FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

BACHILLERATO
ACELERADO
PARA ADULTOS
A DISTANCIA
- IED-
MATEMÁTICA II (ex III)
POLIMODAL
Ciclo Orientado
El I.E.D. agradece la participación de la Prof. Yanina Francés en la elaboración del
presente material. Este material es de uso exclusivo e interno para el I.E.D. No se
encuentra a la venta. (Consultar bibliografía utilizada y recomendada para el siguiente plan
estudio)
1
Estimado alumno:
El presente material constituye el módulo de estudio de la materia
Matemática del Ciclo Orientado III del Bachillerato para Adultos,
Acelerado y a Distancia. En él encontrará los contenidos que se abordan
en la materia, así como actividades que lo ayudarán en su comprensión,
con vistas a la preparación del examen.
El módulo está organizado de la siguiente manera:
Se debe imprimir el módulo en tamaño carta
Presentación
-
Matemática Ciclo Orientado III: el presente material consta de 5
unidades y corresponde al 2° y 3° año polimodal
Organización de los C.B.C de Matemática: los contenidos de éste módulo
son para aprender y
aprehender
matemática. La
numeración de los
bloques aquí tratados
(1,2,3,4) se
corresponde con las
unidades
-
Breve fundamentación: donde se comentan los aspectos que hacen
necesario el estudio de la presente asignatura.
-
Expectativas de logros: se mencionan los objetivos que se espera que
Ud. logre a través del trabajo con este material para aprobar la
asignatura.
2
-
Contenidos desarrollados: constituye el programa de la materia; en
él se mencionan los principales temas que se tratan en el módulo.
Desarrollo
-
Unidad Nº: los contenidos están organizados en cuatro unidades, que
dan cuenta de los ejes temáticos que se desarrollan.
-
Actividad de integración Nº: al finalizar cada unidad, figura un grupo
de ejercicios que le permitirán repasar los puntos más importantes de
los contenidos desarrollados
Ud. ya sabe que cuenta con una serie de recursos para facilitar su
aprendizaje. Los mismos lo acompañarán a la par que trabaje y estudie
con este material:

Consulta a docentes, que el sistema pone a su disposición para
aclararle dudas, guiarlo en la comprensión, supervisar los ejercicios,
etc.
Lo importante es que pueda consultar sus dudas a través del
medio que le resulte más adecuado.
De esta manera, el módulo -que tiene en sus manos-, las tutorías
–bajo el recurso que Ud. considere conveniente, se complementan para
brindar un mejor abordaje y comprensión de los contenidos que forman
parte del programa de la materia.
3
Por último queremos compartir una idea central de esta modalidad
que Ud. ha elegido para concluir su bachillerato: estudiar a distancia
significa que puede adecuar el trabajo de estudio con cada materia a su
tiempo disponible, que no debe cumplir horarios prefijados, contando
con la posibilidad de organizarse según sus tareas cotidianas. Esto
implica un alto grado de autonomía, pero no es sinónimo de estudiar en
soledad o aislado.
Por eso, en esta presentación, quisimos recordarle los recursos con
los que dispone para facilitarle el abordaje de cada asignatura.
¡ BIENVENIDO!
INSTITUTO IED
4
BREVE FUNDAMENTACIÓN
¿Por qué estudiar Matemática?
"La
matemática,
igual
que
la
música,
hay
que
interpretarla, el ejecutante es fundamental. Esta analogía es
importante en otro aspecto, es posible hacer música sin ser
Bach ni Mozart ni muchísimo menos; es posible hacer música
cantando, tocando un instrumento, en un coro, en una
orquesta...
Pienso
sinceramente
que
se
puede
hacer
matemática a cualquier nivel, más que una técnica es una
actitud."
Enzo R.Gentile(1)
Desde siempre los seres humanos se enfrentaron a todo tipo de
problemas, algunos de los cuales fueron resueltos contando, midiendo,
calculando, es decir, usando conocimientos matemáticos. Este, como todo
conocimiento humano, es una construcción social de los seres humanos,
en su intento de adaptarse a la realidad y actuar sobre ella.
El uso de calendarios para regular las cosechas y la vida religiosa, la
contabilidad de bienes o el cobro de impuestos, la medición de terrenos
para la agricultura, son sólo algunos ejemplos de situaciones prácticas que
fueron motor de desarrollo de los conocimientos matemáticos. También,
cabe señalar, aquellos problemas que fueron producto de la curiosidad de
los seres humanos por resolver nuevos desafíos matemáticos, o aquellos
1
Enzo Romero Gentile (1928-1991), nacido en Buenos Aires, obtuvo el título de Doctor en
Matemática con todos los honores, destacándose en sus trabajos de investigación en Algebra y
Aritmética.
5
que otras disciplinas –como la física, la biología, la economía- requerían
para su resolución.
Es decir que, con el correr de los tiempos, la vida social se fue
complejizando y el conocimiento matemático fue progresando en pos de
buscar respuestas dentro de cierta mirada. Se puede decir, que la
matemática progresa a partir de nuevas formas de resolver viejos
problemas y el planteo de problemas nuevos.
Algunas características
Como ciencia, la matemática se caracteriza por:

Construir conceptos, hipótesis y teorías, y estudiar las relaciones de los
mismos.

