RESPONSABLE: Tomás Recio Muñiz REFERENCIA DE LA ACTIVIDAD: FUT-C2-0045 TITULO DE LA ACTIVIDAD: Cinco Oportunidades Cientí-fico-Tecnológicas de las Matemáticas: Logística, Componentes, Astrofísica, Mecánica Social e Hidráulica Ambiental MEMORIA CIENTÍFICA DE LAS ACTIVIDADES DESARROLLADAS: Astrofísica: En los modelos de predicción de distribución de masa en cúmulos de galaxias se suele imponer una geometría en el modelo a fin de facilitar el cálculo de la distribución de masas. J. M. Diego ha desarrollado un modelo en el cuál no se impone ninguna geometría a la distribución de masas. En su lugar, se analizan tres fuentes de datos comúnmente utilizados en este tipo de problemas. Emisión de rayos X (XR), dispersión de la radiación de fondo de microondas mediante el efecto Sunyaev-Zeldovich (SZ) y efecto de lente gravitacional producido por las mismas masas. En este modelo, no se impone ninguna geometría a priori en el cúmulo, sino que se trata de recuperar la distribución tridimensional a través de las fuentes de datos de datos anteriormente citadas. Además, se imponen una serie de restricciones para asegurarse que la solución tiene sentido físico: todas las soluciones deben ser no negativas y se deben cumplir un conjunto de ecuaciones no lineales que representan el equilibrio hidrostático en la posible distribución de galaxias. Se ha comenzado con una simulación en la que se parte de una distribución tridimensional conocida de galaxias y se calculan los datos observados que se deberían obtener de esta distribución. A partir de estos datos observados, la aportación matemática consiste en desarrollar métodos para recuperar los datos de partida. Esta es una primera aproximación para comprobar que el modelo es razonable. Se puede comprobar que los datos de partida forman una solución a un sistema de ecuaciones lineales que representan la proyección de los datos reales en los datos observables y una serie de ecuaciones no lineales codificando las condiciones de equilibrio hidrostático de la distribución. Además, como se ha indicado, todas las soluciones deben tener todas sus coordenadas no negativas. Para poder calcular la solución en la simulación se ha diseñado un método iterativo adaptado a la estructura lineal-no lineal de las ecuaciones. Se ha comprobado que este método converge muy rápidamente en los datos de la simulación utilizados. Si se normalizan las ecuaciones para evitar problemas numéricos, se ha comprobado que la solución obtenida aproxima mejor los datos observados y las condiciones de equilibrio que los datos originales y, si bien se aleja de los datos originales, se aprecia que el método es capaz de detectar la estructura de las soluciones, discriminando las zonas con mayor y menos masa, XR, SZ. Haciendo un análisis del método empleado, parece que está más adaptado a los datos de la simulación que al problema en concreto, por lo que se ha tratado de aplicar un método general de resolución de ecuaciones. Se ha optado por aplicar el método de Newton, a pesar de estar trabajando con un sistema sobredeterminado. Se ha comprobado que el método no converge debido a desbordamientos en las operaciones. La siguiente tabla muestra algunos datos comparando cómo se aproxima la solución obtenida con el método iterativo a los datos originales de la simulación y a los datos observables calculados en la simulación. Proyecto Ingenio Mathematica OTRI-Pabellón de Gobierno, Universidad de Cantabria, Avda. Los Castros s/n, 39005 Santander Datos Reales Solución Propuesta Norma vector incógnitas 7.0075e+11 5.0009e+11 Norma vector incógnitas, masa 1.5260e-02 1.5734e-02 Norma vector incógnitas, rayos X 2.2494e+11 9.5003e+10 Norma vector incógnitas, efecto SZ 6.6367e+11 4.9099e+11 Suma de masas negativas 0 0 Error relativo datos reales, 0 masa 1.1044e+00 Error relativo datos reales, 0 rayos X 0.67282 Error relativo datos reales 0 M, efecto SZ 0.90643 Error relativo observable, 1.7898e-01 masa 1.7634e-01 Error relativo observable, 4.8528e-09 rayos X 1.4766e-16 Error relativo observable, 1.6954e-15 efecto SZ 2.5801e-16 Error condiciones de equilibrio hidrostático 1.0271e-10 3.7618e-10 Se puede apreciar que la solución calculada aproxima mejor los datos observables y las condiciones de equilibrio que los datos reales de la simulación (los errores relativos se han calculado usando la norma euclídea). VALORACIÓN DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS: Se ha logrado diseñar un algoritmo que calcula una solución matemáticamente aceptable de la simulación disponible. Este paso es necesario para poder desarrollar el método que se pretende. Desde un punto de vista matemático se ha resulto el problema en esta simulación. Proyecto Ingenio Mathematica OTRI-Pabellón de Gobierno, Universidad de Cantabria, Avda. Los Castros s/n, 39005 Santander ESTIMACIÓN DEL IMPACTO DE LOS RESULTADOS EN LAS ACTIVIDADES FUTURAS: Es difícil estimar el impacto debido a la restricción de trabajar con una sola simulación, lo que impide determinar la bondad del método propuesto. Por otro lado, si bien la solución encontrada es matemáticamente correcta, parece que no lo es tanto desde un punto de vista físico/ del modelo. Se hace necesario encontrar más parámetros y restricciones matemáticas que discriminen entre una solución válida y otra inválida. Proyecto Ingenio Mathematica OTRI-Pabellón de Gobierno, Universidad de Cantabria, Avda. Los Castros s/n, 39005 Santander