ALGUNOS EJEMPLOS DE MODELOS DIFUSOS DE
PRESUPUESTACION DE CAPITAL
José C. Romero Cortés; Arturo Aguilar Vázquez
Universidad Autónoma Metropolitana
Departamento de Sistemas
Abstract.-Se presenta una metodología para presupuestación de capital considerando la
teoría de conjuntos difusos, como una alternativa de enfoques determinísticos o estocásticos
y que representan el enfoque tradicional. Primero se formula el problema de presupuesto de
capital en el contexto de la programación matemática difusa, específicamente lineal, como
una generalización del caso convencional. Por otro lado también se muestra un enfoque
difuso usando números triangulares borrosos. En cada caso se ilustra y discute con un
ejemplo, y se anexa un programa en visual basic que efectúa los cálculos en el caso de
números triangulares difusos. Esta aproximación difusa representa una alternativa
metodológica que simplifica en mucho la problemática de asignación de dinero a proyectos
alternativos de inversión, que actualmente debido a la incertidumbre tan marcada en los
mercados financieros resulta en ocasiones intratable.
Keywords.- Difuso, borroso, programación matemática, números difusos triangulares,
presupuestación, selección proyectos inversión.
Introducción.- Los métodos de presupuestación de capital, para la selección y
administración de presupuestos se aplican ampliamente no sólo en el sector privado y
gobierno sino también en el sector social. Actualmente la dinámica financiera es tan
cambiante que un enfoque determinístico e inclusive uno estocástico puede resultar poco
realista, es por esto que se empiezan a utilizar otros enfoques, por ejemplo los
procedimientos de presupuestación usando datos y lógica difusa.
La manera clásica de hacer presupuestación es considerar conjuntos de proyectos, los
cuales consumirán los recursos puestos en juego durante cierto horizonte de planeación , los
que a su vez generarán beneficios en dinero principalmente en el sector privado, y en el
público estos beneficios pueden ser de bienestar o no tan tangibles como el rendimiento
financiero.
En el contexto de la administración se consideran n proyectos de inversión, durante un
horizonte de planeación de T periodos de tiempo, con bj (j=1,2,…,n) representando el valor
presente neto asociado al proyecto j-ésimo , y siendo Ctj el costo del proyecto j durante el
periodo t (t=1,2,…,T) con Ct pesos presupuestados para los proyectos durante el periodo t.
En este contexto sea xj la variable de decisión que asume el valor de 1 si el proyecto j-ésimo
se acepta para llevarse al cabo y tomará el valor de 0 cuando el proyecto j-ésimo se rechace
porque existen otros proyectos más ventajosos, en su competencia por los dineros
presupuestados. Lo anterior se puede expresar en el contexto de la programación
matemática como:
1
n
Max Z   b j x j
j 1
s. a.
n
C
j 1
x j  Ct , t  1,2,....., T
tj
…….(1)
0  xj  1
con x j entera , j  1,2, , n
Resolviendo este problema de programación matemática obtenemos una presupuestación
del capital óptima, en el sentido que nos genera el portafolios de proyectos que maximiza el
valor presente neto.
El enfoque anterior es válido cuando los costos de capital, los montos y los rendimientos en
el tiempo, correspondientes a las actividades de los proyectos son determinísticos o cuando
se conoce en buena medida las distribuciones de probabilidad en el tiempo de éstas, sin
embargo ante situaciones financieras muy cambiantes y difíciles de pronosticar, se están
desarrollando metodologías que permiten superar esta problemática. Uno de estos enfoques
es mediante la lógica difusa. A continuación se presentan dos técnicas para la asignación de
presupuestos a proyectos de inversión en el contexto difuso.
Enfoque de programación matemática difusa.- Básicamente es extender las ideas
ordinarias expuestas al caso difuso, en donde lo que busca no es el óptimo global Z, sino
alcanzar un cierto nivel de aspiración (de rendimiento), asimismo, supongamos que cada
una de las restricciones se puede violar hasta cierta tolerancia de acuerdo a funciones de
membresía asociadas con los techos presupuestales Ct ´s, y por último añadir como
restricción que no se desembolsará más de C pesos durante el horizonte de planeación de T
periodos.
El problema así planteado, queda formulado como:
n
b x
Max  =
j

j
j=1
s.a.
n
C x
j 1
T
tj
 Ct , t  1,, T
j

n
C
t 1 j 1
tj
…...(2)
xj  C ,
0  x j  1; con x j entera , j  1,, n
Donde el símbolo , indica que los establecimientos correspondientes son borrosos.
Mientras en (1) lo que se busca es encontrar la solución que optimice Z en (2) se trata de
encontrar la solución tal que Z sea cuando menos del orden de Mo de acuerdo a la función
de membresía (2):
2
r0