Crear su propio lenguaje

Crear su propio método de trabajo e investigación.
Estas características son las que se ponen de manifiesto a lo largo
de los contenidos que se desarrollan en estas páginas. Claro que, desde
los cálculos o propiedades del primer capítulo, pasando por el uso de
expresiones algebraicas, hasta la introducción de las nociones de
probabilidad, los contenidos propuestos permiten resolver situaciones para
actuar sobre la realidad. Claro que esta acción está teñida de una mirada
muy especial, aquella que hace uso de las nociones matemáticas como
herramientas para brindar un modelo que permita “matematizar” la
situación, y luego ser objeto de estudio.
Desde este punto de vista, estudiar matemática no significa sólo
adquirir un conjunto de conceptos sino también resolver situaciones en las
6
cuales trabajemos utilizando los modos particulares de pensar y producir
en esta disciplina.
Entre los procedimientos... a resolver problemas
Como ya se mencionó la ciencia matemática progresa a partir de
descubrir nuevas formas de resolver viejos problemas y en el planteo de
problemas nuevos. Ahora bien, ¿qué es resolver un problema?
Resolver un problema implica:
-
interpretar y seleccionar la información con la que se cuenta;
-
imaginarse la situación;
-
poner en juego los conocimientos matemáticos que se consideran
necesarios;
-
planear cómo llevar a cabo la resolución;
-
anticipar resultados;
-
controlar los resultados, estudiando los caminos propuestos y los
resultados;
-
ver si el problema tiene ninguna, una o varias soluciones;
-
volver a la situación de partida, para corroborar el resultado obtenido.
Es importante tener en cuenta estas acciones al enfrentar un
problema, ellas le dan pistas sobre la manera de progresar en el área. El
desafío que tiene en sus manos es importante. Consiste, nada más y nada
menos que en “hacer matemática”.
7
EXPECTATIVAS DE LOGRO
1. Utilizar funciones en la resolución de problemas de la vida real.
2. Analizar, comprender y comunicar resultados vinculados al estudio
de funciones que permitan avanzar sobre otro tipo de funciones y
factorizar polinomios.
3. Identificar, graficar e interpretar funciones de primer y segundo
grado en la resolución de distinto tipo de situaciones.
4. Conocer y saber usar el lenguaje simbólico y las representaciones
gráficas en la modelización matemática de fenómenos y
problemas.
5. Utilizar ecuaciones y sistemas de ecuaciones en la resolución de
distintas situaciones.
6. Resolver analítica y gráficamente ecuaciones y sistemas de
ecuaciones con dos incógnitas.
7. Saber recolectar, organizar, procesar e interpretar datos, a partir
de distintas representaciones de información estadística.
8
Esperamos que la lectura de estas expectativas le permita comprender
que, a través de esta materia, se busca que Ud. no sólo conozca los
temas fundamentales del área sino que pueda utilizarlos en el análisis y
resolución de distintos fenómenos a la realidad actual, a partir de su
modelización matemática.
9
Unidad 1:
“Funciones exponenciales y logarítmicas”
1. El modelo exponencial
2. ecuaciones exponenciales
3. logaritmos
4. logaritmos decimales y naturales
5. propiedades de los logaritmos
6. la función logarítmica
Autoevaluación
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
En fenómenos tan diversos como la evolución de poblaciones, la
desintegración radiactiva y la reproducción de bacterias se
encuentran magnitudes que varían con un ritmo muy acelerado,
produciendo aumentos y decrecimientos muy rápidos, acordes
con un modelo expresado por una función llamada exponencial.
Por el contrario, las funciones logarítmicas, que son las inversas
a la exponenciales, varían muy lentamente, por lo cual
proporcionan escalas numéricas adecuadas para medir y
representar fenómenos naturales que involucran cantidades
muy grandes o muy pequeñas , como la intensidad de los
fenómenos sísmicos o la concentración de partículas en una
solución química.
1. El modelo exponencial
1. En la actualidad, la mayoría de la entidades financieras trabajan
dando interés compuesto sobre los depósito. Sintéticamente, esto
significa que los intereses se aplican al capital y también generan
intereses.
10
El caso que vamos a considerar es un banco que otorga intereses
