Tema 4 - Gobierno de Canarias

IES Saulo Torón
Departamento de Matemáticas
Matemáticas Especiales
Progresiones aritméticas y geométricas
Tema 4. Progresiones Aritméticas y
geométricas
Un caso particular de las sucesiones, muy estudiadas por sus múltiples aplicaciones en
distintos campos, son las progresiones aritméticas y las progresiones geométricas.
Progresión aritmética es una sucesión en la que cada término (excepto el primero) se obtiene
sumando al anterior una cantidad fija llamada diferencia.
𝒂𝟐 = 𝒂𝟏 + 𝒅
𝒂𝟑 = 𝒂𝟐 + 𝒅
𝒂𝟒 = 𝒂𝟑 + 𝒅
.........
𝒂𝒏 = 𝒂𝒏−𝟏 + 𝒅
𝑆𝑖 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 "𝑑" 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝑑 = 𝑎2 − 𝑎1 = 𝑎3 − 𝑎2 = 𝑎4 − 𝑎3 = . . . = 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1
𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑢𝑛𝑐𝑖𝑎𝑟 𝑎𝑠í:
𝑼𝒏𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒈𝒓𝒆𝒔𝒊ó𝒏 𝒂𝒓𝒊𝒕𝒎é𝒕𝒊𝒄𝒂 𝒔𝒆 𝒄𝒂𝒓𝒂𝒄𝒕𝒆𝒓𝒊𝒛𝒂
𝒑𝒐𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐
𝒚 𝒆𝒍 𝒂𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
Ejemplos:
{3, 7, 11, 15, 19 … } es una progresión aritmétrica de diferencia 4 porque 7 − 3 = 11 − 7 = ⋯ = 4
{3, 0, −3, −6, −9 … }es una progresión aritmétrica de diferencia
3 5
{1, , 2, , 3, … } es una progresión aritmétrica de diferencia
2 2
porque
porque
Ejercicios:
1.
Escribir una P. A. de diferencia 3; otras con diferencias d = – 2, d = – 3/2, d = x.
2.
Calcular el valor de “a” para que los números 4, 9, a + 5 estén en progresión aritmética.
Sol: a = 9
3.
Idem. los números – 2, a + 7, 18. Sol: a = 1
4.
Idem. X – 3, 5x, 1 – x. Sol: x = – 0,2
Término general:
Fíjate cómo se forman los términos de una P. A.
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Progresiones aritméticas y geométricas
𝑎2 = 𝑎1 + 𝑑
𝑎3 = 𝑎2 + 𝑑 = 𝑎1 + 𝑑 + 𝑑 = 𝑎1 + 2𝑑
𝑎4 = 𝑎3 + 𝑑 = 𝑎1 + 2𝑑 + 𝑑 = 𝑎1 + 3𝑑
𝑎5 = 𝑎4 + 𝑑 = 𝑎1 + 3𝑑 + 𝑑 = 𝑎1 + 4𝑑
.........
𝑎10 = 𝑎1 + 9𝑑
.........
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑
𝐸𝑙 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎
𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑠
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + (𝒏 − 𝟏)𝒅
𝐷𝑒 𝑙𝑎 𝑓ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑠𝑒
𝑑𝑒𝑑𝑢𝑐𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠:
𝒂𝟏 = 𝒂𝒏 − (𝒏 − 𝟏)𝒅
𝒂𝒏 − 𝒂𝟏
𝒅=
𝒏−𝟏
Ejemplos:
Calcular el T.G. de la sucesión {3, 5, 7, 9,
La sucesión {3, 5, 7, 9,
} y hallar a20 .
} es una Progresión aritmética de diferencia 2 ya que 5 – 3 = 7 – 5 = 9 – 7 = 2.
Su término general será 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑 = 3 + (𝑛 − 1) · 2 = 3 + 2𝑛 − 2 = 𝟐𝒏 + 𝟏
Por lo tanto, 𝑎20 = 2 · 20 + 1 = 𝟒𝟏
También podíamos haber hallado directamente a20 sin hallar el término general:
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑
→
𝑎20 = 𝑎1 + (20 − 1)𝑑 = 3 + 19 · 2 = 𝟒𝟏
Ejercicios:
5. ¿Cuál es el T.G. de la progresión 21, 17, 13, 9, . . . ? Sol: an = – 4n + 25
6. ¿Es una P.A. la sucesión {3⁄2 , 4⁄3 , 7⁄6 , 1, . . . }?. En caso afirmativo, obtener 𝑎18 𝑦 𝑎25 .
Sol: Es una P.A. con d = -1/6 an = (-1/6) n + 5/3 a18 = -4/3 a25 = -5/2
7. ¿Hay algún término de la sucesión anterior que valga 3? ¿Qué lugar ocupa?
Sol: No (sería n = -8, que no es natural)
8. Hallar el noveno término de la progresión aritmética : (7, 10, 13,..............). Sol: a9 = 31
9. Calcular el 21° término de la P.A. (-3/5, -14/15,...............). Sol: a21 = -109/15
10. Determinar el término general de la progresión aritmética : (6, 9,..........). Sol: an = 3n+3
11. Hallar el 39° término de la P.A. (-3, -5/4,..............). Sol: a39 = 127/2
12. Encontrar el término general de la P.A. (x - 1, x,...........). Sol: an = n+x-2
13. El 15° término de una P.A. es 20 y la diferencia es 2. Hallar el primer término y el décimo.
Sol: a1 = -8
a10 = 10
14. El vigésimo término de una P.A. de diferencia ½ es 12. Hallar a1 y a15
Sol: a1 = 5/2 a15= 19/2
15. Calcular la diferencia de una P.A. (3,........., 8,.....) donde 8 es el sexto término. Sol: d = 1
16. Determinar el 1er término de la P.A. en que el 15° término es 44 y la diferencia es 3. Sol: a1 = 2
17. En una P.A. a1 = 5 y d = 9. Determinar el orden del término igual a 239. Sol: n = 27
18. Cuántos términos tiene la P.A. (4, 6,............., 30). Sol: n = 14
19. El tercer término de una P. A. es 3 y el 15º, 63. Calcular la diferencia. Sol: d = 5
20. El 5º término de una P.A. es 7 y el 7º término es 25/3. Hallar la diferencia. Sol: d = 2/3
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Progresiones aritméticas y geométricas
Suma de los n primeros términos de una progresión aritmética:
La suma de los términos de una P.A. comprendidos entre a1 y an es:
𝑺𝒏 =
𝒂𝟏 + 𝒂𝒏
·𝒏
𝟐
Ejemplo:
Calcular la suma de los 20 primeros términos de la sucesión 2, 7, 12, 17,
 Se trata de una progresión aritmética de diferencia 5 ya que 7 – 2 = 12 – 7 = .. = 5
 Para hallar la suma necesitamos a1 (lo tenemos) y a20 (que hay que calcular)
a20 = a1 + 19 · d = 2 + 19 · 5 = 97.
𝑎1 = 2
𝑎20 = 97}
𝑛 = 20
𝑺𝟐𝟎 =
𝟐 + 𝟗𝟕
· 𝟐𝟎 = 𝟗𝟗𝟎
𝟐
Ejercicios:
21. Hallar la suma de los veinte primeros múltiplos de 3. Sol: 630
22. Hallar la suma de los 100 primeros números pares. Sol: 10.100
23. Hallar la suma de los 100 primeros números impares mayores que 7. Sol: 10.600
24. Hallar la suma de los 8 primeros términos de la P.A. (15, 19, 23,...........). Sol: 232
25. Hallar la suma de los doce primeros términos de la P. A. : (0,2; 0,7; 1,2;...........) Sol: 35,4
26. ¿Cuántos múltiplos de 5 existen entre el 18 y el 193?. ¿Cuánto suman? Sol: 35 términos,
que suman 3.675
27. Hallar la suma de todos los múltiplos de 4 comprendidos entre 114 y 373 Sol: 15.860
28. Hallar la suma de los impares del 51 al 813. Sol: 165.024
29. La suma de 3 números que están en P.A. es 21 y el producto de los mismos es 231.
Calcular esos números. Sol: 3, 7 y 11
30. Construir el primer metro de un pozo cuesta 800€ y cada metro adicional cuesta 50€ más
que el anterior. Si hemos encontrado agua a los 50 metros,
a) ¿Cuánto costó el último metro? Sol: 3.250€
b) ¿Cuál fue el precio de la obra completa? Sol: 101.250€
c) ¿Cuánta profundidad tiene un pozo si hemos gastado en construirlo 71.000€? Sol: 40m
Progresión geométrica es una sucesión en la que cada término (excepto el primero) se
obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija llamada razón.
𝒂𝟐 = 𝒂𝟏 · 𝒓
𝒂𝟑 = 𝒂𝟐 · 𝒓
𝒂𝟒 = 𝒂𝟑 · 𝒓
.........
𝒂𝒏 = 𝒂𝒏−𝟏 · 𝒓
𝑆𝑖 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 "𝑟" 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝑎2 𝑎3 𝑎4
𝑎𝑛
𝑟=
=
=
=... =
𝑎1 𝑎2 𝑎3
𝑎𝑛−1
𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑢𝑛𝑐𝑖𝑎𝑟 𝑎𝑠í:
𝑼𝒏𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒈𝒓𝒆𝒔𝒊ó𝒏 𝒈𝒆𝒐𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂 𝒔𝒆 𝒄𝒂𝒓𝒂𝒄𝒕𝒆𝒓𝒊𝒛𝒂
𝒑𝒐𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐
𝒚 𝒆𝒍 𝒂𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
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Progresiones aritméticas y geométricas
Ejemplos:
{3, 6, 12, 24, 48 … } es una progresión geométrica de razón 2 porque 6/3 = 12/6 = 24/12 =. . = 2
{2, −4, 8, −16, 32, … }es una progresión geométrica de razón
1 1
{8, 4, 2,1, , , … } es una progresión geométrica de razón
2 4
porque
porque
Ejercicios:
31.
