Soluciones (cuestiones 1 y 2)

Examen de A.D. de Sistemas
2 de febrero de 2006
Cuestión 1.
Identificar (obtener función de transferencia) el sistema del que se proporciona una
respuesta (superior) y la entrada correspondiente (inferior) en la imagen de osciloscopio
mostrada en la siguiente figura, detallando el procedimiento seguido para la obtención de
cada medida y parámetro:
Cuestión 2.
Obtener la respuesta y(t) del sistema cuyo diagrama de bloques se muestra en la figura,
cuando simultáneamente se introducen la entrada ur (t) = 10 sen(5t + π/4) y la entrada
up (t) = 5 sen(2t).
NOTA: Considerar régimen permanente senoidal. Es decir, ignorar el transitorio.
u p t 
u r t
+
-
2
+
+
1
s1
y t
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2 de febrero de 2006
Cuestión 3.
Obtener las ecuaciones en espacio de estados para el sistema dado por la ecuación
diferencial siguiente, donde u(t) es entrada e y(t) es salida:
d2 y(t)
dy(t)
du(t)
+5
+ 6y(t) = 5u(t) +
2
dt
dt
dt
(1)
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2 de febrero de 2006
Soluciones
Cuestión 1.
Medida de la amplitud u∞ del escalón de entrada:
u∞ = 2 div. × 0,5 V/div. = 1 V
Medida del valor y∞ de la salida en régimen permanente:
y∞ = 2 div. × 0,5 V/div. = 1 V
Cálculo de la ganancia estática:
K=
y∞
1V
=
=1
u∞
1V
Medida del tiempo de pico tp :
tp = 0,75 div. × 0,1 s/div. = 0,075 s
Medida del valor de pico yp :
yp = 3 div. × 0,5 V/div. = 1,5 V
Cálculo de la sobreoscilación Mp :
1,5 − 1
yp − y∞
=
= 0,5
y∞
1
Mp =
Cálculo de la frecuencia de oscilación amortiguada ωd :
ωd =
π
π
=
= 41,9 rad/s
tp
0,075
Cálculo del coeficiente de amortiguamiento ξ:
Mp = 0,5 = e−π/tg(θ)
=⇒
θ = 1,35 rad
=⇒
ξ = cos(θ) = 0,215
Cálculo de la frecuencia de oscilación natural ωn :
ωn =
ωd
41,9
=
= 42,9
sen(θ)
0,977
Función de transferencia del sistema identificado:
G(s) =
Kωn2
1 · 42,92
1840
=
= 2
2
2
2
2
s + 2ξωn s + ωn
s + 2 · 0,215 · 42,9s + 42,9
s + 18,5s + 1840
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2 de febrero de 2006
Cuestión 2.
Aplicando el principio de superposición obtenemos la respuesta ante cada entrada por
separado y luego las sumamos. Función de transferencia de la salida y(t) respecto a la
entrada ur (t):
2
2
s+1
Gr (s) =
2 =
s+3
1 + s+1
Función de transferencia de la salida y(t) respecto a la entrada up (t):
Gp (s) =
1
1
s+1
−2
− s+1
=
1
s+3
Para obtener la respuesta ante la primera senoidal de frecuencia ω = 5, obtenemos
la ganancia y el desfase del sistema ante entrada ur (t) a esa frecuencia, evaluando su
función de transferencia para s = jω, poniendo el resultado complejo en forma polar
(modulo∠argumento, argumentos en radianes, el módulo es la ganancia y el argumento
es el desfase):
2
Gr (5j) =
= 0,34∠ − 1,03
5j + 3
Lo mismo para la entrada up (t), esta vez con ω = 2:
Gp (2j) =
1
= 0,27∠ − 0,59
2j + 3
La salida resultante será:
y(t) = 0,34 · 10 sen(5t + π/4 − 1,03) + 0,27 · 5 sen(2t − 0,59)
Cuestión 3.
En este caso no se puede pasar a espacio de estados de forma sencilla porque en la
ecuación aparecen derivadas de la entrada. Sin embargo podemos aprovechar el hecho de
tener una sola entrada y una sola salida, lo que nos permite pasar a función de transferencia
y de ahı́ a espacio de estados usando la forma canónica de control, lo que nos da como
ecuación de estado:
ẋ1 (t)
0
1
x1 (t)
0
=
+
u(t)
ẋ2 (t)
−6 −5
x2 (t)
1
y como ecuación de salida:
y(t) =
5 1
x1 (t)
x2 (t)
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