ALGUNOS EJEMPLOS DE MODELOS DIFUSOS DE PRESUPUESTACION DE CAPITAL José C. Romero Cortés; Arturo Aguilar Vázquez Universidad Autónoma Metropolitana Departamento de Sistemas Abstract.-Se presenta una metodología para presupuestación de capital considerando la teoría de conjuntos difusos, como una alternativa de enfoques determinísticos o estocásticos y que representan el enfoque tradicional. Primero se formula el problema de presupuesto de capital en el contexto de la programación matemática difusa, específicamente lineal, como una generalización del caso convencional. Por otro lado también se muestra un enfoque difuso usando números triangulares borrosos. En cada caso se ilustra y discute con un ejemplo, y se anexa un programa en visual basic que efectúa los cálculos en el caso de números triangulares difusos. Esta aproximación difusa representa una alternativa metodológica que simplifica en mucho la problemática de asignación de dinero a proyectos alternativos de inversión, que actualmente debido a la incertidumbre tan marcada en los mercados financieros resulta en ocasiones intratable. Keywords.- Difuso, borroso, programación matemática, números difusos triangulares, presupuestación, selección proyectos inversión. Introducción.- Los métodos de presupuestación de capital, para la selección y administración de presupuestos se aplican ampliamente no sólo en el sector privado y gobierno sino también en el sector social. Actualmente la dinámica financiera es tan cambiante que un enfoque determinístico e inclusive uno estocástico puede resultar poco realista, es por esto que se empiezan a utilizar otros enfoques, por ejemplo los procedimientos de presupuestación usando datos y lógica difusa. La manera clásica de hacer presupuestación es considerar conjuntos de proyectos, los cuales consumirán los recursos puestos en juego durante cierto horizonte de planeación , los que a su vez generarán beneficios en dinero principalmente en el sector privado, y en el público estos beneficios pueden ser de bienestar o no tan tangibles como el rendimiento financiero. En el contexto de la administración se consideran n proyectos de inversión, durante un horizonte de planeación de T periodos de tiempo, con bj (j=1,2,…,n) representando el valor presente neto asociado al proyecto j-ésimo , y siendo Ctj el costo del proyecto j durante el periodo t (t=1,2,…,T) con Ct pesos presupuestados para los proyectos durante el periodo t. En este contexto sea xj la variable de decisión que asume el valor de 1 si el proyecto j-ésimo se acepta para llevarse al cabo y tomará el valor de 0 cuando el proyecto j-ésimo se rechace porque existen otros proyectos más ventajosos, en su competencia por los dineros presupuestados. Lo anterior se puede expresar en el contexto de la programación matemática como: 1 n Max Z b j x j j 1 s. a. n C j 1 x j Ct , t 1,2,....., T tj …….(1) 0 xj 1 con x j entera , j 1,2, , n Resolviendo este problema de programación matemática obtenemos una presupuestación del capital óptima, en el sentido que nos genera el portafolios de proyectos que maximiza el valor presente neto. El enfoque anterior es válido cuando los costos de capital, los montos y los rendimientos en el tiempo, correspondientes a las actividades de los proyectos son determinísticos o cuando se conoce en buena medida las distribuciones de probabilidad en el tiempo de éstas, sin embargo ante situaciones financieras muy cambiantes y difíciles de pronosticar, se están desarrollando metodologías que permiten superar esta problemática. Uno de estos enfoques es mediante la lógica difusa. A continuación se presentan dos técnicas para la asignación de presupuestos a proyectos de inversión en el contexto difuso. Enfoque de programación matemática difusa.