Continuidad, Derivabilidad. 2º BACH CT

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Repaso Cálculo Diferencial

eax ......... si... x  0
1- Hallar el valor de a para que la función f ( x)  
sea continua en todo su

 x  2a.... si... x  0
dominio.
2- Estudiar continuidad y discontinuidad de f ( x)  2 x 
x
x
.
3- Hallar un intervalo donde la ecuación e x   x  1 tenga solución. Demostrar que en dicho
intervalo la ecuación tiene solución.
4- Estudiar continuidad y discontinuidad de f ( x) 
x2  9
x 2  3x
 x.e x 2 .......... ..si... x  0

5- Determinar a y b para que f ( x)  ax  b.......... .si... 0  x  1 , sea continua en todo R.
1  x ln x....... si... x  1

6- Enunciar el teorema de Bolzano. Comprobar si la ecuación x = x.senx + cosx tiene solución en
  ,  .
7- Estudiar continuidad y discontinuidad de la función f(x)= 2x+ x  1 .
8- Estudiar continuidad y discontinuidad de función f ( x ) 
ln( x  1 )
. Qué tipo de discontinuidad
x
presenta en x=0 y en x=-1
9- Se puede afirmar que la función f(x) = x3-3x2+5 toma el valor
2 en el intervalo [1,2]

 x 2 1.......... ........ si... x  a
10- Dada la función f(x)= 
. Estudiar si existe algún valor de a para que la

2ax  2a  1..... si... x  a
función sea continua. ¿Es derivable en x=a?
11- Demostrar si la función f(x)=x3+x2-5x-2 tiene al menos una raíz en (1,2).
12- Demostrar si f(x)= x+senx-1 tiene raiz en R

ln x  1.......... .... si... x  1
13- Determinar el valor de a y b para que f(x)=  2
sea continua en todo R.

2x  ax  b..... si... x  1
2

x  mx  5.......... si... x  0
14- Dada la función f(x)= 
, hallar el valor de m y n para que la función
2

 x  n.......... ..... si... x  0
sea continua y derivable en x=0
ln(x  1)......... ... si... x  2
15- Estudiar si f (x)  
es continua y derivable en x=2
3x  6.......... ....... si... x  2
16- Estudiar la derivabilidad de f(x)=|x-2| en x=2
17- Estudiar la derivabilidad vde f8x)=x+|x-3| en x=3
18- Hallar EL valor de los parámetros a y b de modo que la función f(x) sea continua
a(x  1)2 ....... si... x  0

f (x)  sen(b  x)....si... 0  x  

 x .......... .... si... x  
 senx
..... si... x  0

19- Estudiar la continuidad de la función f ( x)   x
1.......... .si... x  0

20- Probar que las ecuaciones cosx=2x-1,
 x  e , tienen al menos una raíz real.
21- Estudiar la continuidad y derivabilidad de las funciones
a) f ( x)  x 2 
x
x
b) f ( x ) 
1
x. ln x
c) f ( x) 
e x 1  1
x 1
22- Dada la función f ( x)  x  2 x x , estudiar su continuidad y derivabilidad. Hallar la ecuación de
la recta tangente a la gráfica en el punto x=0.
23- Calcula el valor de las constantes c y d sabiendo que la gráfica de la función
f ( x)  2 x 3  x 2  cx  d tiene como recta tangente en el punto P=(1,-2) a la recta y=5x-7
2

x  4 x  a..... si... x  2
24- Hallar el valor de a y b para que la función f (x)  
para que la función
2

 x  bx........ si... x  2
sea derivable.
25- Hallar una función polinómica de grado 3 sabiendo que la derivada primera y segunda se
anulan en x=1, y que en el punto (0,1) de su gráfica la recta tangente tiene pendiente 3.
26- Una empresa tuene que construir un depósito para que pueda contener 10000 m 3 de
combustible. La forma del depósito debe ser la de un cilindro en la que se han sustituido las
bases por dos semiesferas. Se quiere pintar el exterior del depósito. Hallar las dimensiones del
depósito para que el gasto de pintura sea mínimo.
27- Dada la función y  1  2x  2x 2 , hallar un punto de dicha curva cuya distania al punto
P=(7,0) sea la más corta.
28- Hallar un punto de la curva
y  x.e  x en el que la pendiente de la recta tangente sea máxima.
2
29- Hallar un punto de la parábola
y  x 2 que esté a mínima distancia de la recta x+y+4=0.


