OPTIMIZACIÓN Y PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA - SETIEMBRE 2005 :

OPTIMIZACIÓN Y PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA - SETIEMBRE 2005
PROBLEMAS DEL TEMA 11:
OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
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1) Para cada una de las funciones siguientes, dar dominio, buscar si existen extremos
relativos o absolutos, analizar la curvatura de la función, buscar puntos de inflexión,
calcular asíntotas horizontales y verticales y graficar. Dar luego el rango de la
función.
1
x2
a)
f ( x)  x 
b)
f ( x) 
x2 1
x2 1
c)
f ( x) 
ex
x 1
d)
f ( x)  cos(x).sen(x)
e)
f ( x) 
f)
f ( x)  x 2 / 3 (2x  5)
g)
f ( x)  x sen(x)
ln( x)
x
2) Supongamos que el coste total de fabricación de 20 artículos viene dado por:
C( x)  3x 2  x  48 euros.
a) ¿Cuál es el coste de fabricación de 20 artículos?
b) ¿Cuál es el coste de fabricación del vigésimo artículo?
c) Exprese el coste de fabricación medio por artículo como función de x.
d) ¿Para qué valor de x es mínimo el coste medio?
1
Los problemas corresponden al libro: Ejercicios resueltos de matemáticas empresariales, por Alegre, P.,
Jorba, L, Orti, F.J., Rodriguez, G., Saez, J.B. (2002). Editorial AC. Alfa Centauro.
e) ¿Para qué valor de x es el coste medio igual al marginal?
3) Dadas las funciones de ingreso y de coste total de una empresa:
11 2 235
28
x 
x
para 2  x  5
54
108
27
3
C ( x)  x  1
para 2  x  5
4
siendo x la producción de la empresa en miles de unidades, determínese la
producción para obtener el máximo beneficio.
I ( x)  
4) La curva de coste total de un artículo es y  2 x  2 x 2  x 3 , donde y representa el
coste total y x la cantidad producida. Suponga que las condiciones del mercado
indican que deberán producirse entre 0 y 10 unidades ( 0  x  10 ). Se pide:
a) Obtener la curva de coste medio.
b) Estudiar los óptimos relativos de la curva de coste medio.
c) Comparar los óptimos obtenidos con los valores de la función coste medio en los
extremos del intervalo de producción que indica el mercado.
5) A una empresa que cuenta con un taller de reparación para la maquinaria que utiliza
se le presenta el problema de determinar el número de obreros que constituye la
plantilla óptima del taller.
Para ello, se estudian las condiciones de trabajo y el coste de mantenimiento,
obteniéndose los siguientes datos:
I.
II.
III.
IV.
La reparación de una máquina requiere, por término medio, 3 obreros/día.
La capacidad del taller permite reparar x máquinas por día. El número medio
de máquinas pendientes de reparación que un día cualquiera hay en el taller
viene determinado por 10/(x-10).
La jornada de trabajo es de 8 horas, con salario de 200u.m./h por obrero.
El coste de inactividad de una máquina es de 1920u.m. por día.
Determine ese número óptimo de obreros.
6) Con el fin de adquirir una empresa se efectúa un estudio de la estructura de costes
totales y de demanda de la misma, obteniéndose:
I.
II.
Los costes fijos vienen dados por la función K ( x)  10000000 y los costes
variables por la función CV ( x)  0,01xK ( x)  L( x) , siendo x las unidades
producidas y L( x)  12000x  0,005x 2 el coste de la mano de obra.
La demanda del mercado viene dada por la función x  2348000 20 p ,
siendo p el precio de la unidad vendida.
En el supuesto de que la empresa coloca en el mercado toda la producción, se pide:
a) El nivel de producción que proporciona el beneficio óptimo.
b) El precio por unidad para ese nivel de producción.
c) La elasticidad de la demanda para el precio que maximiza el ingreso total.
Compruébese que el resultado obtenido es independiente de la función de
demanda x  D( p) .
7) Una firma de plásticos ha recibido un pedido para fabricar 8000 tablas especiales de
espuma de plástico para entrenamientos de natación. La firma posee 10 máquinas,
cada una de las cuales puede producir 30 tablas de entrenamiento por hora. El coste
de adaptación de las máquinas para producir tablas especiales es de 20u.m. por
máquina. Una vez estas máquinas han sido adaptadas, la operación es
completamente automática y puede ser supervisada por un solo capataz, cuyo salario
es de 4,80u.m. por hora.
¿Cuántas de las máquinas deben adaptarse para reducir al mínimo el coste de
producción de dichas tablas?
8) Una empresa recibe el encargo de fabricar 10000 piezas, para lo cual pedirá al
INEM que le facilite la contratación de un número de trabajadores entre 3 y 13.
Cada pieza del encargo se compone de 100 gramos de hierro y 200 gramos de
aluminio, siendo los precios de compra del kilogramo de hierro y aluminio,
respectivamente, de 2000 y 1500 u.m.
Se sabe que el salario por hora de cada trabajador es de 800u.m., que los gastos de
administración, gestión y otros son de 160000u.m. y que el número de piezas que
los trabajadores pueden realizar en una hora de trabajo viene dado por la función:
p( x)   x 2  16x  36
siendo x el número de trabajadores contratados.
Se pide,
a) La función de costes totales para este pedido, en función del número de
trabajadores contratados.
b) El número de trabajadores a contratar para que se minimicen los costes totales
del pedido. ¿En cuánto tiempo realizarán dicho pedido?
c) El número de trabajadores a contratar si se quisiera entregar el pedido lo antes
posible. ¿Cuál sería, entonces, el coste total del pedido?
9) Suponga que usted es gerente de una empresa que comercializa un producto con la
siguiente estructura de costes:
-
Costes fijos: 40000 ptas.
Coste de mano de obra por unidad de producto: 120 ptas.
Coste de materia prima: el 40% del coste de la mano de obra.
Sabiendo que la función de demanda es:
1
p  400  q
4
donde p es el precio de venta al público y q el nivel de producción, se pide:
a) El nivel de producción y precio al que se maximiza la función de ingresos.
b) El nivel de producción y precio al que se maximiza la función de beneficios.
c) Si el coste de la materia prima por unidad de producto fuese el 20% del precio
de venta al público, ¿cree usted que la empresa obtendría mayores beneficios?
10) Una empresa compra y vende anualmente 12000 litros de la bebida X. La política
actual de compras consiste en adquirir una vez al mes 1000 litros de dicha bebida. El
precio de coste de un litro de la bebida X es de 300 ptas, los gastos administrativos
de realizar cada pedido son de 90000 ptas y el coste diario de mantenimiento en el
almacén es de 1,5 ptas por cada litro.
Si se estima que el número de litros que, en promedio, hay en el almacén es la mitad
de los litros que contiene un pedido, y que el año tiene 360 días, se pide:
a) Calcular el coste total que actualmente soporta la empresa cada año, entendiendo
por tal el coste de la bebida, los costes anuales de realizar los pedidos y el coste
anual de mantenimiento en el almacén.
b) Suponiendo que se mantienen las ventas, modificar la actual política de compras
para que se minimice la función de costes totales anuales.