- Básicamente es extender las ideas ordinarias expuestas al caso difuso, en donde lo que busca no es el óptimo global Z, sino alcanzar un cierto nivel de aspiración (de rendimiento), asimismo, supongamos que cada una de las restricciones se puede violar hasta cierta tolerancia de acuerdo a funciones de membresía asociadas con los techos presupuestales Ct ´s, y por último añadir como restricción que no se desembolsará más de C pesos durante el horizonte de planeación de T periodos. El problema así planteado, queda formulado como: n b x Max = j j j=1 s.a. n C x j 1 T tj Ct , t 1,, T j n C t 1 j 1 tj …...(2) xj C , 0 x j 1; con x j entera , j 1,, n Donde el símbolo , indica que los establecimientos correspondientes son borrosos. Mientras en (1) lo que se busca es encontrar la solución que optimice Z en (2) se trata de encontrar la solución tal que Z sea cuando menos del orden de Mo de acuerdo a la función de membresía (2): 2 r0 1 p , si 0 (r0 ) = 1, si n b x j j M0 - r0 , r0 0, r0 p0 j=1 …..(3) n b x j j M0 j 1 De forma similar en (1) las soluciones del conjunto de restricciones, se deben satisfacer estrictamente; mientras en el conjunto borroso de restricciones (2), el tomador de decisiones, esta dispuesto a tolerar una violación de rt (hasta Mt > 0) pesos, en la t-ésima restricción, de acuerdo a la siguiente función de membresía: n rt 1, si Ctj x j Ct + rt , rt 0, rt M t Mt j 1 n (rt ) = t 1,, T . .(4) 1 , si C x C tj j t j 1 Gráficamente estas funciones de pertenencia son de la forma: ( r0 ) (rt ) 1 1 0 po 0 ro Fig. 1 Mt rt Fig. 2 De (2) , (3) y (4) y de la teoría de los conjuntos borrosos se tiene el siguiente establecimiento: 3 r Min r x t 0 ,,T Max x t t t 0 ,,T x Min rt t 0 ,,T Sea Min rt , entonces, t 0 ,,T 1 r0 , p0 b x 1 rt , Mt C j tj M 0 r0 , r0 p0 , r0 0 j x j Ct rt , rt M t , rt 0 Entonces (2) se puede formular como (5): Max s. a. p0 + r0 p0 M1 + r1 M1 M T + rT M T n b j x j r0 M 0 j 1 n C x j 1 tj T n t 1 j 1 j rt Ct , C x tj j t 1,, T C r0 p0 r1 M1 rT M T 0 xj 1 con x j , entera j 1,, n , rt ,0 t 0,1,2,, T 4 ...........(5) que corresponde a un problema de programación lineal mixta, cuya solución puede encontrarse utilizando los algoritmos convencionales. Donde el óptimo (o,x1o,…, x no , r0o ,..., rTo ) tiene el siguiente significado: o = grado de membresía de la solución óptima, tomando en cuenta funciones de pertenencia del objetivo y restricciones. x 0j es 0 cuando se rechaza el proyecto j-ésimo y si es 1 se acepta. ro o =El valor en que Mo se disminuye. rto =Cuánto se violó la t-ésima restricción, i.e., hasta cuanto se incrementó la cantidad Ct disponible para invertir en período t. n Además es fácil calcular Z o b j x 0j . j 1 La programación matemática borrosa da flexibilidad al tomador de decisiones lo que redunda en concederle libertad para que incorpore sus preferencias, sentimientos o vaguedades en el modelo, cosa que no se logra utilizando enfoques convencionales. De hecho la programación difusa es una generalización de la clásica, hecho que se desprende de que un conjunto difuso es la generalización de uno ordinario. Aplicación I.-Considere el caso en el cual se tienen 4 proyectos con duración de un año. El departamento A tiene 2 proyectos y el departamento B tiene 2 proyectos. .Aquí las variables de decisión son xij corresponden a: 0 si el proyecto j del departamento i es rechazado. xij 1 si el proyecto j del departamento i es aceptado. Fig. 3 Las siguientes tablas muestran los parámetros del problema: bij (Cij ) Proyectos 1 2 Departamentos A 4(20) 2.8(15) B 5.6(29) 3.1(18) Tabla 1. Además con: 5 CA =18 , CB=25 Mo=10 , M1=2 , M2=8 C=50 , po=8 El problema expresado en términos de programación lineal borrosa corresponde a: Max Z 4 x A1 2.8 x A 2 5.6 x B1 31 . x B2 s. a. 20 x A1 15x A 2 18 29 x B1 18 x B 2 25 ……(6) 20 x A1 15x A 2 29 x B1 18 x B 2 50 0 xij 1, i A, B; j 1,2 xij , entera (i A, B; j 1,2) El problema (6) es equivalente a: Max s. a. 4 x A1 2.8 x A2 5.6 x B1 31 . x B 2 r0 10 20 x A1 15x A2 r1 18 29 x B1 18 x B 2 r2 25 20 x A1 15x A2 29 x B1 18 x B 2 50 8 r0 8 2 r1 2 8 r2 8 r0 8 r1 2 r2 8 0 xij 1, i A, B; j 1,2 xij , entero(i A, B; j 1,2) R, r0 , r1 , r2 0 Cuya solución óptima es: 6 ……(7) 0 .5 , r00 16 . , r10 0 , r20 4 x A1 x B 2 0, x A 2 x B1 1 Z 0 8.4 La solución significa que los proyectos 2º del departamento A y 1º del departamento B son seleccionados. El monto de 25 presupuestado para proyectos de departamento B se incrementó hasta 29 y el retorno será de 8.4, menor al fijado en 10. Esta solución da .5 de nivel de aspiración. Enfoque usando números difusos triangulares.- Aquí se utiliza el concepto de números difusos triangulares (A) que se definen por una terna A = (a, b, c) con la siguiente función de membresía: xa 0, x a , a xb b a A x c x , b x c c b 0, xc Gráficamente el número difuso triangular corresponde a: A (x) 1 a 0 b c x Fig. 4 De las operaciones algebráicas con números difusos triangulares, la que usamos aquí es la cerradura bajo la suma de números difusos triangulares, esto es, si A y B son números difusos triangulares con A = (a1, a2, a3) y B = (b1, b2, b3) entonces se tiene que: A (+) B = (a1, a2, a3) (+) (b1, b2, b3) = (a1+ b1, a2+ b2, a3+ b3), ,esto es, A (+) B es un número difuso triangular . Las alternativas de inversión con este enfoque corresponde a números difusos triangulares y estos al intersectar con la función de membresía correspondiente al conjunto borroso de presupuesto genera la posibilidad y presupuesto asociados a cada alternativa. A continuación se ilustra con un ejemplo está técnica. Considere que se tienen departamentos o divisiones o plantas o subsistemas, y que para cada subsistema existen proyectos. Por ejemplo, en una empresa en el departamento 7 comercial existen 3 proyectos, en el departamento de producción se plantean 5 proyectos, en el departamento de finanzas se tienen contemplados 2 proyectos para un cierto horizonte de planeación. Generalizando suponga que se tienen ni proyectos en el subsistema i (i=1,2,…,n), y sea PSij, j=1,2,…,ni el proyecto j-ésimo del subsistema i-ésimo, el cual requiere un presupuesto expresado por el número difuso triangular (infij,mejorij,maxij), donde la segunda coordenada representa la cantidad deseada para llevar a cabo el proyecto, siendo la primera coordenada la cantidad mínima a presupuestar para este proyecto y maxij es el presupuesto máximo que se estaría dispuesto a desembolsar para llevar la cabo el proyecto j-ésimo del subsistema i-ésimo. La manera de actuar bajo este enfoque es generar un orden lineal de estas ternas correspondientes a las alternativas generadas por estos proyectos solos o combinados los cuales una vez ordenados linealmente se relacionan con la función de membresía correspondiente al presupuesto total C, digamos C x , calculando de esta manera la posibilidad de cada alternativa para llevarse al cabo. Aplicación II.- Considere 4 proyectos ( dos del departamento A y dos del B) cada uno con duración anual de un año y con las siguientes estimaciones en cuanto a sus presupuestos: Propuesta Presupuesto 1 a2 (550,600,750) 2 b1 (700,915,1050) 3 a1 (720,990,1100) 4 b2 (950,1200,1400) Estos propuestas generan las siguientes alternativas para presupuestación. Alternativa Presupuesto 5 a2b1 (1250,1515,1800) 6 a1a2 (1270,1590,1850) 7 a2b2 (1500,1800,2150) 8 a1b1 (1420,1905,2150) 9 b1b2 (1650,2115,2450) 10 a1b2 (1670,2190,2500) 11 12 13 14 a1a2b1 a2b1b2 a1a2b2 a1b1b2 15 a1a2b1b2 (1970,2505,2900) (2200,2715,3200) (2220,2790,3250) (2370,3105,3550) (2920,3705,4300) Tabla 2 Así por ejemplo la propuesta 14 en el orden involucra los proyectos a1 del Departamento A y b1,b2 del B con un presupuestos deseado del orden de 3105 y cuando menos de 2370 y a lo más de 3550, la figura 5 muestra la función de membresía asociada: 8 a14(presupuesto) 1 0 2370 3105 3550 presupuesto Fig. 5 Considere que el total presupuestado C del sistema no es una cantidad única sino que es atendiendo a la siguiente función de membresía: 1 , x 2000 x ……..(8) C x 3 , 2000 < x < 3000 1000 0 , x 3000 Graficamente (8) equivale a la figura 6. C(x) 1 0 2000 3000 x Fig. 6 En general suponga que la función de membresía de la k-ésima alternativa de presupuestación corresponde a la siguiente figura: ak(x) 1 0 a b Fig. 7 c x De las figuras (6) y (7) anteriores se tiene que el segmento de recta que une (a,0) con (b,1) es: a,0)+(1-(b,1) =(a+(1-b,1- 9 Por otro lado de la función de membresía (8), se tiene que el segmento de (3000,0) a (2000,1) está dado por la siguiente combinación lineal convexa: ,0)+(1-(2000,1) =(1000+2000,1- Igualando (9) con (10), se tiene: a+(1-b =1000+2000 =1 y resolviendo (11) para se tiene: (2000-b)/(a-b-1000) y entonces el punto de intersección es: (2000+1000 Ya que asociada a la k-ésima (k=1,2,…,15) alternativa se tiene su distribución de posibilidad dada por la terna (a,b,c), entonces basta con sustituir en (13) y obtener la posibilidad de aceptar la alternativa correspondiente. Por ejemplo considere la alternativa 15, cuya distribución es (2920,3705,4300) correspondiente a la alternativa a1a2b1b2, la cual tiene una posibilidad de: =1-(2000-3705)/(2920-3705-1000)=.0448 Esto significa que esta alternativa tiene un alto riesgo en caso de que se acepte, pues tiene una posibilidad asociada muy pequeña, con un presupesto de: 2000+1000* El siguiente cuadro presenta las alternativas y sus posibilidades correspondientes: Alternativa 1 2 3 4 Posibilidad a2 b1 a1 b2 Presupuesto 1 1 1 1 10 600 915 990 1200 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a2b1 a1a2 a2b2 a1b1 b1b2 a1b2 a1a2b1 a2b1b2 a1a2b2 a1b1b2 a1a2b1b2 1 1 1 1 0.92150171 0.875 0.67100977 0.52805281 0.49681529 0.36311239 0.04481793 1515 1590 1800 1905 2078.49 2150 2328.99 2471.94 2503.18 2636.88 2955.18 Tabla 3 Resulta obvio que las primeras 8 alternativas tienen posibilidad 1 , ésto es , no existe riesgo alguno que si se selecciona alguna de éstas se podrá financiar con el presupuesto considerado, cosa que no ocurre de la 9º A la 15º donde los riesgos aumentan. Esto se puede apreciar en el siguientes figuras. C(x) 1.0 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 x Fig. 8 En figura (8) se observa que la intersección de los números difusos triangulares correspondientes las alternativas de a 1º a la 8º con la membresía C ( x ) dada por la expresión (8), solo se intersectan en puntos donde la membresía es 1, lo que equivale a establecer que dichas alternativas se pueden llevar al cabo con posibilidad 1, ésto es , sin ningún riesgo de poderse financiar. C (x) 1.0 0.5 0.36 0 1000 2000 3000 4000 x Fig. 9 En la figura (9) se observa que la intersección de los números difusos triangulares asociados a las alternativas 9º a la 15º con la membresía C ( x) dada por la expresión (8), 11 representando las posibilidades que tienen estas alternativas de llevarse al cabo con los presupuestos señalados, miden el riesgo que se corre de tomarlas . En el apéndice (1) se presenta un programa en visual-basic para calcular y graficar lo señalado en la tabla (3) y figuras (8) y (9). Conclusiones.