Poliedros desarrollados con GeoGebra: del 3D al 2D

Poliedros desarrollados con GeoGebra: del 3D al
2D
Real Pérez, Mariano1 [email protected]
Muñoz Santonja, José 2 [email protected]
Resumen
La versión de GeoGebra 5, aparecida el pasado mes de Octubre de 2014, nos permite trabajar
en tres dimensiones con la misma facilidad que hemos trabajado hasta el momento el 2D. Uno
de los aspectos que primero se trata en la enseñanza es el desarrollo de poliedros y figuras
geométricas. El objetivo de esta comunicación es mostrar las actuales órdenes que lo permiten,
pero sobretodo mostrar el trabajo que permite desarrollar figuras que GeoGebra no reconoce
como poliedros y que, por tanto, no se les puede aplicar las órdenes básicas. Hablaremos
también de las posibilidades del desarrollo para trabajar algunos problemas corrientes de
matemáticas.
1. Introducción
La gran novedad de la versión 5 de Geogebra, aparte de las nuevas funciones y
órdenes con gran potencia, como el comando Ejecuta, es la posibilidad de trabajar en una
ventana 3D. Esto nos permite trabajar, con la facilidad que caracteriza al programa, con
elementos en el espacio, no solo aspectos de geometría analítica con rectas y planos, s i no
también la geometría clásica dibujando con facilidad cuerpos geométricos y estudiando sus
medidas.
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CEP de Sevilla
IES Macarena (Sevilla)
Uno de los aspectos que primero aparecen en la enseñanza reglada es el
reconocimiento de los figuras geométricas y posteriormente sus desarrollos plan os. Es
muy corriente trabajar con esos desarrollos en cartulina para construir con ellos los
poliedros y otros cuerpos geométricos.
Una de las órdenes que aparecieron en los últimos meses, en la que se trabajaba
con la versión no definitiva de GeoGebra 5, permite desarrollar con facilidad poliedros
regulares, prismas y pirámides. Sin embargo, los que llevamos años trabajando con la
versión Beta de GeoGebra 5, comenzamos desarrollando esos cuerpos de forma artesanal,
girando puntos y aristas convenientemente para conseguir el desarrollo plano deseado.
El objetivo de esta comunicación es presentar los procedimientos que permiten
desarrollar cuerpos limitados por caras planas. Veremos la aplicación en algunos cuerpos
geométricos que GeoGebra no reconocen como poliedros, por ejemplo, algún poliedro
semirregular, y cómo afrontar su desarrollo. Por último veremos las posibilidades de
trabajar con algunos problemas clásicos de las matemáticas recreativas, como la hormiga
que recorre un paralelepípedo o algún problema de Selectividad.
2. La orden Desarrollo
Uno de los comandos que se utiliza en la ventana de tres dimensiones de la
versión Geogebra 5 es el comando Desarrollo, que permite conseguir el desarrollo plano
de un poliedro. Es una orden que en las diferentes versiones que hemos trabajado ha ido
cambiando de nombre, pero ahora ya tenemos la versión definitiva. La orden es muy
simple, su sintaxis es: Desarrollo[<poliedro>,<número>]
En poliedro basta poner el nombre de un poliedro regular, prisma o pirá mide. El
número es un valor comprendido entre 0 y 1. Si aparece el 0 vemos el poliedro como un
sólido y si escribimos 1 obtenemos el desarrollo plano. Si escribimos cualquier número
menor que 0 o mayor que 1 desaparece la figura. Si escribimos un decimal c omprendido
entre 0 y 1 se observa una figura semidesarrollada. Por ejemplo, en la imagen 1 aparece el
desarrollo de un cubo con el valor 0.5.
Imagen 1: Semidesarrollo de un cubo
Esta orden se ha ampliado al pasar la versión 5 a definitiva. Pues permite mostrar
distintos desarrollos planos de un mismo poliedro.
Esta versión ampliada sería:
Desarrollo[<poliedro>,<número>,<cara>,<arista1>,<arista2>,….]
La diferencia es que podemos seleccionar una cara del poliedro sobre la que
queremos desarrollar, añadiendo una serie de aristas que deseamos que queden libres y sin
unir las caras por ellas.
Un ejemplo los tenemos en las siguientes imágenes. En la imagen 2 aparece el
desarrollo estándar de GeoGebra, en la 3 hemos utilizado la orden siguiente para
desarrollar el tetraedro a: Desarrollo[a, 1, caraABC, aristaAB].