Escribir los cinco primeros términos de una P.G. en la que a1 = 4 y r = 3/2.
Sol: 4, 6, 9, 27/2, 81/4
32.
Idem. siendo a1 = 2 y r = – 3. Sol: 2, -6, 18, -54, 162
33.
Idem. siendo a1 = 27 y r = 1/3. Sol: 27, 9, 3, 1, 1/3
34.
Escribe una P:G: con r = 2; otras, con r = – 2, r = ½ y r = x.
35.
Calcular el valor de “a” para que los números 3, 12, 5a estén en P.G. Sol: a = 144/15
36.
Idem. los números 2, x, 50. Sol: x = 10, x = -10
Término general:
Fíjate cómo se forman los términos de una P. G.
𝑎2 = 𝑎1 · 𝑟
𝑎3 = 𝑎2 · 𝑟 = 𝑎1 · 𝑟 · 𝑟 = 𝑎1 · 𝑟 2
𝑎4 = 𝑎3 · 𝑟 = 𝑎1 · 2𝑟 · 𝑟 = 𝑎1 · 𝑟 3
𝑎5 = 𝑎4 · 𝑟 = 𝑎1 · 3𝑟 · 𝑟 = 𝑎1 · 𝑟 4
.........
𝑎10 = 𝑎1 · 𝑟 9
.........
𝑎𝑛 = 𝑎1 · 𝑟 𝑛−1
𝐸𝑙 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎
𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑠
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 · 𝒓𝒏−𝟏
𝐷𝑒 𝑙𝑎 𝑓ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑠𝑒
𝑑𝑒𝑑𝑢𝑐𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠:
𝒂𝟏 =
𝒂𝒏
𝒓𝒏−𝟏 𝒏
𝒓=
𝒂𝒏
√
𝒂𝟏
𝒏−𝟏
Ejemplo:
Encontrar el término general y 𝑎9 en la progresión geométrica 𝑎𝑛 = {2, 8,32. . . . . . . . . . }
Se trata de una P. G. cuyo primer término es 2 y cuya razón es 4.
𝑎𝑛 = 𝑎1 · 𝑟 𝑛−1 = 2 · 4𝑛−1
𝑎9 = 2 · 48 = 131072
Ejercicios:
37. Determinar el término general de la progresión geométrica : (5, 25, 125,........) Sol: 5n
38. Calcular séptimo término de la P.G. (1/32, 1/16, 1/8,................). Sol:
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Progresiones aritméticas y geométricas
39. Hallar el décimo término de una P.G. (-3/4, -1/4, -1/12,...........). Sol:
−𝟑
𝟏 𝟗
·
(
)
𝟒
𝟑
40. Hallar el 11° término de una P.G. (-8, -4, -2,..............). Sol: -8 · 210 = - 1/128
41. Determinar el 15° término de la progresión geométrica : (2, 6,..............). Sol: 2 · 314
42. Hallar el primer término de una P.G. de razón 2 si el décimo término es igual a 1.536. Sol: 3
43. El noveno término de una P.G. es 64/2.187 y su razón es 2/3. Hallar a1. Sol: 3/4
44. El cuarto término de una P.G. es 1/4 y el séptimo es 1/32. Hallar a6. Sol: 1/16
45. El tercer término de una P.G. es 28 y el quinto, 112. Formar la progresión.
Sol: 7, 14, 28, 56, 112
46. En una P.G. a1 = 3 y la razón es 4. Determinar el orden del término igual a 768. Sol: n = 5
47. La razón de una progresión geométrica de 5 términos es 4 y el último término es 1.280.
¿Cuál es el primer término de dicha progresión? Sol: 5
48. Hallar el número de términos de la P.G. (4, 8,................., 512). Sol: n = 8
49. En una P.G. de razón - 5 el primer término es 25 y el último es -3.125. Determinar el
número de términos. Sol: n = 4
Suma de los n primeros términos de una progresión geométrica:
La suma de los términos de una P.G. comprendidos entre a1 y an es:
𝑆𝑛 =
𝑎𝑛 · 𝑟 − 𝑎1
𝑟−1
𝑜 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛
𝑺𝒏 =
𝒂𝟏 · (𝒓𝒏 − 𝟏)
𝒓−𝟏
Ejemplo:
Calcular la suma de los 10 primeros términos de la sucesión 3, 6, 12, 24,. . .