- El problema de presupuestación de capital a proyectos de inversión requiere de enfoques menos rígidos que permitan al tomador de decisiones darle mayor margen de acción, los enfoques tocados y que descansan en la matemática borrosa representan una alternativa, además la dinámica de los negocios, el gobierno y el sector social complica cada vez más esta situación y es menester buscar metodologías que apoyen solucionar esta problemática. Referencias: 1.-A. Kaufmann, and M. M. Gupta, “Fuzzy mathematical models in engineering and management sciences”. North-Holland.1991 2.-B. H. Singer, ”Grade of membership representations:Concepts and problems”. Festschreift for Samuel Karlin(T.W.Anderson,K. B. Athreya , and D. Iglehardt, EDS.).Orlando, Florida, Academic Press.1989. 3.-H. D. Tolley, and K. G. Manton ,“Intervention effects among a collection of risks”.Transaction of the Society of Actuaries.1991 4.-H. J. Zimermann, ”Fuzzy Set Theory and its Applications”.Kluwer Academic Publishers.1990 5.-G. J. Klir and T. A. Folger, ”Fuzzy sets, uncertainty and information”.Prentice Hall.1988 6.-J. C. Romero C., ”Fuzzy Mathematical Programming Applied To The Lorie Savage Problem”.ORSA/TIMS.1983 7.-J. C. Vertreess, “A model for allocation budgets in a closed system which simultaneously computes diagnosis related group allocations weights” . Operations Research.1993 8.-K. G. Manton, “Statistical applications using fuzzy sets”. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics. 1994. 9.-L. A. Zadeh, “Fuzzy Sets”. Information and Control.1965 10.-Microsoft excel, Microsoft Co., 1994 . Apéndice (1) 12 Sub presdif() Range("A1:G13").Select Selection.Clear Range("b1").Select Selection.ColumnWidth = 8 Range("a1").Select Selection.ColumnWidth = 24 li = InputBox("Dame limite inferior de presupuesto total") ls = InputBox("Dame limite superior de presupuesto total") a = InputBox("Dame presupuesto minimo") b = InputBox("Dame presupuesto deseado") c = InputBox("Dame presupuesto maximo") Cells(4, 1) = li: Cells(5, 1) = ls: Cells(6, 1) = a: Cells(7, 1) = b: Cells(8, 1) = c If Cells(7, 1) <= Cells(4, 1) Then posib = 1 presup = b Cells(1, 2) = posib: Cells(1, 1) = "Posibilidad de la alternativa" Cells(2, 2) = presup: Cells(2, 1) = "Presupuesto asociado" Else posib = 1 - (2000 - b) / (a - b - 1000) presup = 2000 + 1000 * (1 - posib) Cells(1, 2) = posib: Cells(1, 1) = "Posibilidad de la alternativa" Cells(2, 2) = presup: Cells(2, 1) = "Presupuesto asociado" End If Cells(4, 1) = li Cells(5, 1) = ls Cells(6, 1) = a Cells(7, 1) = b Cells(8, 1) = c Cells(4, 2) = 1 Cells(5, 2) = 0 Cells(6, 2) = 0 Cells(7, 2) = 1 Cells(8, 2) = 0 Cells(12, 1) = "UAM-Azc 20/10/97" Cells(13, 1) = "José C. Romero Cortés" Cells(3, 1) = "F.de membresía de C y triang" Cells(3, 2) = "ulares" Range("A4:B8").Select ActiveSheet.ChartObjects.Add(186.75, 11.25, 283, 123.75).Select Application.CutCopyMode = False ActiveChart.ChartWizard Source:=Range("A4:B8"), Gallery:=xlXYScatter _ , Format:=2, PlotBy:=xlColumns, CategoryLabels:=1, _ SeriesLabels:=0, HasLegend:=1 Range("C9").Select End Sub 13