en forma tal que el capital depositado se duplica al cabo de un año
transcurrido.
Supongan que una persona deposita $1 en este banco y nunca
hace un retiro.
a) Completen la siguiente tabla y realicen el gráfico
correspondiente.
Tiempo transcurrido (años) 0 1 2 3 4 5 6
Dinero acumulado ($)
1 2
b) Encuentren una fórmula que permita calcular el dinero
acumulado D en función del tiempo transcurrido t ………………
………………………………………………………………………………
c) ¿Al cabo de cuánto tiempo se llega a acumular $256?
d) ¿Cuánto dinero se acumula al transcurrir 10 años?
2. Existen sustancias químicas que en condiciones normales de
presión y temperatura se evaporan. Tenemos 4 litros de una
sustancia líquida que evapora en forma continua a la mitad de su
volumen por hora.
11
a) Completen la siguiente tabla y realicen el
gráfico correspondiente.
Tiempo (h)
0 1 2 3 4 5 6
Volumen de líquido (litros)
b) Encuentren la expresión que relacione el volumen del líquido
V con el tiempo transcurrido ………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….
c) ¿Al cabo de cuánto tiempo quedarían 0,0625 litros de
líquido?
d) ¿Qué volumen de líquido quedaría luego de un día entero?
3. Consideren la función
f x  2 x , cuyo dominio es R.
a) Completen la tabla de valores y grafiquen la función.
12
X
y
1
2
3
-1
-2
-3
b) Observen el gráfico que hicieron y
contesten alas preguntas.
0
I) ¿Cuál es el conjunto imagen de f?
II) ¿f es creciente o decreciente?
III) ¿Tiene algún punto de contacto con el eje de ordenadas? ¿Cuál?
IV) ¿Tiene algún punto de contacto con el eje de abscisas? ¿Cuál?
V)
¿Qué ocurre con la gráfica de f(x) cuando x toma valores
positivos “muy grandes”?
VI) ¿Qué sucede con la gráfica f(x) cuando x toma valores
negativos cada vez menores?
PARA LEER
Llamamos función exponencial a toda función cuya expresión sea de la
forma:
f x  k.a x k  ; a  ; k  0, a  0; a  1
El dominio de estas funciones es R. Al representarlas gráficamente, se
obtienen curvas crecientes o decrecientes en todo su dominio, que tiene al
eje de abscisas como asíntota horizontal.
Una asíntota es una recta a la cual se aproxima indefinidamente, sin llegar a
“tocarla”.
4. a) Representen estas funciones en el mismo sistema cartesiano:
13
x
1
f x   2 ; g x     ; hx   4 x ; mx   4 x
 2
b) Completen
Las gráficas de f y g son simétricas con respecto al eje ……………….
Las gráficas de h y m son simétricas ……………………………………………..
Las funciones …………………… son crecientes y las funciones …………..
Son decrecientes.
x
5. Un capital de $ 10000 se deposita en un banco que paga un 1 %
mensual de interés compuesto
a) Escriban la expresión que relaciona el capital acumulado C con la
cantidad de meses transcurridos t.
b) ¿Cuánto dinero se logra acumular luego de un año?
6. En cierto cultivo se reproducen bacterias que se triplican
diariamente. Calculen cuántas habrá al cabo de cinco días.
a) Si inicialmente hay una bacteria.
b) Si se comienzan con 500 bacterias.
2. Ecuaciones exponenciales
Decimos que una ecuación es exponencial cuando contiene a la incógnita en
algún exponente.
Observen el ejemplo de cómo se puede resolver.
1024  8.2 x
210  2 3.2 x
210  2 3 x
10  3  x
x7
1. Transformen cada una de las siguientes expresiones en una
sola potencia.
a)4 x .2 x 1 
b)3  x .9 
c)16x  2.8 2 x 3 
d )5 2 x  2.253 x .125x 
14
2. Resuelvan las siguientes ecuaciones y comprueben las
soluciones obtenidas.
1
4
8
a)4 x 
b) 2 x 1
c )9.3 x  27
d )9 x 1  3
e) 4 x .2 x 1  1
1
f ) 27.3 x  2   0
3
x
x
g )2  2  4
1
3
h ) .3 x  3 x 
2
2
6
i )5 x  5 x 1 
0
25
3. Resuelvan las siguientes ecuaciones y verifiquen las
soluciones obtenidas
1
a )27 x   
 3
x 1
b) 2  4 2 x
2x
c)3 2 x  81
d )8.2 x  4
e)27.3 2 x 3  9 3 x
1
f )2 1 x 
16
9
g )2 x  2 x 3 
4
3 x 1
h)3
1  0
i )2 x  2 x 3  2 x 1 
19
4
15
3. Logaritmos
PARA LEER
El exponente x al que hay que elevar una base b para obtener un
determinado número a se llama logaritmo de dicho número en esa base.
Es decir,
b x  a  x  logb a
(Donde a y b son números reales, b>o, b distinto de 1, a>0)
Por ejemplo:
log2 16  4  2 4  16
1
1
 2  3  2 
9
9
x
2  32  x  log2 32  x  5
log3
log2 x  3  x  2 3  x  8
a) Calculen los siguientes logaritmos cuando sea posible y
verifiquen los resultados que obtengan aplicando la
definición.
a ) log 4 64 
b) log 2 2 
1