1  p , si
0


 (r0 ) = 

 1, si


n
b x
j
j
 M0 - r0 , r0  0, r0  p0
j=1
…..(3)
n
b x
j
j
 M0
j 1
De forma similar en (1) las soluciones del conjunto de restricciones, se deben satisfacer
estrictamente; mientras en el conjunto borroso de restricciones (2), el tomador de
decisiones, esta dispuesto a tolerar una violación de rt (hasta Mt > 0) pesos, en la t-ésima
restricción, de acuerdo a la siguiente función de membresía:
n
rt

1,
si
Ctj x j  Ct + rt , rt  0, rt  M t


Mt
j 1


n
 (rt ) = 
t  1,, T . .(4)
1
,
si
C
x

C

tj j
t

j 1



Gráficamente estas funciones de pertenencia son de la forma:
 ( r0 )
 (rt )
1
1
0
po
0
ro
Fig. 1
Mt
rt
Fig. 2
De (2) , (3) y (4) y de la teoría de los conjuntos borrosos se tiene el siguiente
establecimiento:
3
   r    Min  r 
x
t  0 ,,T
 Max
x

t
t
t  0 ,,T
x




Min  rt 
t  0 ,,T
Sea   Min  rt  , entonces,
t  0 ,,T
  1
r0
,
p0
b x
  1
rt
,
Mt
C
j
tj
 M 0  r0 , r0  p0 , r0  0
j
x j  Ct  rt , rt  M t , rt  0
Entonces (2) se puede formular como (5):
Max 
s. a.
p0  + r0  p0
M1  + r1  M1

M T  + rT  M T
n
  b j x j  r0   M 0
j 1
n
C x
j 1
tj
T
n
t 1
j 1
j
 rt  Ct ,
 C x
tj
j
t  1,, T
C
r0  p0
r1  M1

rT  M T
0  xj  1
con x j , entera j  1,, n
 , rt ,0 t  0,1,2,, T
4
...........(5)
que corresponde a un problema de programación lineal mixta, cuya solución puede
encontrarse utilizando los algoritmos convencionales. Donde el óptimo
(o,x1o,…, x no , r0o ,..., rTo ) tiene el siguiente significado:
o = grado de membresía de la solución óptima, tomando en cuenta funciones de
pertenencia del objetivo y restricciones.
x 0j es 0 cuando se rechaza el proyecto j-ésimo y si es 1 se acepta.
ro o
=El valor en que Mo se disminuye.
rto =Cuánto se violó la t-ésima restricción, i.e., hasta cuanto se incrementó la
cantidad Ct disponible para invertir en período t.
n
Además es fácil calcular Z o   b j x 0j .
j 1
La programación matemática borrosa da flexibilidad al tomador de decisiones lo que
redunda en concederle libertad para que incorpore sus preferencias, sentimientos o
vaguedades en el modelo, cosa que no se logra utilizando enfoques convencionales. De
hecho la programación difusa es una generalización de la clásica, hecho que se desprende
de que un conjunto difuso es la generalización de uno ordinario.
Aplicación I.-Considere el caso en el cual se tienen 4 proyectos con duración de un año.
El departamento A tiene 2 proyectos y el departamento B tiene 2 proyectos. .Aquí las
variables de decisión son xij corresponden a:
0 si el proyecto j del departamento i es rechazado.
xij 
1 si el proyecto j del departamento i es aceptado.
Fig. 3
Las siguientes tablas muestran los parámetros del problema:
bij (Cij )
Proyectos
1
2
Departamentos A
4(20)
2.8(15)
B
5.6(29)
3.1(18)
Tabla 1.
Además con:
5
CA =18 , CB=25
Mo=10 , M1=2 , M2=8
C=50 , po=8
El problema expresado en términos de programación lineal borrosa corresponde a:
Max Z  4 x A1  2.8 x A 2  5.6 x B1  31
. x B2