 Se trata de una progresión geométrica de razón 2 ya que 6/3 = 12/6 = 24/12 = 2
 Para hallar la suma, emplearemos la segunda fórmula (porque para emplear la primera
tendríamos que calcular a10 y con la segunda basta con a1, r y n.
𝑺𝒏 =
Ejercicios:
𝒂𝟏 · (𝒓𝒏 − 𝟏) 𝟑 · (𝟐𝟏𝟎 − 𝟏)
=
= 𝟑. 𝟎𝟔𝟗
𝒓−𝟏
𝟐−𝟏
50. Hallar la suma de los 5 primeros términos de la P.G. (6, 3, 3/2,..........). Sol: 93/8
51. Calcular la suma de los 9 primeros términos de la P.G. (2, 6, 18,........). Sol: 19.682
52. Hallar la suma de los 7 primeros términos de la P.G. (-1/10, 1/5, -2/5,....). Sol: -43/10
53. Calcular la suma de los primeros 8 términos de la P.G. (1, 1/2, 1/4,........). Sol: 255/128
54. Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica: (3, 9,.....,2.187). Sol: 3.279
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Progresiones aritméticas y geométricas
55. En una progresión geométrica, la suma de los términos es 510. Sabiendo que el último
término es 256 y la razón es 2, Calcular el primer término. Sol: 2
56. El primer término de una P.G. es 375 y el cuarto, 192. Calcular la razón y la suma de los
cuatro primeros términos. Sol: r = 4/5 S = 1.107
Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica decreciente:
Las progresiones geométricas de términos positivos cuya razón es positiva pero menor que 1,
son decrecientes y verifican que sus términos, al avanzar en la progresión, tienden a 0. Por
esa razón la fórmula de la suma de sus infinitos términos se simplifica y tenemos:
𝑺∞ =
𝒂𝟏
𝟏−𝒓
Ejemplo:
1. Hallar la suma de todos los términos de la sucesión 4, 2, 1, ½, ¼, 1/8, . . .
Se trata de una P. G. de razón 1/2 (compruébalo) cuyos términos tienden a 0. La suma de sus
infinitos términos será:
𝑺∞ =
𝑎1
4
4
=
= =𝟖
1
1
1−𝑟 1−
2 2
2. En un cuadrado de lado 2m inscribimos otro cuadrado uniendo los puntos medios de los
lados. En este segundo cuadrado inscribimos un tercero por el mismo procedimiento, y así
sucesivamente.
a) Comprobar que los perímetros de todos estos cuadrados forman una progresión
geométrica decreciente y hallar la suma de todos ellos.
b) Comprobar que las áreas de todos estos cuadrados forman una progresión
geométrica decreciente y hallar la suma de todas ellas.
a) Vamos a hallar las medidas de los lados y los
perímetros:
𝑙1 = 2 𝑚
→ 𝑃1 = 4 · 2 = 8 𝑚
𝑙2 = √12 + 12 = √2 𝑚 →
√2
2
√2
2
𝑃2 = 4√2 𝑚
𝑙3 = √( 2 ) + ( 2 ) = 1𝑚 →
𝑃3 = 4 𝑚
. . . . . . . . . .
Vamos a comprobar que se trata de una P. G.:
𝑃2 4√2 √2
=
=
𝑃1
8
2
𝑃3
4
1
√2
=
=
=
𝑃2 4√2 √2
2
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Progresiones aritméticas y geométricas
Se trata de una P.G. decreciente cuyo primer término es P1 = 8 m y cuya razón es 𝒓 = √𝟐⁄𝟐
La suma de todos los perímetros será:
𝑃1
𝑺∞ =
=
1−𝑟
8
√2
1− 2
= 𝟏𝟔 + 𝟖√𝟐 𝒎
b) Vamos a hallar las áreas de los cuadrados:
𝐴1 = (𝑙1 )2 = 22 = 4𝑚2
2
𝐴2 = (𝑙2 )2 = (√2) = 2𝑚2
𝐴3 = (𝑙3 )2 = 12 = 1𝑚2
Es evidente que cada área es la mitad de la anterior por lo que se trata de una P.G.
decreciente cuyo primer término es A1 = 4m2 y cuya razón es 𝒓 = 𝟏⁄𝟐
La suma de todas las áreas será:
𝑺∞ =
𝐴1
4
=
= 𝟖𝒎𝟐
1−𝑟 1−1
2
Ejercicio:
En un triángulo equilátero cuya área mide 4m2 se inscribe otro triángulo equilátero uniendo
los puntos medios de cada lado. En este segundo triángulo se inscribe un tercero por el mismo
procedimiento y así sucesivamente. Calcular la suma de las áreas de todos estos triángulos.
Sol: S = 16/3