Imagen 2: Desarrollo normal del
tetraedro
Imagen 3: Desarrollo del tetraedro forzando que
quede libre la arista AB
Aunque los manuales indican que esta orden sólo funciona en el cubo, ya es
posible aplicarla a cualquiera de los poliedros regulares. De momento, no está disponible
para prismas y pirámides, pero imaginamos que será cuestión de tiempo el que también se
puedan desarrollar de esta forma.
Un ejemplo de cómo se puede aplicar la orden para obtener todos los desarrollos
planos de un cubo puede encontrarse en la siguiente dirección de GeoGebraTube.
http://geogebratube.org/student/m136596
3. La orden Rota
Antes de aparecer la orden anterior, era necesario rotar puntos y aristas de los
poliedros para conseguir girar manualmente las caras y conseguir el desarrollo plano.
Aunque ahora ya no es necesario para los poliedros creados por GeoGebra, las
herramientas y procedimientos, que entonces utilizábamos, siguen siendo de utilidad para
hacer desarrollos de otros elementos que GeoGebra no reconoce como poliedros o cuerpos
sólidos. Por ello, pensamos que es interesante repasar como se podían desarrollar los
poliedros de forma artesanal y ver aplicaciones en algunos ejercicios.
Actualmente podemos utilizar la orden para girar objetos de tres modos distintos.
Si seleccionamos el icono correspondiente a rotar en la barra de herramientas, cuya
imagen es
, los pasos a seguir son elegir el objeto a rotar, el eje de rotación y por último
se introduce el ángulo de rotación en la casilla de entrada que aparece.
Si introducimos la orden desde la barra de entrada el orden de los elementos del
comando cambia un poco y tenemos dos opciones, girar respecto a un eje o a un punto. Sus
opciones concretas son:
Orden en barra de entrada
Rota[<Objeto>,<Ángulo>,<Eje >]
Rota[<Objeto>,<Ángulo>,<Punto>,<direcc
ión>]
Acción
Rota el objeto alrededor del eje de rotación el
ángulo indicado. Si no se indica eje, gira
alrededor del eje Z.
Si la dirección es una recta, segmento o vector,
gira alrededor del eje que pasa por el punto y
tiene la dirección indicada.
Si es un plano, la dirección es la del vector
característico del plano. Si no aparece la
dirección, se toma el eje Z como director.
La principal dificultad que nos encontramos al hacer los desarrollos utilizando la
orden rota es el cálculo de los ángulos de rotación y los ejes respecto de los que queremos
rotar. Podemos pensar que el cubo es fácil ya que las rotaciones son de 90º y respecto de
ejes de rotación claros, las aristas del cubo. Pero para girar las caras de un dodecaedro o
un icosaedro la cosa ya se complica.
Para poner un ejemplo, veamos como desarrollar el tetraedro regular. En esta
ocasión partimos del desarrollo del tetraedro que observamos en la siguiente imagen:
Imagen 4: Desarrollo de partida del tetraedro
En la anterior figura vamos a mantener como triángulo base al ABC. Para formar el
tetraedro vamos a utilizar la orden Rota, pero antes vamos a introducir un deslizador h que
nos proporcione el efecto de desarrollo del mencionado tetraedro. Este deslizador va a
tomar valores entre -1 y 1. Para proceder a formar el tetraedro debemos conocer
previamente el ángulo que forman dos caras del tetraedro. En este caso, haciendo los
cálculos correspondientes, ese ángulo es de α=109,471º o bien α=1.91063rad. Para nuestro
desarrollo utilizaremos β=h*α
Con los anteriores datos, podemos definir los puntos siguientes:
E’ Punto que resulta de rotar el punto E un Rota[E, β, Segmento[A, C]]
ángulo β alrededor del segmento AC
N’ Punto que resulta de rotar el punto N un Rota[N, β, Segmento[C, B]]
ángulo β alrededor del segmento CB
D’ Punto que resulta de rotar el punto D un Rota[D, β, Segmento[B, A]]
ángulo β alrededor del segmento BA
Es importante tener en cuenta el orden en el que le indicamos el segmento ya que
definen vectores distintos. No es lo mismo rotarlo alrededor del segmento AC que el CA.
En un caso deberemos indicar que el ángulo de rotación es β y en otro – β.
Para finalizar, debemos de tener en cuenta que los vértices de nuestro poliedro son
A, B, C, E’, N’ y D’. Los punto primarios E, N y D solamente nos han servido para
construirlo. Por tanto, a la hora de trazar el tetraedro, deberemos unir adecuadamente los
vértices que lo componen. Si le damos a nuestro deslizador h el valor 0.5 observaremos lo
que se aprecia en la imagen 5 y para h=1 observaremos la imagen 6.
