Control continuo. Errores y dinámica de sistemas en cadena cerrada.

Análisis de los Sistemas
de Control
Indice
• El bucle de control
• Error en régimen permanente
• El lugar de las raíces
• Control de las perturbaciones
• Análisis de la estabilidad de un sistemas realimentado
• Margen de fase y de ganancia
• Criterio de Nyquist
Error en Régimen Permanente de un Sistema Realimentado
• Error en Régimen Permanente:
eRP =limt ∞ et =e∞
ε (t)
x(t) +
Y s Rs Gs 
=
Xs 1Rs Gs Hs 
Regulador
Sistema
_
b(t)
eRP =lims  0 s Es 
Ms =
y(t)
ε (s)
X(s) +
Captador
Y(s)
R(s)
G(s)
_
Es 1
S s =
=
X s 1R sG sHs 
B(s)
H(s)
El error en régimen permanente dependerá de la señal de entrada utilizada y de las
funciones de transferencia del bucle.
Señales de Entrada para la Medida del Error
• Escalón unitario:
x t =u 0 t 
1
X s =
s
• Rampa unitaria:
x t =t ·u 0 t 
1
X s = 2
s
• Parábola:
t2
x  t = u0  t 
2
1
X  s = 3
s
x(t)
1
t
x(t)
2
Error de posición:
Medido en tanto
por uno o tanto
por ciento [%]
1.5
1
0
­0.5
0
0.5
1
2
1.5
2
ev
1.8
1.6
ev
1.4
1.2
1
x(t)
0.8
0.6
h0·y(t)
0.4
t
x(t)
h0·y(t)
0.5
Error de velocidad:
Medido en
segundos [s]
1
ep
x(t)
1
0.2
0
­0.5
Error de aceleración:
Medido en valor
absoluto frente a la
parábola de prueba
0
0.5
1
1.5
2
ea
2
1.8
1.6
1.4
2
x(t)
1.2
1
0.8
0.6
0.4
2
t
h0·y(t)
0.2
0
­0.5
0
0.5
1
1.5
2
Calculo del Error de Posición
X(s) +
ε (s)≠ E(s)
R(s)
_
B(s)=H(s)·Y(s)
eRP =lims  0 s· X  s 
• Error de posición: X(s)=1/s
Y(s)
G(s)
h0=lims 0 H s 
H(s)
1
1
=
1h0 ·Rs ·G s 1K p
K p =lim s 0 h0 ·R s ·G s
e p=lim s0
1R s ·G s · H s −h0 
1R s ·G s ·H  s 
Tipo de un Sistema: Es el número de polos en el origen que tiene el sistema.
(número de integradores)
Ns 
R s · G s=
• Si R(s)·G(s) es de tipo cero:
Kp=cte. ⇒ ep=cte.
• Si R(s)·G(s) es de tipo uno o superior:
Kp=inf. ⇒ ep=0
TIPO
ep
n
s · P s
0
1/(1+Kp)
n=tipo del sistema
1
0
2
0
Función de Transferencia en Bucle Cerrado
M(s)
X(s) +
Y(s)
R(s)
G(s)
_
H(s)
Rs =K R
M s =
Π{ceros de R s}
Π {ceros de Gs }
Π {ceros de H s}
R s ·G s
G s=K G
Hs =K H
M s =
Π{polos de R s}
Π {polos de Gs }
Π {polos de H s}
1R s·Gs ·H s
K R ·K G ·K H · Π{ceros de R s}· Π{ceros de G s}· Π {polos de Hs }
Π {polos de R s }·Π {polos de Gs }·Π {polos de H s}K R ·K G ·K H ·Π {ceros de R s }·Π {ceros de Gs }·Π {ceros de H s}
• Los ceros de M(s) son los ceros de R(s) y G(s) más los polos de H(s).
• Los polos de M(s) se obtienen resolviendo la Ecuación Característica del
sistema, que es el denominador de M(S) igualado a cero: 1+R(s)·G(s)·H(s)=0
El Lugar de las Raíces (I): W.R. Evans (1948)
• W.R. Evans desarrolló un método
matemático mediante el cual es
posible ver gráficamente el valor de
los polos de un sistema en bucle
cerrado (polos de M(s)) cuando se
varía un parámetro del sistema (K)
desde cero hasta infinito.
s10
1
Hs =
s3
s7
Rs ·Gs 
K ·s10·s7
M s =
=
1Rs ·G s ·Hs  s3· s7K · s10
 s10
1R s·G s·H s=1K ·
=0
 s3·s7
s 210K · s10·K 21=0 K :0∞
Rs =K Gs =
5
K=15
X(s) +
Y(s)
R(s)
G(s)
_
0
H(s)
K=50
K=50
K=19.165
(doble)
­5
­16
K=0.5
K=1
K=10
­14
­12
­10
K=0.5
K=1
Polos y ceros de
R(s)∙G(s)∙H(s)
K=15
­18
K=5
K=10
M(s)
K=5
­8
­6
­4
­2
0
2
4
El Lugar de las Raíces (II):
K =0.5 M s =
K =5 M  s =
0. 5· s10 · s7
s 210.5· s26
5· s10 · s7 
s 215 · s71
K =19.165 M s =
19.165 · s10· s7
s 229.165· s212.65
K =50 M s =
50· s10·  s7
s 2 60· s521
Respuesta ante un escalón unitario
Im
-10
-7
Re
0
0.25
0.5 0.75
1
1.25
1.5
0
­0.5 ­0.25
0
0.25
0.5 0.75
1
1.25
1.5
15
12.5
10
7.5
Re 5
2.5
0
­0.5 ­0.25
0
0.25 0.5 0.75
1
1.25 1.5
15
12.5
10
7.5
Re 5
2.5
0
­0.5 ­0.25
0
0.25
1
1.25
Im
-10
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
­0.5 ­0.25
-7
Re
10
8
6
4
2
Im
-10
-7
Im
-10
-7
0.5 0.75
1.5
El Lugar de las Raíces. Reglas de trazado
1) El número de ramas es igual al número de polos en cadena abierta (n)
2) Cada rama comienza en un polo (para K=0) y termina en un cero (para K=inf)
3) Las ramas que no terminan en un cero se mueven hacia el infinito
4) Los puntos del eje real pertenecen al lugar de las raices si el número de
singularidades (polos + ceros) que tienen a la derecha es impar
5) El Lugar es simétrico respecto al eje real
∑ polos−∑ ceros
=
n p −nc
6) Las asintotas se cortan en el centroide
7) Los ángulos de las asintotas son:
 2q1
=
np −nc
; siendo : q=0,1 , ... ,np −nc −1
Ejemplos de Trazado del Lugar de las Raíces (I)
Ejemplos de Trazado del Lugar de las Raíces (II)