9
d ) log 3 9 
c ) log3
e) log6 1 
f ) log 4 0,5 
g ) log10 0,01 
h) log 2  4  
i ) log3 0 
j ) log7 7 
b) Analicen los ejemplos y la definición, y respondan a las
preguntas.
16
c) ¿Por qué se establece que el número a debe ser positivo?
d) ¿Por qué se establece que el número b debe ser positivo y
distinto de 1?
4. Logaritmos decimales y logaritmos naturales
1.
a)Utilicen las teclas log y ln de una calculadora científica para
obtener los siguientes logaritmos (redondeen a milésimos)
I) log 9,8=
II) log 98=
III) log 980=
IV) log 9800=
V) ln 2,5=
VI) ln 25=
VII) ln 250=
VIII) ln 2500=
b) Analicen los valores que obtuvieron y enuncien alguna
conclusión.
2.
Apliquen la definición de logaritmo de un número para resolver
las siguientes ecuaciones y luego verifiquen las soluciones que
obtengan.
a ) log3 x  4
1
b) log2    x
2
c) log3  x  2   2
d )2. log4 x  4
e) log12 (2 x  6)  3  3
f )  3. log3 x 2  8  14
5. Propiedades de los Logaritmos
PARA LEER
Los logaritmos verifican las siguientes propiedades (siempre que a y b sean
positivos)
17
Logaritmo de un producto

logc (a.b)  logc a  logc b
 Logaritmo de un cociente
a
logc    logc a  logc b
b
 Logaritmo de una potencia
b
logc a  b. logc a
Logaritmo de una raíz

1
log c b a  . log c a
b
 Cambio de base
logn a
logc a 
logn c
La propiedad de cambio de base nos permite transformar un logaritmo dado en
cierta base en otro logaritmo expresado en una base que nos convenga, por
ejemplo aquellas que aparecen en las calculadoras , estas (ultimas tienen base
10)
1.
Resuelvan aplicando propiedades de los logaritmos , sin usar
calculadora
a ) log2 8.32 
9

b) log3  27.  
 81
c ) log4 646 
, 01

d ) log100,:0001
e) log3
2.
 81
3
5

Apliquen cambio de base que resulte conveniente para obtener
los siguientes logaritmos con una calculadora, y anoten los
valores redondeados al milésimo.
18
a ) log 2 18 
b) log 3 100 
c) log 0,1 25 
3.
Resuelvan las siguientes ecuaciones y verifiquen las soluciones
que obtengan.
a ) log x 27  3
b) log 1  x  5  2
2
c ) log x  log17  0
d ) log8 3  2 x   0
e) log3 x  5. log3 2
6. LA Función logarítmica
1.
Consideren las funciones
f ( x)  log2 x
g ( x)  log 1 x
2
Que asignan a cada número real positivo su logaritmo en base 2 y
en base ½, respectivamente.
a) Completen la tabla y construyan las gráficas correspondientes.
X
1/4
1/2
1
19
2
3
Log2 x
Log1/2 x
b) Completen el cuadro
Función
Dominio
Imagen
Ceros
f(x)
g(x)
c) Respondan las siguientes preguntas.
I)
¿Cortan al eje de ordenadas? ¿Por qué?
II)
¿Qué se observa, en ambas gráficas, cuando los valores de x se
aproximan a cero?
III) ¿Cuáles son los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de
cada función?
IV) ¿Cuál es la relación gráfica que se observan entre ambas
curvas?
PARA LEER
Llamamos función logarítmica a toda función cuya expresión sea de la
forma:
f ( x)  logb x( x  0; b  R; b  1)
El dominio de esas funciones son los reales positivos, y al representarlas
gráficamente se obtienen curvas crecientes o decrecientes en todo su
dominio, que tienen al eje de ordenadas como asíntota vertical
Autoevaluación
Marquen la opción correcta
20
1