Imagen 5: Imagen del tetraedro para h=0.5
Imagen 6: Imagen del tetraedro para h=1
Este ejemplo lo puedes encontrar en la siguiente dirección:
http://tube.geogebra.org/student/mM2eQWl67
El método es el mismo para desarrollar otros poliedros. Su única dificultad radica
en conocer previamente el ángulo que forman dos caras consecutivas y en el número de
rotaciones que debe soportar cada uno de los vértices iniciales y en conocer el segmento
alrededor del que deben rotar.
La cosa se va complicando a medida que nos vamos separando de cuerpos simples
y buscamos otros tipos de poliedros, por ejemplo, los truncados.
El primer problema al trabajar con poliedros truncados es calcular
matemáticamente cuanto deben medir los lados para que las caras de ese poliedro sean
polígonos regulares. Así, podemos construir, por ejemplo, un cubo truncado como el que
se ve en la imagen 7.
Imagen 7: Cubo truncado
En este poliedro, construido a base de triángulos y octógonos, y que por tanto no
es sólido para GeoGebra, hay que tener en cuenta que el lado del triángulo o del octógono
es igual al lado del cubo original dividido entre 2  2 .
La dificultad, al hacer el desarrollo, no suelen ser las caras ortogonales que giran
siempre un equivalente a 90º, sino las caras triangulares, ya que no giran respecto a las
aristas del cubo original, sino a la arista del propio triángulo y un ángulo que hay que
hacer varios cálculos trigonométricos para encontrar. Aunque al final se puede conseguir
como se aprecia en la imagen 8.
Imagen 8: Desarrollo del cubo truncado
4. Problemas resueltos con GeoGebra
Queríamos ver en este apartado un par de ejemplos de problemas que solemos
encontrar en mucha documentación matemática en los niveles de secundaria, y que pueden
ser abordados mediante desarrollos y verse claramente cuál es la solución al problema.
El primero que queremos presentar sería el típico de una hormiga que se desplaza
por el camino más corto en una caja. El enunciado concreto sería el siguiente:
Una hormiga se encuentra en uno de los vértices de una caja de tetrabrik de leche
cuyas tres medidas se conocen. ¿Cuál es el camino más corto que tiene que recorrer la
hormiga para llegar al vértice que se encuentra más alejado del que se encuentra?
En este caso, la situación de partida que se presenta es la que observamos en la
imagen 9.
Imagen 9: Situación de partida del problema de la hormiga
En este caso nos piden el camino más corto que tiene que recorrer la hormiga para
ir del punto A1 en el que se encuentra, al punto A.
Si hacemos el desarrollo del tetrabrik con la orden Rota, observamos que la
imagen queda de la siguiente forma:
Imagen 10: Desarrollo del tetrabrik para el problema de la hormiga
En este caso, solamente nos queda por trazar el camino recto y calcular esa
distancia. Si inicialmente en GeoGebra creamos deslizadores para el ancho, alto y largo
del tetrabrik podemos conseguir algo parecido a lo que observamos en la imagen 11.
Imagen 11: Solución del problema de la hormiga o mariquita.
El segundo es un ejercicio típico de Selectividad en el que tenemos un problema
de optimización. Un enunciado real de ese problema es el siguiente:
Lo primero es construid el cuadrado al que se le elimina el cuadrado de las
esquinas y calcular el volumen del cubo según ese recorte. Podemos hacer el camino
inverso, a partir de la lámina recortada construir la caja cerrando las pestañas como vemos
en la imagen 12.
Imagen 12: Caja recortada
Sin más que ver el volumen de la caja y cambiar la medida del corte en la esquina
podemos ver cuando se obtiene el máximo. Si además completamos la construcción
dibujando el volumen en función del lado del corte nos aparece una gráfica donde queda
evidente cuál es el valor del máximo.
Imagen 13: Construcción completa
5. Conclusiones
A pesar de la potencia que tiene la orden desarrollo para mostrar los desarrollos
planos de los poliedros regulares y los prismas y pirámides construidos con las órdenes
precisas de GeoGebra, es posible conseguir desarrollos planos de otras construcciones más
elaboradas, lo único que hay que echar es tiempo y cálculos para saber exactamente como
tienen que rotar los distintos elementos.
Aunque aquí nos hemos reducido al caso de los poliedros, estos procedimientos se
pueden ampliar a otros elementos más lúdicos, como pueden ser la construcción de
aviones de papel o lámparas chinas de las que se utilizan en los festejos. Pero eso quedará
para otro momento.