Modelos de inventario con revisión periódica

ASPECTOS TEÓRICOS DE TODOS LOS MODELOS DE INVENTARIO
Introducción a los inventarios
Se llama inventario a una cantidad de bienes o materiales mantenidos durante un tiempo en un estado
inactivo en espera de su uso. Si llamamos x(t) y d(t) a las tasas de oferta y demanda en el instante t,
respectivamete, el nivel de inventario será
Los costes habitualmente asociados con un inventario son:
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coste de mantenimiento: normalmente es proporcional al nivel positivo de inventario.
coste de escasez: consecuencia de la pérdida de ventas o del trabajo extraordinario necesario para
ponerse al día. Suele ser proporcional al nivel negativo de inventario.
coste por hacer un pedido.
coste de material: puede variar en función del tamaño del pedido.
Se define el horizonte de planificación como el tiempo que va a estar funcionando el inventario.
Modelos de inventario con revisión continua
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Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
Modelo 4
Modelo 5
Modelo 6
Modelo 1
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Demanda uniforme, con tasa de demanda d u.p./u.t. (unidades de producto por unidad de tiempo).
Escasez permitida, con coste de escasez p u.m./u.t. (unidades monetarias por unidad de tiempo).
Coste por inventario positivo: h u.m./u.t.
Coste por efectuar un pedido: k u.m./pedido.
Coste de material constante: c u.m./u.p.
Política (s,Q): cuando el nivel de inventario desciende hasta s se hace un pedido que aumenta el
nivel de inventario en Q unidades.
La longitud de un período será Q/d, pues como el nivel de inventario en el instante t es y(t)=S-dt y
asumimos que al inicio de cada ciclo el nivel de inventario es S, entonces se tendrá
Además, se pasa de inventario positivo a inventario negativo en el instante
, pues
En consecuencia, el coste total por unidad de tiempo será
TC = (coste de almacenamiento + coste de escasez + coste de pedido + coste de material) / u.t.
El hessiano de esta función es
El determinante de esta matriz es
mínimo local será global. Se obtiene:
, por lo que la función es convexa. En consecuencia, todo
La longitud del período es:
Modelo 2
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Demanda uniforme, con tasa de demanda d.
Escasez no permitida.
Coste por inventario positivo: h.
Coste por efectuar un pedido: k.
Coste de material constante: c.
Política Q: cuando el nivel de inventario desciende hasta 0, se hace un pedido de Q unidades.
Para obtener los valores óptimos se hace tender p hacia infinito en el modelo 1.
s* = 0.
El valor S* se denomina tamaño de lote de Wilson.
Modelo 3
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Demanda uniforme, con tasa de demanda d.
Escasez no permitida.
Coste por inventario positivo: hS.
Coste de pedido: k.
Coste de material:
con

.
Coste de almacenamiento: pasa de h a ser hS + ic.
La función de coste es
Se tiene que
, pero según el intervalo [mj,mj+1] estará definida sólo una de estas
funciones, que además es convexa en su intervalo de definición. Por estos dos hechos, el mínimo global se
encontrará o bien en un mi (evaluado al inicio del intervalo, no como extremo derecho del intervalo anterior)
o bien en un Qi* tal que
.
Algoritmo:
1.
Calcúlese Qj* tal que
(desde J hacia atrás)
2.
Compárese TCj(Qj*) con
y almacénese el mínimo.
Modelo 4
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Demanda: d(t),
.
Escasez no permitida.
Coste de mantenimiento: h.
Coste de pedido: k.
Horizonte de planificación: [0,T].
Número de pedidos: n.

Política: determinar los instantes
en que se deben realizar los pedidos.
Sea
la demanda acumulada hasta el instante t. Como el número de pedidos es fijo, el único
coste será el de inventario. Como h es constante, basta minimizar el nivel de inventario acumulado.
El nivel de inventario en el instante t es
y(t) = D(tk+1)- D(t)
si
Sean
. Veamos un modo de aproximar la solución.
fijos. Si
, entonces
Derivando respecto de tk:
D(tk+1) = D(tk) + d(tk)(tk - tk-1).
Luego fijando t1, se obtienen todos los demás puntos. Ahora bien, no necesariamente se tiene T=tn.
Método 5
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Demanda uniforme, con tasa de demanda d.
Escasez permitida, con coste p.
Coste de pedido: k.
Coste material constante.
Coste de almacenamiento h.
Conducción uniforme r>d. (En este caso, los pedidos no llegan instantáneamente)
Política (s,S): cuando se llega al nivel s se hace un pedido para llegar al nivel S. El pedido sigue
llegando hasta que el nivel de inventario sea S. Luego en este caso
.
Vamos a relacionar este modelo con el modelo 1, pero considerando el período que define el segmento AG.
Para ello vamos a ver que en ambos modelos coinciden las respectivas áreas de los triángulos asociados con
costes de almacenamiento por un lado y con costes de escasez por el otro.
Como
y
tienen la misma altura, si se prueba que tienen la misma base entonces tendrán la misma
área. Se busca ver que BH=IF. Además, si se prueba esto entonces también
y
tendrán la misma
base (y como tienen la misma altura, entonces tendrán áreas iguales):
BI = BH + HI = IF + HI = HF.
Así pues, veamos que BH=IF. La recta que pasa por A y C es y(t)=S-dt, por lo que
Además,
(La coordenada en x se calcula observando que desde
r-s) De este modo, la recta que pasa por A y G es
se sube S-s unidades uniformemente a ritmo
. Luego
Por otra parte, la recta que pasa por C y E es
por lo que
Ahora
En consecuencia, IF=BH. Ahora usamos los resultados del modelo 1 pero con tasa de demanda
:
Modelo 6
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El inventario es discreto.
Escasez prohibida.
Coste material constante.
Coste de pedido k.
Coste de mantenimiento h.
Demanda: la probabilidad de que una unidad concreta de porducto sea demandada en el período de
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tiempo [t,t+dt] es
. El que se demande un objeto es independiente de que se demande
cualquier otro. La probabilidad de hacer dos pedidos en [t,t+dt] es o(dt).
Política: cuando el nivel de inventario desciende hasta s, se piede Q y se eleva el nivel a s+Q=S.
En estado estacionario:
Sea Pj la probabilidad de que haya j objetos en el inventario en estado estacionario.
(Como hay conservación de flujos, la ecuación del nodo s+Q,
es redundante) Al resolver el sistema:
Ahora
Luego
Determinemos ahora el nivel medio de inventario en estado estacionario:
Así que el coste de mantenimiento medio por unidad de tiempo en estado estacionario es
Sin embargo, para el coste de pedido no tiene sentido trabajar con el estado estacionario. Debemos usar el
transitorio para saber la longitud media de un período.
(El período va desde s+Q hasta s+1) Sea Pn(t) la probabilidad de que haya n objetos en el inventario en el
instante t. Si n<s+Q:
Si n=s+Q:
Resolviendo este sistema (hacia atrás):
Sea ahora Y la longitud de un período. Como
estados s+1,... , s+Q en el instante t, entonces
es la probabilidad de que estemos en alguno de los
Así que
Coste de pedido:
Coste total:
Se busca
tal que
Modelos de inventario con revisión periódica
Sean Yj el nivel de inventario en el instante tj justo antes de hacer el pedio, y el nivel de inventario
positivo, -z el nivel de inventario negativo.
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Modelo 7
Modelo 8
Modelo 7
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Se conoce la demanda de cada período, pero no como está distribuida en él.
Demanda dt durante el t-ésimo período.
Escasez permitida: coste pt por unidad de inventario negativo al final del t-ésimo período.
Coste de material: ct xt en el período t.
Coste de almacenamiento: ht por unidad de inventario positivo al final del t-ésimo período.
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Política
: debe determinarse la cantidad xt que se pide al inicio del período t-ésimo a
coste total mínimo y de modo que Yn=0.
Se tiene que
. El problema se resuelve usando programación dinámica. Sabemos que
la demanda total es
. Como las funciones de coste son cóncavas (en particular, lineales), existe un
flujo extremo (sólo entra flujo en cada nodo por un arco).
El grafo queda particionado en subgrupos de nodos (adyacentes entre sí en cada grupo), realizándose un
solo pedido en cada subgrupo.
Sea cijk el coste de suministrar la demanda de los períodos
período j-ésimo,
.
Coste de material para este subgrupo:
Coste de almacenamiento para este subgrupo:
Coste de escasez para este subgrupo:
haciendo un pedido al principio del
Así
Sea ahora
Sea fi el coste mínimo del subproblema que sólo incluye los períodos i+1, ..., n. El óptimo de nuestro
problema será f0.
Se tiene la recurrencia
Modelo 8
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Política
.
Coste de pedido k.
Escasez prohibida.
Demanda dt durante el perído t-ésimo.
Coste de almacenamiento h.
Como no se permite escasez, la solución óptima se obtiene de entre los pedidos que piden la demanda de
varios perídos al inicio de un grupo de ellos. Sean
xi la cantidad de pedido al inicio del período i. Este problema de inventario queda totalmente resuelto
solucionando el siguiente problema de programación entera: