Geometría Analítica…..Unidad 2
Unidad 2 Lugares Geométricos en el Plano
2.1 Lugar Geométrico.
Definición: El conjunto de todos los puntos (x, y) en el plano cuyas coordenadas
satisfacen una propiedad, o condición geométrica, se conoce como lugar
geométrico.
Los dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica son:
 Dada una ecuación, hallar el lugar geométrico que representa.
 Dado el lugar geométrico, hallar su ecuación.
La grafica de una ecuación dada contiene todos los puntos, cuyas coordenadas
(x, y) satisfacen la ecuación dada. Estamos acostumbrados al uso de gráficos
para ver como están relacionadas dos cantidades entre si. Esta relación con
frecuencia se expresa en la forma de una ecuación, por lo que estudiaremos el
procedimiento para determinar la imagen geométrica asociada a una ecuación o
dicho en otras palabras su lugar geométrico.
Lugar Geométrico o Grafica de una ecuación
Consideremos la ecuación 3x + y = 7, para construir la grafica de esta ecuación
podemos construir tablas de valores para x e y, dando a x valores arbitrarios y
calculando los correspondientes valores de y, por lo que es conveniente escribir
la ecuación de la siguiente forma: y = 7 – 3x.
x
y = 7 – 3x
0
7
1
4
2
1
3
-2
4
-5
Así pues, (0, 7),(1, 4),(2, -1),(3, -2) y (4, -5) son todos puntos que satisfacen la
ecuación 3x + y = 0, si seguimos evaluando mas puntos obtendremos una
cantidad infinita, los cuales todos satisfacen la ecuación, a este conjunto de
puntos es l que denominamos grafica de la ecuación o el lugar geométrico de la
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misma. Esta procedimiento es lo que llamaremos una representación de una
grafica por puntos, el cual lo podemos resumir así:
1. Construir una tabla con varios puntos que satisfacen la ecuación.
2. Situar estos puntos en el plano.
3. Unir los puntos mediante una curva regular.
Si contamos con pocos puntos difícilmente podríamos representar bien la grafica
de una ecuación, y establecer con exactitud cuantos puntos se requieren para
representar bien una grafica es difícil de decir, para evitar errores es conveniente
conocer algunas propiedades del lugar geométrico en cuestión como por
ejemplo: intersección con los ejes, simetrías, campo de variación de las
variables y asintotas.
Intersección con los ejes: son los puntos en los cuales la grafica corta los ejes de
coordenadas. De hecho es posible que una grafica no tenga intersecciones o
tenga varias.
Calculo de las intersecciones:
Para hallar la intersección con el eje x se hace y = 0 en la ecuación
dada y se despeja la variables x.
Para hallar la intersección con el eje y se hace x = 0 en la ecuación
y se despeja la variable x.
Por ejemplo: y2 + 2x = 16 para y = 0, queda 2x = 16, x = 8; para
x = 0, queda y2 = 16, y = ± 4. Siendo los puntos de intersección
(8, 0) eje x, y (0, 4), (0, -4) para el eje y.
Simetrías: se dice que una grafica es simétrica con respecto a un eje si la grafica
que esta a la izquierda del eje coincide con grafica a la derecha del eje, el caso
del eje y, la simetría con respecto al eje x se puede describir de forma análoga.
Definición de las simetrías:
Una grafica se dice que es simétrica con respecto al eje y si al
sustituir en la ecuación de la grafica x por -x, su grafica o lugar es
simétrica con respecto al eje y.
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Una grafica se dice que es simétrica con respecto al eje x si al
sustituir y por –y, su grafica o lugar es simétrica con respecto al
eje x.
Una grafica se dice que es simétrica con respecto a su origen si al
sustituir x por –x e y por –y, su grafica o lugar es simétrica con
respecto al origen.
Apliquemos esta definición de simetría a la grafica de la ecuación
y = x2 – 2. Sustituyendo x por –x obtenemos y = (-x)2 – 2 o sea
que y = x2 – 2. Ya que esta sustitución no cambia la ecuación, si
(x, y) es un punto que satisface la ecuación, (-x, y) ha de ser
también un punto que la satisface, por consiguiente la grafica de
y = x2 – 2 es simétrica con respecto al eje y.
Pruebe que la grafica de la ecuación y2 - 4x – 7 = 0 es simétrica
con respecto a x.
Probar que la grafica y = 2x3 – x es simétrica respecto al origen, al
sustituir x por –x e y por –y resulta -y = 2(-x)3 – (-x), -y = -2x3 + x,
multiplicando ambos miembros de la ecuación por -1 tenemos:
y = 2x3 – x que es la ecuación original, por lo que la grafica de la
ecuación y = 2x3 – x ha de ser por tanto simétrica respecto al
origen. Vea la grafica a continuación:
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Campo de variación: consiste en determinar los intervalos para los cuales los
valores de x e y son valores reales. Por ejemplo se la ecuación y = x , si x es
menor que cero, es negativo e y es imaginario, por tanto no se deben considerar
los valore de x menores que cero y en consecuencia la grafica de la ecuación
estará situada toda a la derecha de la recta x = 0, despejamos x en la ecuación,
x = y2, vemos que x es real para todos los valores de y, la curva del lugar se
extiende hasta el infinito. Hay dos razones por las cuales debemos determinar
los campos de variación:
1. Da la localización general de la curva en el plano coordenado.
2. Indica si la curva es cerrada o si se extiende hasta el infinito.
Asintotas: es una recta que se aproxima infinitamente a una curva a medida que
la curva se aleja del origen de coordenadas, otra forma de definirla seria, si
existe una recta tal que un punto P de la curva se aleja del origen del sistema de
coordenada al infinito la distancia de ese punto a la recta decrece continuamente
sin tocarla, esta recta se llama asintota. Se clasifican en:
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Determinación de la asintota vertical
x2  x  5
Sea la ecuación y 
, se iguala a cero la
ecuación:
x2 1
y(x2 - 1) - x2 - x + 5 = 0 Se selecciona el coeficiente de la mayor
potencia de y, en nuestro caso x2 - 1 y se factoriza, (x + 1)(x – 1)
las asintotas serán x = 1 y x = -1.
Determinación de la asintota vertical
x 2  5x  3
Sea la ecuación y  2
: se iguala la ecuación a cero:
x  2x  3
x2y + 2xy - 3y - x2 + 5x - 3 = 0, se agrupan los términos en x y se
selecciona el coeficiente de la mayor potencia de x, en nuestro
caso x2(y - 1) +... = 0 y se factoriza, la asintota será y = 1.
Determinación de la asintota oblicua
2x 2
Sea la ecuación y 
: se sustituye y por mx + n se agrupan los
x 1
términos en x y se cogen los coeficientes de las dos mayores
potencias de x, en nuestro caso m - 2 y n – m, se resuelve el
sistema formado por las dos ecuaciones anteriores. La asintota
sería y = 2X - 2.
Una grafica pude tener o no una o mas asintotas, pero su determinación será de
gran ayuda en la construcción de una grafica.
Pasos para hacer la gráfica de una función
1. Encontrar los puntos de intersección de la curva con los ejes (si los hay).
2. Determinar la simetría de la curva con respecto a los ejes y el origen.
3. Encontrar el campo de variación de la curva.
4. Determinar las ecuaciones de las asintotas.
5. Determinar las coordenadas de una serie de puntos
6. Hacer la grafica.
Ejemplos 1. Hacer la grafica usando los métodos aplicados en esta sección,
determinando intersecciones, campo de variación, posibles simetría y asintotas
de la ecuación: y2 - x3 = 0
a) Intersecciones con los ejes: despejamos y, y   x 3 , despejamos x,
x = 3 y 2 , para x = 0, y = 0, para y = 0, x = 0, concluimos que el único
punto de intersección con los coordenados es el origen.
b) Simetría: si en x =
3
y2
sustituimos y por – y la ecuación no se altera por
lo tanto la curva es simétrica con respecto al eje x, si en y   x 3
sustituimos x por –x la ecuación cambia, lo cual implica que la curva no es
simétrica con respecto al eje y. si en y2 - x3 = 0 sustituimos x e y por –x y
–y respectivamente, la ecuación cambia, por lo que la curva no es
simétrica con respecto al origen.
c) Campo de variación: y   x 3 para valores de x menores que cero la
raíz cuadrada no existe en el campo de los números reales, por lo que la
curva no tiene trazos a la izquierda de eje y, solo a la derecha de este se
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traza la curva. Para x = 3 y 2 y puede tomar tanto valores positivos como
negativos por lo que la curva se extiende por arriba y por debajo del eje x,
indefinidamente, conclusión la curva no es cerrada.
d) Asintotas: no tiene.
2. Analicemos la ecuación y(1 – x) - 2 – x = 0
a) Intersecciones con los ejes: despejamos y, y 
2 x
, despejamos x,
1 x
y2
, para x = 0, y = 2, cuando x = 0 la curva corta al eje y en la
y 1
ordenada 2, para y = 0, x = -2, x, cuando y = 0 la curva corta al eje x en la
abcisa -2.
b) Simetrías: si remplazamos x por –x la ecuación cambia, por lo tanto la
grafica no es simétrica con respecto al eje y, si remplazamos y por –y, la
ecuación cambia, por lo tanto la grafica no es simétrica con respecto a x,
si cambiamos x e y por –x y –y en y(1 – x) - 2 – x = 0, la curva cambia, por
lo tanto no hay simetría con respecto al origen.
c) Campo de variación: para x = 1, y no esta definida, para cualquier valor
de x  1 y esta definida, para y = -1, x no esta definida, para cualquier
valor de y  1 , x esta definida.
d) Asintotas: la grafica tiene un asintota vertical en x = 1 y una asintota
horizontal en y = -1.
x
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Ecuación de un lugar geométrico
Una de las ideas centrales de la geometría analítica es que dado un lugar
geométrico o una curva, sus propiedades pueden deducirse en forma algebraica
o analítica a partir de su ecuación f (x, y) = 0, si un punto P de coordenadas
(x, y) pertenece al lugar geométrico es porque satisface la condición o
condiciones dadas, se debe expresar la condición o condiciones mediante una
ecuación en términos de x e y.
Ejemplo
3. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos equidistantes de A(-2, 3)
y B(3, -1).
Solución: un punto P cualquiera del lugar geométrico debe satisfacer la
condición geométrica de que PA  PB es decir:
(2  x) 2  (3  y ) 2  (3  x) 2  (1  y ) 2
elevando al cuadrado ambos
miembros y simplificando nos queda que 10x – 8y = 0 que es la ecuación de la
mediatriz del segmento que une los dos puntos dados.
4. Determine el lugar geométrico de los puntos P(x, y) cuya distancia al punto
A(7,1)es dos veces su distancia al punto B(1, 4).
Solución: de acuerdo a la condición geométrica establecida ( PB) 2  2( PA) 2 de
donde: ( PA) 2  (7  x) 2  (1  y) 2 y ( PB) 2  (1  x) 2  (4  y) 2 sustituyendo en la
condición geométrica queda: (7  x) 2  (1  y) 2  2((1  x) 2  (4  y) 2 ) simplificando
obtenemos la ecuación del lugar: x2 + 10x + y2 – 14x – 16 = 0 donde esta
ecuación esta en la forma de la ecuación general de la circunferencia:
x2 + y2 +Dx + Ey + F = 0
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