1. Consideren la función y   log2  2 x  .
2

a) Tiene como dominio al intervalo
I ) , 
 1

II )   , 
 4

III)0; 
 1

IV )  ; 
 4

b) Corta al eje x en el punto
I )0;0 
1 
II ) ;0 
2 
1 
III) ;0 
4 
 1 
IV )  ;0 
 4 
c) Corta al eje y en el punto
I )0;1
II )0;1
III)0;0 
 1
IV ) 0; 
 2
2. La solución de la ecuación 2 x 1  8 , es:
I ) x  2
II ) x  1
III) x  2
IV ) x  1
3. Se estudia el comportamiento de la concentración de
una solución química sometida a distintas temperaturas y se
comprueba que dicho comportamiento responde a un modelo
exponencial
21
Para una temperatura de 2° C, la concentración es de 9
unidades, y para una temperatura de 4° C, la concentración
asciende a 20,25 unidades.
a) ¿Cuál es la función que relaciona la temperatura y la
concentración?
I ) y  1,5.4 x
II ) y  4.1,5 x
b) ¿Cuál es la concentración a 6° C?
I )45,56
II )54,65
III)54,56
IV )46,55
c) ¿Es cierto que la concentración aumenta en forma
directamente proporcional a la temperatura?
I ) si
II )no
d) ¿A qué temperatura la concentración será de 1,125
unidades?
I )3,13C
II )  3,13C
III)3,18C
Unidad 2:
Secciones cónicas
22
1. Circunferencia
2. elipse
3. hipérBola
4. parábola
Autoevaluación
Secciones cónicas
Para leer
Se llama secciones cónicas a las que pueden obtenerse mediante la
intersección de un plano cono circular un con recto
Las secciones cónicas pueden definirse mediante el concepto lugar
geométrico, que es el conjunto de los puntos del plano que cumplen
con una condición común.
1. Circunferencia
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia
a un punto fijo es constante.
La ecuación de una circunferencia de centro o=(h;k) y radio r está
dada por la fórmula r 2  x  h2   y  k 2
23
Ejemplo:
 La ecuación de la circunferencia de centro
4;1 y radio 3 es x  42   y  12  9
 Queremos saber si x 2  y 2  2 y es la ecuación de una circunferencia.
Igualamos la ecuación a 0  x 2  y 2  2 y  0
Sumamos y restamos 1 para obtener un trinomio cuadrado perfecto
 x2  y2  2y 11  0

 y 12
Despejamos los cuadrados y obtenemos la ecuación de una
circunferencia de centro (0; 1) y radio 1  x 2   y  12  1
1. Hallen la ecuación de las siguientes circunferencias de
acuerdo con los datos indicados en cada caso.
a) Centro (0;0) y radio 5
b) Extremos de un diámetro (-1;-1)y (5;5)
c) Tiene el mismo centro que la circunferencia cuya ecuación es
x 2  y 2  2 x y su radio es 3.
2. Resuelvan gráficamente los siguientes sistemas
2
 x  y 2  25
a) 
 y  3x
2
2

x  y  1
b) 
2
2

x  3  y  4
3. Encuentren el centro y el radio de cada una de las
siguientes circunferencias
2
2
a) x  y  6x  2 y  9  0
b) x 2  y 2  8 y  14  0
24
2.
elipse
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de
sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
La ecuación de una elipse con centro en el origen de coordenadas y focos
x2 y2
sobre el eje de abscisas es 2  2  1 .Si los focos están sobre el eje de
a
b
y2 x2
ordenadas, la ecuación de la elipse es 2  2  1 . En ambos casos se
a
b
2
2
2
verifica a  b  c
Ejemplos
 Para hallar la ecuación de una elipse de focos F 1 (3;0) y
F2  (3;0) cuyo eje mayor es 10, procedemos así:
Hallamos a resolviendo la ecuación 2a  10  a  5
Hallamos b mediante la relación a 2  b 2  c 2
5 2  b 2  32 25  9  b 2 16  b 2  b  4
Hallamos c a 2  b 2  c 2
5 2  4 2  c 2 25  16  c 2
c3
25
La ecuación es, entonces

x2 y2

1
25 16
x2
y2

 1 , hallamos las coordenadas de los vértices y
La ecuación
64 289
focos de la siguiente manera:
Los focos están sobre el eje y porque 289  64 , entonces
a  289  17; b  64  8 y c  289 64  15, c= 15
Entonces v1  0,17; v2  0,17, F1  (0;15); F2  (0;15)
1. Las siguientes ecuaciones representan elipses con centro en
(0,0).Hallen los focos y los vértices
x2
y2
a)

1
100 36
x2 y2
b)

1
9 16
c)3 x 2  y 2  3
2. Resuelvan analíticamente y gráficamente los siguientes
sistemas
 x 2  16  4 y 2
a) 
x  2 y  4
x 2  y 2  4

b)  x 2
y2
  1
4
 25
3. Hipérbola
Para leer
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que el
módulo de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados
focos es constante.
26
La ecuación de la hipérbola con centro en el origen de coordenadas y
focos sobre el eje de las abscisas es
x2 y2

 1.
a2 b2
Si los focos están sobre eje de las ordenadas, la ecuación es

x2 y2

 1.
b2 a2
Las asíntotas de una hipérbola son las rectas y 
En ambos casos se verifica que c 2  a 2  b 2
b
b
x ey x .
a
a
Ejemplos
 La ecuación de la hipérbola de focos F1  ( 2 ,0) y F2   2,0 y
asíntotas y  x y y   x se puede hallar de la siguiente manera


b
b
 1 y  1 , por las ecuaciones de las asíntotas , entonces a  b .
a
a
Reemplazamos en la expresión c 2  a 2  b 2 y obtenemos
Como
 2
2
 a2  b2
.Despejamos: a 2  1 y , por lo tanto, b 2  1 . La ecuación
buscada es: x 2  y 2  1 .

Los focos de la hipérbola de ecuación
x2 y2

 1 ,los podemos hallar
9
4
de la siguiente manera:
Reemplazamos los valores de a y b en la relación c 2  a 2  b 2
Y obtenemos c  9  4  13
27
Como los focos están sobre el eje x porque 9  4 , sus coordenadas
son F1  13;0 y F1   13;0 , y las ecuaciones de las asíntotas son




y
2
2
x e y   x.
3
3
1.
Las siguientes ecuaciones representan hipérbolas con centro
en (0,0). Encuentren los focos, los vértices y las asíntotas.
x2
 y2  1
4
y2 x2
b)

1
64 36
c)9 x 2  16 y 2  144
a)
2.
Identifiquen cada una de las siguientes cónicas. Determinen,
en caso tenerlas, las coordenadas del centro, el vértice, el
foco y las ecuaciones de las asíntotas, y luego grafíquenlas.
a)9 x 2  36 y 2  144
1
b)3x 2  3   y 2
3
2
x
y2
c)  2  
2
18
4. Parábola
Para leer
La parábola es el lugar geométrico de los puntos tales que sus distancias
a un punto fijo llamado foco y a una recta llamada directriz son iguales.
28
La ecuación de una parábola con vértice en el origen y directriz de
ecuación x   p es ecuación y 2  4 px . Si la ecuación de la directriz es
y   p , la ecuación de la parábola es x 2  4 py .
Ejemplos
 La ecuación de la parábola de foco (5;0) y directriz x=-5 es
y 2  4.5x , o sea , y 2  20x .
 Para hallar las coordenadas del foco y de la ecuación de la directriz
de la parábola de la ecuación y 2  12x procedemos de la siguiente
manera
Igualamos 4 p  12  p  3
Entonces el foco es F=(-3;0) y la directriz x=3.
1.
Hallen las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz de
las parábolas cuyas ecuaciones son las siguientes.
2
a) y  x
b) y 2  8 x
c) x 2  4 y
29
2.
Hallen la ecuación de las siguientes parábolas de acuerdo con los
datos indicados en cada caso.
a) Foco en (4;0) y directriz de la ecuación x=-4
b) Foco en (-12;0) y directriz de la ecuación x=12
c) Foco en (0;8) y directriz de la ecuación y=-8
3.
Resuelvan analíticamente y gráficamente los siguientes sistemas
 y 2  x
a)
 x  y  2
 y 2  2 x
b)  2
 x  y
4.
a) Hallen la ecuación de la circunferencia de centro (-2;5) a la
que pertenece el punto (-2;0).
b) Encuentren los puntos de intersección de la circunferencia
anterior con la curva de ecuación: x 2  y 2  6 x  16  0
Autoevaluación
Marquen la opción correcta
1. La ecuación de la elipse de centro (0;0) y que pasa por (0;3) y (5;0) es:
30
a)
b)
c)
d)
2.
a)
b)
c)
d)
3.
a)
b)
c)
d)
x2 y2

1
9 16
x2 y2

1
16 9
x2 y2

1
9 25
x2 y2

1
25 9
La ecuación de la hipérbola de vértices (2;0) y (-2;0) y
asíntotas y =2x y y=-2x es :
x2 y2

1
4 16
x2 y2

1
16 4
x2 y2

1
4 25
x2 y2

1
25 4
La ecuación 2 x 2  y 2  4 x  4 y  2  0 corresponde a:
una hipérbola
una circunferencia
una elipse
una parábola
Unidad 3:
Sucesiones
1.Las sucesiones numéricas
31
2.sucesiones aritméticas
3.la suma de los primeros n términos de una sucesión
aritmética
4. sucesiones geométricas
5. suma de los primeros n términos de una sucesión
geométrica
Autoevaluación
1. Las sucesiones numéricas
Para leer
Una sucesión numérica es una función cuyo dominio es el conjunto N
de los números naturales o un subconjunto de éste y cuya imagen
está incluida en el conjunto de los R de los números reales.
Cuándo trabajamos con sucesiones, prestamos especial atención al
número de orden n que le corresponde a cada una de las imágenes, y a
éstas las llamamos términos de sucesión.
Los términos de una sucesión siguen una “regularidad” o “ley” que las
caracteriza, que se expresa algebraicamente mediante una fórmula a
la que llamamos término general o término enésimo de la sucesión.
Observen en el siguiente ejemplo la notación que an utilizamos para
trabajar con sucesiones.
Consideremos la sucesión de término general an  3n  2
Lugar que ocupa
términos
n=1
a1  3.1  2
a1  5
n=2
a 2  3.2  2
a2  8
n=3
…
a3  3.3  2 …
a3  11
n
an  3.n  2
a) Dados los términos generales de cuatro
sucesiones numéricas, hallen para cada una
los seis primeros términos y la suma de
éstos.
32
an
n
n 1
3n  1
1
2 n 1
 1n .n
a1
a2
a3
a4
a5
a6
s6
b) Encuentren una expresión del término
general de cada una de las siguientes
sucesiones.
a)1; 3; 5; 7; 9…
an  ..................
b)-1; 2; -3; 4; -5;… an  ..................
1 1 1 1 1
; ; ; ; ;...
c)
an  ..................
2 4 8 16 32
1 2 1 2
d)2; ; ; ; ;...
an  ..................
2 9 8 25
2. Sucesiones aritméticas
Para leer
Una sucesión aritmética es una sucesión numérica en la cual cada
término se obtiene sumando un valor constante, llamado diferencia, al
término anterior.
a2  a1  d  a2  a1  d
a3  a2  d  a1  d  d  a1  2d  a3  a2  d
a 4  a3  d  a1  2d  d  a1  3d  a4  a3  d
33
an  a1  n  1.d  Fórmula del término general de una
sucesión aritmética.
1. Despejen cada una de las variables en la fórmula
del término general, y completen.
a) Siendo a1  3 y a3  7 términos de una sucesión aritmética,
b)
a)
b)
c)
d)
hallen d , a10 y a15 .
79
Siendo a 2 
y a3  39 términos de una sucesión
2
aritmética, hallen d , a10 y a15 .
2. Los datos que se dan como hipótesis
corresponden a sucesiones aritméticas. Analicen si
en cada caso la tesis es verdadera o falsa.
tesis

