulo (rad)
π/3
Fracción del
área del círculo
1/6
Tabla 3
3
Los valores obtenidos en la tabla anterior obedecen a la relación de proporcionalidad
que guardan las áreas del círculo y el sector con sus respectivos ángulos (en rad).
21.- Expresa esta relación como una regla de tres, recordando que el área del círculo
está en proporción a una vuelta o 360º o 2π rad:
22.- De acuerdo a lo anterior, ¿A qué es igual el área del sector circular?
________________________________
4
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Práctica 2 - CCH Vallejo

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