30- ¿Es posible aplicar el teorema de Rolle a la función f ( x)  ln 1  x 2 en el intervalo [-1,1]?. ¿Y a
la función f (x) 
x
x 1
2
en el mismo intervalo?.
31- Comprobar si la función f ( x)  x  3 verifica el teorema e Rolle en [1,5].
ax2  bx  1.... si... x  1

32- Determinar las constantes a, b y c para que la función f (x)   x 2
verifique
.......... .... si... x  1

x 2
las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0,c], con c>1. Hallar también el punto o
puntos que garantiza dicho teorema.
33- Comprobar que la ecuación x3+6x2+15x-23=0 no puede tener más de una raíz real.
34- Probar que la ecuación 2
x
 x  0 tiene una única raíz en [0,1].
35- Hallar el valor aproximado de:
1
999
106
5
33
36- Hallar los siguientes límites:
a) lim x 0
e) lim x0
x
senx
c) lim x 0
(e x  1).senx
x3  x2
 1

h) lim 
.ln x 
x 1  x  1

e x  e x
x2
d) lim x0 (1  cos x).cotgx
2
1
. ln x
x 1
f) lim x 1
g) lim x 0
2
ex 1
i) lim
x  0 cos x  1
j) lim x 
e x 1
cos x  1
ln x 2
x
x
b) f (x)  2.e x  e 2 x
ln x
38- Definición de continuidad y derivabilidad de una función f(x) en un punto x=a
37- Representar las siguientes funciones a) f (x) 
39- Estudiar continuidad y discontinuidad de la función f (x)  2 x
40- Estudiar continuidad y derivabilidad de f (x) 
x
x
2
x2  x
en x=-1
x 1
41- Hallar la recta tangente a la función f (x)  e x (x  3) que sea paralela al eje OX
42- Dada la función f(x) = ax3+bx, determinar a y b para que la recta pase por el (1,1) y la recta
tangente en dicho punto tenga de pendiente mtg= -3.
43- Dada la función
h( x)  e sen  f ( x )  , hallar h’(0) sabiendo que f(0)=0, f’(0)=1.
44- Dada la función f (x)  x. 1 
1
, hallar f’(1) y f’(-1)
x
bx

(x  a).e ......... si... x  0
45- Dada la función f (x)  
, hallar a y b para que dicha función sea
2

ax  bx  1....... si.... x  0
continua y derivable en x=0.
46- Demostrar que la ecuación x.lnx = 0 tiene raíz en [0’5,2]
x
47- Representar gráficamente la función f ( x)  2
x x4
48- Dada la función f ( x)  e ax  b , hallar a y b sabiendo que la recta pasa por el punto P=(0,-1) y
en dicho punto presenta recta tangente 3x-y-1=0.
49- Dada la función f(x)= -3x2+5x-1, hallar los puntos de ella donde la recta tangente sea paralela a
la recta 7x+y-2=0.
50- Hallar la recta tangente a la función f ( x ) 
ln x
en el punto P=(1,e).
x
51- Aprovechando una pared, se quiere construir un recinto rectangular donde uno de sus lados
será la pared. Si tenemos 500 m de tela metálica, hallar las dimensiones del rectángulo de
mayor área.
52- Dada la función f(x)= 2x 2  1 , hallar:
a) La recta tangente a dicha función en el punto de abscisa x=2
b) Un punto de dicha función donde la recta tangente a ella sea paralela al eje OX
53- Obtener la representación gráfica de f(x) = x3 + 3x2
54- Hallar el área del recinto comprendido entre la función anterior, el eje OX y las rectas x=-1, x=1.
55- Resolver las siguientes integrales:a)
 2x  2.cos xdx

