Documento 397578

Curso SAI de Ecuaciones Diferenciales. Clave: 111214. T. 11-O.
Curso elaborado por los profesores: María Judith Omaña Pulido y Salvador Arellano Balderas.
ECUACIONES DIFERENCIALES
SISTEMA SAI
♦♦♦
UNIDAD IV
UNIDAD DE INTEGRACIÓN (A)
♦♦♦
Objetivos específicos: Al finalizar la unidad el alumno será capaz de resolver
ecuaciones diferenciales de orden uno del tipo que se encontró en las unidades
anteriores. Ahora la dificultad consiste en que no se sabe que tipo de ecuación
diferencial se enfrenta. Resolver problemas de aplicaciones de las ecuaciones
diferenciales de orden uno de los siguientes tipos: crecimiento de poblaciones
(malthusiano y logístico), mezclas y decaimiento radiactivo.
En el libro de texto repasar, si lo requiere, del capítulo 2 las secciones 2.1-2.6. Del
capítulo 3 repasar las secciones 3.3 y 3.4.
Resolver los siguientes ejercicios y entregarlos por escrito:
A. Resuelva el siguiente popurrí de ecuaciones diferenciales:
1. x  2xy  y 2 dy  y 2dx  0
dy
2. xy 1  xy 2   1
dx
3. 12  5xydx  6xy1  3x2 dy  0



4. y 2 xy' y  1  x4  x
5. 6xydx  4 y  9x2 dy  0
6. y  tg 2 2x  3 y  1



7. xydx  x 2dy  y x 2  y 2 dy
8.
9.
2x  tan y dx  x  x2 tan y dy  0
3x  y   1y  4x  y   1
10. y 
1
2x  y2
x
x


x
y 
y

1  dy  0, y 1  1
1

e
dx

e
11.


y



B. De acuerdo con una teoría cosmológica, había igual cantidad de los isótopos de
uranio U235 y U238 en el momento de la creación del universo, durante el “Gran
estallido” (“Big bang”). En el momento actual hay 137.7 átomos de U238 por
cada átomo de U235. Considerando como vida media 4.51 mil millones de años
Curso SAI de Ecuaciones Diferenciales. Clave: 111214. T. 11-O.
Curso elaborado por los profesores: María Judith Omaña Pulido y Salvador Arellano Balderas.
para el U238 y 0.71 mil millones de años para el U235, calcúlese la edad del
universo. Sugerencia: U238(t)=137.7 U235(t).
C. Suponga que una comunidad contiene 15,000 personas que son susceptibles a
una enfermedad contagiosa en expansión. Al tiempo t=0 el número de personas
que tienen la enfermedad es de 5,000 y aumentan a razón de 500 por día.
¿Cuánto tiempo pasará para que otras 5,000 personas contraigan la enfermedad?
Suponga que N´(t) es proporcional al producto del número de las que han
contraído la enfermedad por el número de las que no lo han contraído.
D. Suponga que un cuarto contiene 32 m3 de aire, originalmente libres de monóxido
de carbono. En el instante t=0 se empieza a introducir al cuarto humo de
cigarrillo, con un contenido del 4% de monóxido de carbono, con una rapidez de
0.002 m3/min y se deja salir la mezcla bien circulada, con la misma rapidez.
a) Encuentre una expresión para la concentración de x(t) de monóxido de
carbono en el cuarto, en cualquier instante t >0.
b) Para un ser humano, quedar expuesto a una concentración de monóxido
de carbono tan baja como 0.00012 puede ser nocivo. Encuentre el tiempo
en el cual se alcanza esta concentración.
Soluciones:
1
2 y

1. x  y  cy e , 2. 1   xy  2 x  cxe
3
1
x3 y 3 
1  x 4  c , 5. x 2 y 3  y 4  c ,
2
3
2
2
y2
2
, 3. 3x4 y 2  x5 y3  c , 4.
 3

3
6. x  c  2 x  3 y  1 
arctg tg 2 x  3 y  1 , 7. y  ce
2
 2

3
1
8. x2 cos y  xseny  c , 9. x  y   ln 7x  y   2  x  c ,
7
49
x
x2  y2
y
,
1
1
1
10. x  ce  y 2  y  , 11. x  ye y  1  e .
2
2
4
9
B. Cerca de 6  10 de años. C. Cerca de 9.24 días. D. Ver la solución del ejercicio 17
del capítulo 3 del libro de texto.
2y