Si a1  3 y a12  8 , entonces d  1.
1
1
1
Si a 3  y d  , entonces a1 
2
2
2
Si a11  1 , entonces a15  1  4d
Si an  37, a8  41 y d  13 , entonces n  14
la suma de los primeros n términos de una sucesión
aritmética
3)
Para leer
Consideremos una sucesión aritmética cuyos seis primeros términos son:
7;11;15;19;23;27
Podemos calcular la suma de estos términos haciendo:
S6 = (7+27).6/2
S6=102
Para sumar los primeros n términos de cualquier sucesión aritmética, podemos
aplicar la siguiente fórmula:
34
S n  a1  a n .
n
2
1. Calculen la suma de los primeros 40 números naturales
2. Hallen la suma de los múltiplos de 5 mayores que 42 y menores
que 158.
3. ¿Cuántos múltiplos de 9 se encuentran entre 1000 y 3000?
4. El segundo y el tercer término de una sucesión aritmética son
respectivamente 7 y -3/2 . Calculen la suma de los primeros 10
términos.
4.sucesiones geométricas
para leer
Una sucesión geométrica es una sucesión numérica en la cuál cada término
se obtiene multiplicando por un valor constante (si r>0 y r distinto 1),
llamado razón , al término anterior.
a2=a1.r
a3=a2.r=a1.r.r=a1.r2
a4=a3.r=a1.r2.r=a1.r3
an=a1.rn-1
Fórmula del término general de una sucesión geométrica.
1.
Sobre la base de la información dada, analicen si cada una de las
siguientes sucesiones es o no una sucesión geométrica. Para las
que lo sean, calculen la razón y escriban la fórmula del término.
a)3;6;12;24;48;….
b) -1;2;-4;8;-16;…
c)3;6;24;192;3072;…
2.
Los datos que se muestran corresponden a sucesiones
geométricas. Completen las frases.
35
a) Si a1=3 y r=1/2 , entonces a5=…………………………….
b) Si a7=-64 y a3-4, entonces r=………………………………
3. El primer término de una sucesión geométrica es 4 y su razón es
2. Hallen los cinco primeros términos.
5. suma de los primeros n términos de una sucesión geométrica
para leer
Consideremos una sucesión geométrica de razón 3, cuyo 5 primeros términos
son :
2;6;18;54;162
La suma de estos 5 términos podemos calcularla haciendo:
 1  35 
  s5  242
s 5  2.
1

3


Para sumar los primeros n términos de cualquier sucesión geométrica, podemos
1 r n
 1 r
aplicar la siguiente fórmula: s n  a1 .

 donde r es la razón.