3x 2  7 x  1
cos x
dx c) x 2 x 2  1dx d)
dx b)
senx
x


e) x. ln(2x )dx f)


cos(4x  3)
dx
5
56- Dada la función f(x) = x3+ax2+bx+c, hallar a, b y c de forma que la función pase por el punto (0,1), en x= -1 presenta un máximo y en x=2 presenta un punto de inflexión.
57- Calcular el área limitada por las funciones y  x 2  1 , y   x 2  1
58- Resuelve los siguientes apartados:
a)
Hallar una función primitiva de f(x) =
1
que se anule en x=3.
x2
b) Hallar una función f(x) sabiendo que f ´(x)=3x y que pasa por el punto (0,1)
59- Representar gráficamente la función f ( x ) 
x2
x2  4
60- Hallar la ecuación de la recta tangente a la función f ( x ) 
x 1
ex
en el punto de abscisa x=0.
61- Dada la curva y=x3+ax+b, hallar a, y b sabiendo la recta tangente a ella en el punto (0,0) tiene de
pendiente m=1
62- Obtener la función derivada de f ( x )  x , utilizando la definición de función derivada.
63- Hallar una función primitiva de f ( x )  x.e x tal que se anule en x=1.
64- Representar gráficamente la función f ( x ) 
1
x 4
2
65- Hallar el área del recinto encerrado por las funciones y=4-x2 , y=x2
66- Hallar a, b y c para que la curva Y=x3+ax2+bx+c tenga un mínimo en (1,1) y la recta tangente a la
curva en el punto de abscisa x=0 es el eje OX.
67- Dada la función y=x2+x, hallar un punto de dicha función tal que la tangente a ella en ese punto
sea perpendicular a la recta x+y+1=0. Hallar dicha recta tangente.
2x  1 

68- Obtener las siguientes integrales:  x 3 
dx
3x 



x 3 . ln xdx
 x.e
x dx
2

2
0
1
x 1
dx
x 1
69- Estudiar la continuidad y discontinuidad de la función
f ( x)  e
x 2 1
. En los puntos de
discontinuidad que sea posible definirla de nuevo para que sea continua, hacerlo.
70- Demostrar que la ecuación cosx = x tiene una sóla solución en el intervalo 0,   .
71- Hallar, utilizando el Teorema del valor Medio, un valor aproximado de
3
29

senx.......... ....... si... x  0
72- Hallar a y b par que la función f ( x)   2
sea derivable en todo R

 x  ax  b.... si... x  0
  
73- Comprobar si f ( x)  ln(cosx) verifica el teorema de Rolle en 
, 
 3 3
74- Determinar el valor de a par que la función f ( x) 
xa
x3
tenga un extremo en x=2.
75- Estudiar la derivabilidad de las siguientes funciones: f ( x)  x 2 x  3 , f ( x)  3 x  22
76- Demostrar que la ecuación x  e
x
 1 tiene una sola raíz.
77- Hallar los puntos de la curva x=y2+y en los que la recta tangente sea perpendicular a x+y=2.
78- Dada la función f(x) =
e
x
2
, hallar la ecuación de la recta tangente a ella en el punto de abscisa
x=0.
79- Dada la curva f(x)= ex.(x-2), hallar el punto de la curva donde la tangente a ella sea paralela al
eje OX.
80- Demostrar que la ecuación 2x3 = 6x-1 tiene raíz real.
(x  2)2  4.......... .... SI... x  0

81- Dada la función f (x)  
, hallar:
2

 a.( x  2)  4a....... si... x  0
a. Los valores de a para que f(x) sea continua en x=0
b. Los valores de a para que f(x) sea derivable.
82- Estudiar la derivabilidad de f(x) = x  x  1 en [0,2].
83- Enunciar el teorema de Bolzano. Comprobar si la ecuación x = x.senx + cosx tiene solución en
  ,  .
84- Estudiar continuidad y discontinuidad de la función f(x)= 2x+ x  1 .
85- Estudiar continuidad y discontinuidad de función f ( x ) 
ln( x  1 )
. Qué tipo de discontinuidad
x
presenta en x=0 y en x=-1
86- Estudiar continuidad y derivabilidad de la función
f ( x)  x  2.x. x . Hallar la recta tangente
a ella en x=0.
87- Estudiar continuidad, discontinuidad y derivabilidad de la función f ( x ) 


x2  9
.
| x  3|
88- Demostrar que la ecuación senx = x-1 tiene raíces en   , .
89- Estudiar continuidad , discontinuidad y derivabilidad de la función f(x)=(x-1).|x-1|
90- Estudia la continuidad de la siguiente función según los valores del parámetro a:
e ax .......... .......... .si... x  0
f ( x)  
x  2a.......... ...si... x  0
91- Hallar la recta tangente a la función f ( x) 
2x
que sea paralela a la recta 2x+y=0.
x 1