Introducción al Control de Procesos: Respuesta Frecuencial

Supervisión y Control de Procesos
Bloque Temático I:
Introducción al Control de Procesos
Tema 4:
Respuesta frecuencial de sistemas de
Control
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Idea intuitiva de respuesta en frecuencia
• La respuesta de un sistema ante entradas variantes en
el tiempo depende de la velocidad de variación de dicha
entrada
– Dicha respuesta está intrínsecamente relacionada con la
respuesta temporal del sistema
ref. velocidad
1
1
0.5
0.5
(m/s)
(m/s)
ref. velocidad
0
-0.5
-0.5
-1
-1
0
0
2
4
6
8
0
10
2
4
1
0.5
0.5
(m/s)
(m/s)
1
0
8
10
6
8
10
0
-0.5
-0.5
-1
0
6
tiempo (s)
velocidad
tiempo (s)
velocidad
2
4
6
8
10
tiempo (s)
Fref = 0.1 Hz
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-1
0
2
4
tiempo (s)
Fref = 1 Hz
2
Respuesta ante una entrada sinusoidal (I)
• La respuesta ante entradas del tipo sinusoidal permite
obtener la respuesta en frecuencia del sistema
• Una función sinusoidal puede ser expresada en forma
de términos exponenciales complejos la respuesta
puede obtenerse aplicando la integral de convolución
para una entrada exponencial
Fórmula de euler
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
jωt -jωt
A cos(ωt) = A/2 (e + e)
-1
-0.5
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-1
0
0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
3
Respuesta ante una entrada sinusoidal (II)
• La respuesta puede obtenerse aplicando la integral de
convolución para una entrada exponencial
∞
∞
s(t- ζ)
y(t) = U0·e
h(ζ)dζ
-∞
= U0 ·e
st
-sζ
·e h(ζ)dζ
= H(s)
st
·e
-∞
jωt -jωt
s = jω
jωt
+
y(t) = H(jω) e
s = -jω
-jωt
y(t) = H(-jω) e
y(t) = A cos(ωt) = A/2 (e + e)
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Respuesta ante una entrada sinusoidal (III)
• La respuesta en frecuencia se puede calcular entonces
como la evaluación de la función de transferencia en
los puntos del plano complejo:
s = jω
puntos del eje imaginario
jω
σ + jω
jω
σ
notación polar: (módulo, argumento)
σ + jω =
ϕ
Me
plano complejo
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Respuesta ante una entrada sinusoidal (IV)
• Utilizando la notación polar se calcula la forma de la respuesta del
sistema ante una entrada sinusoidal:
jωt
y(t) = A/2(H(jω) e
-jωt
+ H(-jω) e
ϕ
H(jω) = M e
)
y(t) = A M cos(ωt + ϕ)
• Para un sistema lineal e invariante, la respuesta ante una señal
sinusoidal de magnitud A y frecuencia ω es una señal también
sinusoidal de la misma frecuencia y cuya magnitud y fase
depende únicamente de la función de transferencia evaluada en los
puntos s = jω
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