Funciones cuadráticas o parábolas

FUNCIONES CUADRÁTICAS
La forma general de una función cuadrática es f  x   ax2  bx  c .
El dominio de las funciones cuadráticas es el conjunto de todos los reales , y el
contradominio es el subconjunto de los reales que va desde el vértice hasta mas infinito o
menos infinito, dependiendo de que la parábola abra hacia arriba o hacia abajo.
El exponente más grande es 2. La representación gráfica de estas funciones, es una curva
denominada parábola ( de la familia de las cónicas ), que tienen alguna de las siguientes
formas:
El valor de la constante a ( el coeficiente de x2 ) es el que determina si la gráfica abre
hacia arriba o hacia abajo. Cuando a > 0 , la parábola abre hacia arriba. Sin embargo,
si a < 0, la parábola abre hacia abajo.
Estas gráficas tienen un punto máximo o mínimo dependiendo de si abren hacia abajo o
hacia arriba, respectivamente. Este punto recibe el nombre de vértice. La coordenada x
del vértice está dada por la siguiente expresión, que se justifica mas adelante:
b
Vx  
2a
Y la coordenada y se puede obtener sustituyendo en la función misma.
Ejemplo 1.
Sea f  x   x2  4x  3 .
Una representación tabular de esta función es la siguiente:
x
-1
0
1
2
3
4
5
f(x)
-8
-3
0
1
0
-3
-8
En este caso las constantes son: a = -1, b = 4, c = -3. Esta parábola abre hacia abajo
dado que a  1 ; su vértice es el punto máximo, cuya coordenada x es:
Vx  
b
4
4


2
2a
2  1 2
En la representación tabular vemos que a este valor de x le corresponde
f  2    2  4  2  3 
2
 4  8  3  1
Por lo que el vértice de la parábola es el punto ( 2, 1 ).
Al igual que en la recta, el término independiente indica el punto donde la parábola
intersecta al eje y. En esta función es el punto (0,-3).
La representación gráfica de esta función, obtenida de la tabla es:
El dominio de esta función es (  ,  ) y el contradominio es (  , 1] .
Como se puede ver en la figura, esta parábola cruza el eje x en dos puntos, esto es, tiene
dos raíces. Al igual que con la función lineal, para encontrar las raíces se resuelve la
ecuación f ( x)  0 :
f  x    x2  4x  3
0   x2  4 x  3
A diferencia de las funciones lineales, no se puede despejar directamente; por lo tanto, se
factoriza cuando es posible, o se utiliza la fórmula general comúnmente llamada
chicharronera:
x
En este caso:
b  b2  4ac
2a
x
4 
 4
2
 4  1 3
2  1



4  16  12 4  2 



2
2



4  2
1
2
4  2
3
2
Las raíces son
x = 1
y
x = 3 .
Note que
2
2
b  4ac  (4)  4(1)(3)  16  12  4  0 , conocido como discriminante, en este caso
es positivo.
Ejemplo 2.
Sea la función f  x   x2  16 , hallar sus raíces.
Hay por lo menos tres alternativas para obtener las raíces:
En un primer caso, se puede factorizar como f  x    x  4 x  4 . Para encontrar las
raíces se iguala a cero
 x  4 x  4  0
lo que se cumple sólo cuando x = 4 y x = -4.
Como en esta función la constante b = 0 , una segunda opción es despejar:
x 2  16  0
x 2  16
x   16  4
Finalmente, siempre se puede recurrir a la fórmula general:
x
0  02  4 1 16 
2 1

 64
 4 .
2
Ejemplo 3.
Sea
f  x   x2  6x  9 . Encontrar sus raíces y graficar.
Observe que x2  6 x  9 es un trinomio cuadrado perfecto, por lo que la función se
2
puede escribir f  x    x  3 .
Para encontrar las raíces igualamos a cero y resolvemos:
 x  3  0
 x  3 ( x  3)  0
2
Esto se cumple sólo cuando x  3 . Existe una sola raíz, que se repite; se dice que es
una raíz de multiplicidad 2.
Si calculamos el discriminante b2  4ac  (6)2  4(1)(9)  36  36  0 , notamos que, en
este caso es igual a cero.
Las coordenadas del vértice de la parábola son:
Vx 
6
 3
2 1
f  3   3  3  0
2
V   3, 0 
para trazar la gráfica se necesitan al menos dos puntos mas:
x
-4
-2
f(x)
1
1
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1 0
El dominio de esta función es (  ,  ) y el contradominio es [ 0,  ) .
Ejemplo 4.
Sea la función f  x    x2  4 , hallar las raíces y graficar.
Despejando directamente:
 x2  4  0
x 2  4
x   4
Se obtienen dos raíces imaginarias.
Si calculamos el discriminante b2  4ac  (0)2  4(1)(4)  16  0 , notamos que, en
este caso es negativo.
Las coordenadas del vértice son:
Vx  
0
0
2  1
f  0  02  4  4
la parábola abre hacia abajo, y dado que el vértice V( 0, -4 ) está abajo del eje x, la
gráfica no cruza este eje.
5
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
-5
-10
-15
Observe que, en este caso, la intersección con el eje y coincide con el vértice.
Ejemplo 5.
Sea f ( x)  x2  5 . Hallar las raíces.
Después de igualar a cero se puede despejar directamente
x2  5  0
x2  5
x 5
Recuerde que 5  2.236068... es un número irracional.
Las coordenadas del vértice son:
Vx  
0
0
2 1
f  0  02  5  5
Con estos tres puntos se puede trazar la gráfica.
RESUMEN
Forma general
Mayor
exponente de la
x
Función
constante
f ( x)  c
0
Función lineal
Función cuadrática
f ( x)  mx  b
f ( x)  ax2  bx  c
1
2
2 cruces, si b 2  4ac  0
(dos raíces reales)
Número de veces
que cruza el eje x
(raíces)
Número de veces
que cruza el eje y
: ordenada al
origen
Características
generales de la
gráfica
0
1
1, si m  0
1
1 cruce, si b 2  4ac  0
(una raíz real con multiplicidad)
0 cruces, si b 2  4ac  0
(dos raíces complejas)
1
Esto es requisito para que sea función. Si para un mismo valor de x
hay más de un valor de f(x), entonces, no es una función.
es una línea
horizontal
es creciente
cuando m  0
y
decreciente
cuando m  0
abre hacia arriba cuando a  0 y
hacia abajo cuando a  0
Como se puede observar en la tabla anterior, el número de raíces es igual al exponente
máximo de la x.