Sesión Nº 8:

UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO
Escuela de Ingeniería Civil
T-19-11-2007
Sesión Nº 9:
DERIVADAS DIRECCIONALES, GRADIENTES DE UNA
FUNCION
f
f
y
como:
x
y
f
f ( x  x, y )  f ( x, y )
 lim
x x 0
x
Sea z  f ( x, y) , ya hemos estudiado y definido
f
f ( x, y  y)  f ( x, y)
 lim

x

0
y
y
Estas derivadas representan las pendientes de las rectas tangentes a la superficie
z  f ( x, y) en las direcciones de los ejes x e y respectivamente, pero ahora surge el
problema de determinar la pendiente de la recta tangente en una dirección arbitraria, es
por ello que surgen las llamadas Derivadas Direccionales.
Definición: (Derivada Direccional en IR2).- La derivada direccional de f en el

punto x0 , y0  en la dirección del vector unitario u  (a, b) , esta dado por:
Du f ( x0 , y 0 )  lim
h 0
f ( x0  ha, y 0  hb)  f ( x0 , y 0 )
si el límite existe
h

Nota: Si f : IR3  IR , y u  (a, b, c) , p( x0 . y0 , z 0 ) , entonces se define la derivada
direccional:
Du f ( x0 , y 0 , z 0 )  lim
h 0
f ( x0  ha, y 0  hb, z 0  hc)  f ( x0 , y 0 , z 0 )
h
Ejemplos Explicativos:
1.- Hallar la derivada de f ( x, y)  x 3  xy  2 y 2 en P(1,2) en la dirección que va desde
el punto hasta (4,6)
2.- Sea f ( x, y)  x 2  xy  y 3 , hallar la derivada direccional en el punto P(1,3) en la

dirección del vector a  (1,3)
3.- Sea f ( x, y)  xy  yz  xz , hallar la derivada direccional en el punto P(1,1,7) en la

dirección del vector a  (7,7,7)
Docente: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz
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NOTA:
1) La derivada direccional mide la razón de cambio de los valores de la función
f ( x, y) con respecto a la distancia en el plano XY , medida en la dirección del

vector unitario u .
2) La derivada direccional es una generalización de las derivadas parciales, ya que:


Si u  i  (1,0) , tenemos:
i)
Du f ( x0 , y 0 )  lim
h 0

ii)
f ( x0  h, y 0 )  f ( x0 , y 0 ) f

( x0 , y 0 )
h
x

Si u  j  (0,1) , tenemos:
Du f ( x0 , y0 )  lim
h0
f ( x0 , y0  h)  f ( x0 , y0 ) f

( x0 , y 0 )
h
y
Definición:



Sea z  f ( x, y) y u  (cos , sen )  i cos  j sen vector unitario, la derivada

direccional de f en la dirección de u , está definida como:
Du f ( x, y )  lim
h 0
f ( x  h cos  , y  hsen  )  f ( x, y )
h
Teorema:
Si f es una función diferenciable de x e y , entonces la derivada direccional de f en



el punto P( x0 , y0 ) y en la dirección del vector unitario u  i cos  j sen , está dada
por:
Du f ( x, y) 
f ( x0 , y0 )
f ( x0 , y 0 )
cos 
sen
x
y


Donde  es el ángulo formado por u y el eje OX
Teorema:
Si f es una función diferenciable de x, y e z , la derivada direccional de f en el
punto P( x0 , y0 , z0 ) y en la dirección del vector unitario




u  i cos  j cos   k cos , está dada por:
Du f ( x, y) 
f ( x0 , y0 , z 0 )
f ( x0 , y0 , z 0 )
f ( x0 , y0 , z 0 )
cos 
cos  
cos
x
y
z
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
Donde  ,  ,  son los vectores directores de u .
Ejemplos:
1.- Calcular la derivada de la función f ( x, y)  x 2  y 2 en el punto (1,1) en la dirección
del vector que forma un ángulo de 60º con el eje X.
2.- Hallar la derivada de la función f ( x, y)  x 2  xy  2 y 2 en el punto (1,2) en la
dirección que forma con el eje X un ángulo de 30º.
3.- Hallar la derivada de la función f ( x, y, z)  xy 2  z 3  xyz en el punto (1,1,2) en la
dirección que forma ángulos de 60º, 45º y 60º respectivamente..
PROPIEDADES DE LA DERIVADA DIRECCIONAL
Sean f , g : D  R 2  R , funciones diferenciables en el conjunto abierto D  R n ,
entonces:
1) D ( f  g )( x, y )  D f ( x, y )  D g ( x, y )
u
u
u
2) D ( f .g )( x, y )  g ( x, y ). D f ( x, y )  f ( x, y ). D g ( x, y )
u
u
u
g ( x, y ).D f ( x, y )  f ( x, y ).D g ( x, y )
f
u
u
3) D ( )(x, y ) 
u g
( g ( x, y ))2
GRADIENTE DE UNA FUNCION
Definición.- Sea f : R 2  R definida en D  R 2 , además existen
f
f

,
x y
definimos el gradiente de la función f , como:
  f ( x, y )  f ( x, y) 

grad( f )  f ( x, y )  
,
 y 
 x
Nota:
Si f : R 3  R , además existen
f
f
f


, entonces:
x y z
  f ( x, y, z )  f ( x, y, z )  f ( x, y, z ) 

f ( x, y, z )  
,
,

x

y

z


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PROPIEDADES DEL GRADIENTE DE UNA FUNCION
Sean f , g : D  R 2  R , funciones diferenciables en D  R n , entonces:
1) ( f  g )(x, y)  f ( x, y)  g ( x, y)
2) ( . f ( x, y))   .f ( x, y)
3) ( f .g )(x, y) ´ f ( x, y).g ( x, y)  g ( x, y).f ( x, y)
Observación:
Si f es una función diferenciable de x e y , la derivada direccional en la dirección del

vector unitario u es:

D f ( x, y )  f ( x, y ). u
u
Ejemplos:

1.- Sea f ( x, y)  ln(x 2  y 2  z 2 ) , hallar D  f en P(1,3,2) , donde u  (
u
1 1 1
,
, )
3 3 3
2.- Hallar la derivada direccional de f ( x, y)  ( x  1) y 2 e xy en P(0,1) , en la dirección
hacia (-1,3)
3.- Hallar la derivada direccional de f ( x, y, z )  xy  yz  xz en P(1,1,1) , y en la
dirección al vector (2,1,-1)
Observación

Si  es el ángulo entre f y u , entonces:


D f ( x, y)  f ( x, y).u  f ( x, y) . u cos  f ( x, y) . cos
u

D f ( x, y )  f ( x, y ) . cos
u
Además, como:  1  cos   1 :
f ( x, y)  f ( x, y) . cos  f ( x, y)
Luego:
-) f ( x, y) es el valor máximo de la derivada direccional.
-) - f ( x, y) es el valor mínimo de la derivada direccional.
-) El coeficiente de variación es f ( x, y)
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Ejemplos
1.- La distribución de temperatura de una placa metálica está dado por la función:
T ( x, y)  xe2 y  y 3e x
a) En qué dirección aumenta la temperatura más rápidamente en el punto (2,0) ¿Cuál es
el coeficiente de variación?
b) En qué dirección decrece la temperatura más rápidamente.
2.- La ecuación de la superficie del Cerro San Cristóbal es z  900 2x 2  2 y 2 , donde
la distancia se mide en metros, el eje X apunta al Este y el eje Y apunta al Norte. Un
hombree está en el punto correspondiente a (6, 14,800)
a) ¿Cuál es la dirección de la ladera mas pronunciada?
b) Si el hombre se mueve en la dirección NOR ESTE ¿Está ascendiendo o
descendiendo? ¿Cuál es la rapidez?
c) Si el hombre se mueve en la dirección SUR OESTE ¿Está ascendiendo o
descendiendo? ¿Cuál es la rapidez?
PLANOS TANGENTES Y NORMALES A LAS
SUPERFICIES
Definición:
Si la ecuación de una superficie S está dado por F ( x, y, z )  0 donde Fx , Fy , Fz son
continuas y no todos ceros en P0 ( x0 , y0 , z0 ) de S , entonces un vector normal a la
superficie S en el punto P0 ( x0 , y0 , z0 ) es:

N  F ( x0 , y 0 , z 0 )
Definición:
Si la ecuación de una superficie está dado por S : F ( x, y, z )  0 , donde F es
diferenciable en P0 ( x0 , y0 , z0 ) con F ( x0 , y0 , z0 )  0 . Entonces el plano que pasas por

P0 ( x0 , y0 , z0 ) y que tiene como normal N  F ( x0 , y 0 , z 0 ) se conoce como plano
tangente a S en P0 , cuya ecuación es:

P : N ( x, y, z )  ( x0 , y0 , z 0 )

Donde N  F ( x0 , y0 , z 0 )  ( Fx ( x0 , y0 , z 0 ), Fy ( x0 , y0 , z 0 ), Fz ( x0 , y0 , z 0 ))
Es decir, la ecuación puede ser expresada como:
P : Fx ( x0 , y0 , z0 )(x  x0 )  Fy ( x0 , y0 , z0 )( y  y0 )  Fz ( x0 , y0 , z0 )(z  z0 ) ó
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P:
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F
F
F
( x  x0 ) 
( y  y0 ) 
( z  z0 )
x
y
z
Definición:
La recta normal a la superficie S : F ( x, y, z )  0 , en el punto P0 ( x0 , y0 , z0 )  S es la
recta que pasa a través del punto P0 ( x0 , y0 , z0 ) y sigue la dirección del vector normal al
plano tangente de la superficie S en el punto P0 ( x0 , y0 , z0 ) y su ecuación simétrica de
la recta normal a S en P0 ( x0 , y0 , z0 ) es:
LN :
x  x0
y  y0
z  z0


Fx ( x0 , y0 , z 0 ) Fy ( x0 , y0 , z 0 ) Fz ( x0 , y0 , z 0 )



LN : ( x0 , y 0 , z 0 )  t N / t  R 


Ejemplos
1.- Hallar la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie
3
2
3
2
3
2
x  y  z  17 en el punto (4,4,1)
2.- Hallar la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie
x 3  y 3  z 3  xyz  6 en el punto (1,2,-1)
3.- Hallar la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie
3x 4  4 y 3 z  4xyz2  4 xz 3  1  0 en el punto (1,1,1)
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ó
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HOJA DE PRÁCTICA 9
I.- Hallar el gradiente de la función f en los puntos indicados:
1.- f ( x, y, z)  z 2 e x seny , en P0  (0,

2
,2)
2.- f ( x, y, z)  x 2  y 2  z , en P0  (2,1,0)
3.- f ( x, y, z)  sen(3x) cos2 x tan z , en P0  (0,
 
, )
2 4
4.- f ( x, y, z)  ln x 2  y 2  z 2 , en P0  (1,1,3)
5.- f ( x, y, z)  xe y z , en P0  (1,4,2)
II.- Resolver:
1.- El potencial eléctrico es V voltios en cualquier punto ( x, y ) en el plano XY y
V  e 2 x cos(2 y) . La distancia se mide en pies.

a) Encontrar la rapidez de cambio del potencial en el punto (0, ) en la dirección del
4





vector unitario u  i cos  j sen
6
6
2.- Supongamos que la temperatura en un punto ( x, y, z)  R 3 está dado por la fórmula
w  e  x  y  z . Hallar la proporción de variación de la temperatura en el punto (1,2,3) y
en la dirección desde el punto al origen.
2
2
2
3.- Hallar la derivada direccional de f ( x, y, z)  100(e xy  ln z) en dirección de

a  (2,0,1)
4.- La ecuación de una colina es f ( x, y)  74  x 2  7 xy  4 y 2 , el eje “y” señala hacia
el norte y el eje “x” hacia el este; un hombre está en el punto (-1,5,8) sobre la colina y se
mueve hacia el Nor-Oeste ¿Está subiendo o bajando? ¿En qué dirección descenderá más
rápidamente?
5.- Calcular la derivada direccional de f ( x, y)  e x cos y  e y senx en el punto
P0  (1,0) en la dirección que va desde el vector hasta el pinto Q(3,2)
6.- Calcular la derivada direccional de f ( x, y)  x 2  xy  y 3 en el punto P0  (1,2) en
la dirección que va desde el vector hasta el punto Q(1,3)
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7.- Hallar la derivada direccional de f ( x, y)  3x 4  xy  y 3 ) en el punto (1,2)
siguiendo la dirección que forma con el eje “x” un ángulo de 60º
8.- La temperatura en el punto ( x, y, z ) en un trozo de metal viene dada por la fórmula
f ( x, y, z)  e 2 x y 3 z grados. ¿En qué dirección, en el pinto (0,0,0), crece más
rápidamente la temperatura?
9.- La temperatura distribuida en el espacio está dad por la función
  
f ( x, y)  10  6 cos x cos y  3 cos2 x  4 cos3 y en el punto  ,  . Encontrar la
3 3
dirección de mayor crecimiento de la temperatura y la de mayor decrecimiento.
10.- Un avión se mueve según su plano de equilibrio con la función f ( x, y)  x 2  y 2 ,
 2 2

,
si hay un viento cuya dirección es 

 2 2 
a. ¿Cuál es la velocidad máxima del avión con dirección al viento?
b. Si el viento cambia de dirección en 45º en sentido horario ¿Cuál es ahora su nueva
velocidad con respecto al viento?
III.- Hallar la ecuación de los planos tangentes y rectas normales , para las superficies
dadas:
1.- z  x 2  y 2  xy en P(3,4,7)
2.- x 3  y 3  z 3  xyz  6 en P(1,2,1)
3.- 3x 4  4 y 3 z  4xyz2  4xz 3  1  0 en P(1,1,1)
4.- ( z 2  x 2 ) xyz  y 5  5 en P(1,1,2)
5.- x 2  y 2  3z  2 en P(2,4,9)
Docente: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz