ASINTÓTAS de Funciones Racionales

ASINTÓTAS de Funciones Racionales
ASINTOTA es la recta a la cual se aproxima la función, sin llegar a tocarla
ASÍNTOTA HORIZONTAL: Condición: El grado del numerador tiene que ser ≤ que el denominador
Es el límite de la función cuando x
∞
Forma de hallarla: 1º) Se halla la asíntota lim f(x) cuando x  , lim f(x) cuando x  
2º) Se hallas los límites laterales
Ej: y 
3x 2
x2  1
3x 2
3x 2

lim
3
x2  1
x2
x 
x 
lim
2º
Una función tiene como máximo dos
La función no corta a las A. horizont.
x
F(x)
100
2’99
1000
2’999
10000
2’9999
x
F(x)
-100
2’99
-1000
2’999
-10000
2’9999
Asíntota horizontal y = 3
x  
f(x)
3- (por debajo de la asíntota, no llega a 3)
f(x)
3- (por debajo de la asíntota, no llega a 3)
ASÍNTOTA VERTICAL La recta x = a es asíntota vertical si al tender x a el límite de la función es  ∞
Forma de hallarla: 1º) Las A. Verticales serán los valores que anulan al denominador pero no al numer.
2º) Se hallan los límites laterales
1
Ej: y 
1º) Denominador = 0; Asíntota vertical x = 0
x
2º)
x
F(x)
0’1
10
0’001
1000
0’0001
10000
x
F(x)
-0’1
-10
-0’001
-1000
-0’0001
-10000
x  0
f ( x )  
x  0
f ( x )  
La función puede tener infinitas asíntotas verticales. Una función no corta nunca a la asíntota vertical
ASÍNTOTA OBLICUA Condición: El grado del numerador tiene que ser = al grado del denominador + 1
La asíntota oblicua es de la forma y = mx + n (hay que hallar m y n)
f ( x)
Forma de hallarla: m  lim x
x
Ej: y 
x2  1
x
n  lim( f ( x )  m x)
x
f ( x)
m  lim
 lim
x
x
x2  1
x2  1
x2
x
 lim
 lim 2  1, , m  1
2
x
x
x
 x2  1

x2  1  x2
1
n  lim( f ( x )  m x)  lim
 1x   lim
 lim  0 n=0
x
x
 x

y = mx + n; y = 1x + 0 ; y = x Asíntota Oblicua
Para saber por qué lado va se sustituye en la curva y en la asíntota el mismo valor: en el ejemplo anterior
2
x =2 en la asíntota y = 2 (2, 2); en la curva y  2  1  5  2'5 (2, 2’5), La curva va por encima
2
2
Igual se hace en el lado negativo. Cuando x = -2; en la asíntota (-2, -2). En la curva (-2, -2’5)
LÍMITES CUANDO x  
Si es un polinomio, se halla el límite del término de mayor grado
Si es una fracción, se halla el límite de los dos términos de mayor grado (numerador y denominador)