s. a.
20 x A1  15x A 2   18

29 x B1  18 x B 2   25

……(6)
20 x A1  15x A 2  29 x B1  18 x B 2  50
0  xij  1, i  A, B; j  1,2
xij , entera (i  A, B; j  1,2)
El problema (6) es equivalente a:
Max 
s. a.
 4 x A1  2.8 x A2  5.6 x B1  31
. x B 2  r0  10
20 x A1  15x A2  r1  18
29 x B1  18 x B 2  r2  25
20 x A1  15x A2  29 x B1  18 x B 2  50
8  r0  8
2  r1  2
8  r2  8
r0  8
r1  2
r2  8
0  xij  1, i  A, B; j  1,2
xij , entero(i  A, B; j  1,2)
  R, r0 , r1 , r2  0
Cuya solución óptima es:
6
……(7)
0 .5 , r00  16
. , r10  0 , r20  4
x A1  x B 2  0,
x A 2  x B1  1
Z 0  8.4
La solución significa que los proyectos 2º del departamento A y 1º del departamento B son
seleccionados. El monto de 25 presupuestado para proyectos de departamento B se
incrementó hasta 29 y el retorno será de 8.4, menor al fijado en 10. Esta solución da
.5 de nivel de aspiración.
Enfoque usando números difusos triangulares.- Aquí se utiliza el concepto de números
difusos triangulares (A) que se definen por una terna A = (a, b, c) con la siguiente función
de membresía:
xa
0,
x  a

, a xb
b  a
 A  x  
c  x , b  x  c
c  b
0,
xc

Gráficamente el número difuso triangular corresponde a:
 A (x)
1
a
0
b
c
x
Fig. 4
De las operaciones algebráicas con números difusos triangulares, la que usamos aquí es la
cerradura bajo la suma de números difusos triangulares, esto es, si A y B son números
difusos triangulares con A = (a1, a2, a3) y B = (b1, b2, b3) entonces se tiene que:
A (+) B = (a1, a2, a3) (+) (b1, b2, b3) = (a1+ b1, a2+ b2, a3+ b3),
,esto es, A (+) B es un número difuso triangular . Las alternativas de inversión con este
enfoque corresponde a números difusos triangulares y estos al intersectar con la función de
membresía correspondiente al conjunto borroso de presupuesto genera la posibilidad y
presupuesto asociados a cada alternativa. A continuación se ilustra con un ejemplo está
técnica.
Considere que se tienen departamentos o divisiones o plantas o subsistemas, y que para
cada subsistema existen proyectos. Por ejemplo, en una empresa en el departamento
7
comercial existen 3 proyectos, en el departamento de producción se plantean 5 proyectos,
en el departamento de finanzas se tienen contemplados 2 proyectos para un cierto horizonte
de planeación. Generalizando suponga que se tienen ni proyectos en el subsistema i
(i=1,2,…,n), y sea PSij, j=1,2,…,ni el proyecto j-ésimo del subsistema i-ésimo, el cual
requiere un presupuesto expresado por el número difuso triangular (infij,mejorij,maxij),
donde la segunda coordenada representa la cantidad deseada para llevar a cabo el proyecto,
siendo la primera coordenada la cantidad mínima a presupuestar para este proyecto y maxij
es el presupuesto máximo que se estaría dispuesto a desembolsar para llevar la cabo el
proyecto j-ésimo del subsistema i-ésimo.
La manera de actuar bajo este enfoque es generar un orden lineal de estas ternas
correspondientes a las alternativas generadas por estos proyectos solos o combinados los
cuales una vez ordenados linealmente se relacionan con la función de membresía
 
correspondiente al presupuesto total C, digamos C x , calculando de esta manera la
posibilidad de cada alternativa para llevarse al cabo.
Aplicación II.- Considere 4 proyectos ( dos del departamento A y dos del B) cada uno con
duración anual de un año y con las siguientes estimaciones en cuanto a sus presupuestos:
Propuesta
Presupuesto
1
a2
(550,600,750)
2
b1
(700,915,1050)
3
a1
(720,990,1100)
4
b2
(950,1200,1400)
Estos propuestas generan las siguientes alternativas para presupuestación.
Alternativa
Presupuesto
5
a2b1
(1250,1515,1800)
6
a1a2
(1270,1590,1850)
7
a2b2
(1500,1800,2150)
8
a1b1
(1420,1905,2150)
9
b1b2
(1650,2115,2450)
10 a1b2
(1670,2190,2500)
11
12
13
14
a1a2b1
a2b1b2
a1a2b2
a1b1b2
15
a1a2b1b2
(1970,2505,2900)
(2200,2715,3200)
(2220,2790,3250)
(2370,3105,3550)
(2920,3705,4300)
Tabla 2
Así por ejemplo la propuesta 14 en el orden involucra los proyectos a1 del Departamento A
y b1,b2 del B con un presupuestos deseado del orden de 3105 y cuando menos de 2370 y a
lo más de 3550, la figura 5 muestra la función de membresía asociada:
8
a14(presupuesto)
1
0
2370
3105
3550
presupuesto
Fig. 5
Considere que el total presupuestado C del sistema no es una cantidad única sino que es
atendiendo a la siguiente función de membresía:
1
, x  2000


x
……..(8)
C  x   3 
, 2000 < x < 3000
 1000
0
, x  3000

Graficamente (8) equivale a la figura 6.
C(x)
1
0
2000
3000
x
Fig. 6
En general suponga que la función de membresía de la k-ésima alternativa de
presupuestación corresponde a la siguiente figura:
ak(x) 1
0
a
b
Fig. 7
c
x
De las figuras (6) y (7) anteriores se tiene que el segmento de recta que une (a,0) con (b,1)
es:
a,0)+(1-(b,1) =(a+(1-b,1-
9
Por otro lado de la función de membresía (8), se tiene que el segmento de (3000,0) a
(2000,1) está dado por la siguiente combinación lineal convexa:
,0)+(1-(2000,1) =(1000+2000,1-
Igualando (9) con (10), se tiene:

a+(1-b =1000+2000

 =1
y resolviendo (11) para se tiene:
(2000-b)/(a-b-1000)
y entonces el punto de intersección es:
(2000+1000
Ya que asociada a la k-ésima (k=1,2,…,15) alternativa se tiene su distribución de
posibilidad dada por la terna (a,b,c), entonces basta con sustituir en (13) y obtener la
posibilidad de aceptar la alternativa correspondiente.
Por ejemplo considere la alternativa 15, cuya distribución es
(2920,3705,4300)
correspondiente a la alternativa a1a2b1b2, la cual tiene una posibilidad de:
 =1-(2000-3705)/(2920-3705-1000)=.0448
Esto significa que esta alternativa tiene un alto riesgo en caso de que se acepte, pues tiene
una posibilidad asociada muy pequeña, con un presupesto de:
2000+1000*
El siguiente cuadro presenta las alternativas y sus posibilidades correspondientes:
Alternativa
1
2
3
4
Posibilidad
a2
b1
a1
b2
Presupuesto
1
1
1
1
10
600
915
990
1200
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
a2b1
a1a2
a2b2
a1b1
b1b2
a1b2
a1a2b1
a2b1b2
a1a2b2
a1b1b2
a1a2b1b2
1
1
1
1
0.92150171
0.875
0.67100977
0.52805281
0.49681529
0.36311239
0.04481793
1515
1590
1800
1905
2078.49
2150
2328.99
2471.94
2503.18
2636.88
2955.18
Tabla 3
Resulta obvio que las primeras 8 alternativas tienen posibilidad 1 , ésto es , no existe riesgo
alguno que si se selecciona alguna de éstas se podrá financiar con el presupuesto
considerado, cosa que no ocurre de la 9º A la 15º donde los riesgos aumentan. Esto se
puede apreciar en el siguientes figuras.
 C(x)
1.0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
x
Fig. 8
En figura (8) se observa que la intersección de los números difusos triangulares
correspondientes las alternativas de a 1º a la 8º con la membresía  C ( x ) dada por la
expresión (8), solo se intersectan en puntos donde la membresía es 1, lo que equivale a
establecer que dichas alternativas se pueden llevar al cabo con posibilidad 1, ésto es , sin
ningún riesgo de poderse financiar.
C (x)
1.0
0.5
0.36
0
1000
2000
3000
4000
x
Fig. 9
En la figura (9) se observa que la intersección de los números difusos triangulares asociados
a las alternativas 9º a la 15º con la membresía C ( x) dada por la expresión (8),
11
representando las posibilidades que tienen estas alternativas de llevarse al cabo con los
presupuestos señalados, miden el riesgo que se corre de tomarlas .
En el apéndice (1) se presenta un programa en visual-basic para calcular y graficar lo
señalado en la tabla (3) y figuras (8) y (9).
Conclusiones.- El problema de presupuestación de capital a proyectos de inversión requiere
de enfoques menos rígidos que permitan al tomador de decisiones darle mayor margen de
acción, los enfoques tocados y que descansan en la matemática borrosa representan una
alternativa, además la dinámica de los negocios, el gobierno y el sector social complica
cada vez más esta situación y es menester buscar metodologías que apoyen solucionar esta
problemática.
Referencias:
1.-A. Kaufmann, and M. M. Gupta, “Fuzzy mathematical models in engineering and
management sciences”. North-Holland.1991
2.-B. H. Singer, ”Grade of membership representations:Concepts and problems”.
Festschreift for Samuel Karlin(T.W.Anderson,K. B. Athreya , and D. Iglehardt,
EDS.).Orlando, Florida, Academic Press.1989.
3.-H. D. Tolley, and K. G. Manton ,“Intervention effects among a collection of
risks”.Transaction of the Society of Actuaries.1991
4.-H. J. Zimermann, ”Fuzzy Set Theory and its Applications”.Kluwer Academic
Publishers.1990
5.-G. J. Klir and T. A. Folger, ”Fuzzy sets, uncertainty and information”.Prentice Hall.1988
6.-J. C. Romero C., ”Fuzzy Mathematical Programming Applied To The Lorie Savage
Problem”.ORSA/TIMS.1983
7.-J. C. Vertreess, “A model for allocation budgets in a closed system which
simultaneously computes diagnosis related group allocations weights” . Operations
Research.1993
8.-K. G. Manton, “Statistical applications using fuzzy sets”. Wiley Series in Probability and
Mathematical Statistics. 1994.
9.-L. A. Zadeh, “Fuzzy Sets”. Information and Control.1965
10.-Microsoft excel, Microsoft Co., 1994
.
Apéndice (1)
12
Sub presdif()
Range("A1:G13").Select
Selection.Clear
Range("b1").Select
Selection.ColumnWidth = 8
Range("a1").Select
Selection.ColumnWidth = 24
li = InputBox("Dame limite inferior de presupuesto total")
ls = InputBox("Dame limite superior de presupuesto total")
a = InputBox("Dame presupuesto minimo")
b = InputBox("Dame presupuesto deseado")
c = InputBox("Dame presupuesto maximo")
Cells(4, 1) = li: Cells(5, 1) = ls: Cells(6, 1) = a: Cells(7, 1) = b: Cells(8, 1) = c
If Cells(7, 1) <= Cells(4, 1) Then
posib = 1
presup = b
Cells(1, 2) = posib: Cells(1, 1) = "Posibilidad de la alternativa"
Cells(2, 2) = presup: Cells(2, 1) = "Presupuesto asociado"
Else
posib = 1 - (2000 - b) / (a - b - 1000)
presup = 2000 + 1000 * (1 - posib)
Cells(1, 2) = posib: Cells(1, 1) = "Posibilidad de la alternativa"
Cells(2, 2) = presup: Cells(2, 1) = "Presupuesto asociado"
End If
Cells(4, 1) = li
Cells(5, 1) = ls
Cells(6, 1) = a
Cells(7, 1) = b
Cells(8, 1) = c
Cells(4, 2) = 1
Cells(5, 2) = 0
Cells(6, 2) = 0
Cells(7, 2) = 1
Cells(8, 2) = 0
Cells(12, 1) = "UAM-Azc 20/10/97"
Cells(13, 1) = "José C. Romero Cortés"
Cells(3, 1) = "F.de membresía de C y triang"
Cells(3, 2) = "ulares"
Range("A4:B8").Select
ActiveSheet.ChartObjects.Add(186.75, 11.25, 283, 123.75).Select
Application.CutCopyMode = False
ActiveChart.ChartWizard Source:=Range("A4:B8"), Gallery:=xlXYScatter _
, Format:=2, PlotBy:=xlColumns, CategoryLabels:=1, _
SeriesLabels:=0, HasLegend:=1
Range("C9").Select
End Sub
13
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