1. Los datos de cada fila de la siguiente tabla corresponden a la
misma sucesión geométrica. Completen los que faltan.
a1
a2
a3
a4
r
s4
4
20
5
15
9
4
0,1
0,2
2,496
-8
-15
2. En un prisma rectangular de 216 cm3de volumen, tres aristas
distintas forman una sucesión geométrica y su suma es 21.
Encuentren las dimensiones del prisma.
Autoevaluación
36
Marquen la opción correcta
1. Los números 2,3 y 4 son los primeros términos de una
sucesión cuyo término general es:
a) an  n 2  1
n2  n
n
2
c) an  n  1
2n  1
d) a n 
n
2. 1;2;6;24 son los primeros cuatro términos de una sucesión .
el quinto término es:
b) a n 
1.
2.
3.
4.
33
48
96
120
3. Si una sucesión geométrica a1=-81; an=-1/3 ;r=1/3
entonces
1
a) a9 
81
b) n es impar
364
c) s 6  
3
Unidad3
Ejercicios de aplicación:
a) Escribir, a partir del término general, los 6 primeros términos
de cada una de las sucesiones.
1) an  2n  1
2) an  2n  3
37
b) Indicar si las siguientes sucesiones son aritméticas o
geométricas y calculen la razón.
1 1
1 1
1
5)  ; ;  ; ;  ;...
2 4 8 16
32
1) 5; 9; 13; 17; 21;...
2)
3)
1
3
5
; 1; ; 2; ; ...
2
2
2
2;
6)  ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; ...
2
2
2
2
;
;
;
; ...
3
9 27 81
4) 3; 3; 3 3; 9; ...
7)
64; 32; 16; 8; 4;...
8)
2; 2 2; 3 2; 4 2;...
En una sucesión aritmética cada término se obtiene sumándole
al anterior un valor constante d.
El tér min o general a n es :
a1  a1  0d
a n  a1  (n  1) . d
a2  a1  1d
a3  a2  d  a1  d  d  a1  2d
a4  a3  d  a1  d  d  d  a1  3d
.........................................................
an  an 1  d  a1  d  d  ...  d
n  1 veces
 Para calcular
a6
en una sucesión en la cual a1  2 y a2  7
, se debe hallar la razón.
d  a2  a1  d  7  (2)  d  7  2  d  9
a6  a1  (6  1).d  a6  2  (6  1).9  a6  2  5.9  a6  43
38
La razón es igual a la diferencia entre dos términos
consecutivos:
ak  ak 1 y k  N  
1
 Para calcular
a4
en una sucesión en la cual
d= -8, se considera a
a4
a10
como primer término y a
= -35 y
a10
,
por lo tanto, como séptimo.
an  a1  (n  1). d  a10  a4  (7  1) .d  35  a4  6.(8)  a4  35  48  a4  13
 Para hallar el número de términos de la sucesión 8; 20;
....;140, se debe calcular la razón.
d  a2  a1  d  20  8  d  12
an  a1  (n  1). r  140  8  (n  1).12  132  (n  1).12  11  n  1  n  12
Ejercicios de aplicación
Ejercicios resueltos
a) Dados
a1  3 y
d  5 , hallar.
1) Los 10 primeros términos de la sucesión aritmética.
3; 8; 13; 18; 23; 28; 33; 38; 43; 48
2)El término general
an
an  a1  (n 1). d  an  3  (n 1). 5  an  3  5n  5  an  5n  2
3)La suma de los 20 primeros términos.
a20  3  19.5  98  S n 
(3  98). 20
 S n  101 .10  S n  1.010
2
39
b) Calcular el número de términos de cada una de las siguientes
sucesiones.
1)-7; 6;...;175
d  13  175  7  (n  1).13  182  (n  1).13  14  n  1  n  15
2)
1
3;...; ;0
3
1
 1
 1
d    0  3  (n  1).    3  (n  1).    9  n  1  n  10
3
 3
 3
c) Calcular y responder.
1) ¿Cuál es la suma de los números naturales del 1 al 100?
Sn 
(1  100).100
 Sn  101.50  Sn  5.050
2
2)¿Cuántos múltiplos de 4 hay entre 21 y 95?
a1  24 , an  92
y
d  4  92  24  (n 1).4  17  n 1  n  18
3)¿Cuál es la suma de los 30 primeros múltiplos naturales de 7?
a30  7  29.7  210  S n 
(7  210 ). 30
 S n  0217 .15  3.255
2
40
Unidad 4:
probabilidades
1. combinatoria, diagrama de árbol y
de casilleros
2. permutaciones y variaciones
3. combinaciones
4. probabilidad de un suceso
probabilidades
Si bien es cierto que la teoría de probabilidades surgió
de juegos de azar, en la actualidad tiene variadas
aplicaciones.
Para calcular el tamaño de una muestra en un control de
calidad, para averiguar el error de estimación en una
encuesta, para verificar si las variables que intervienen
41
en una tabla de doble entrada dependen una de otra,
para probar si un tratamiento médico-que fue exitoso
para una muestra-se puede aplicar en el resto de los que
padecen la enfermedad, debemos aplicar los conceptos y
los métodos de la teoría de probabilidades.
1. combinatoria, diagrama de árbol y de casilleros
para leer
La ilustración muestra las posibilidades de almuerzo de los alumnos
en el comedor de una escuela. Las distintas formas en que un alumno
puede elegir el almuerzo se pueden esquematizar mediante un
diagrama de árbol.
Menú del día
Comida
Bebidas
Milanesa
Jugo de naranja
Pancho
Jugo de pomelo
hamburguesa
3 2
Si solamente quisiéramos contar la cantidad de almuerzos distintos
que pueden armar un alumno con el menú, podemos utilizar en
diagrama de casilleros , de la siguiente manera:
Cantidad de almuerzos =3.2
Naranja o pomelo
Milanesa , pancho o hamburguesa
Milanesa
Almuerzos
pancho
hamburguesa
42
naranja
pomelo
naranja
pomelo
naranja
pomelo
1. Consideren sólo los dígitos del 1 al 5 para responder las
preguntas.
a) ¿Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar?
b) ¿Cuántos de 3 cifras se pueden formar?
2. ¿De cuántas maneras pueden sentarse 4 personas en un
colectivo que tiene 8 asientos libres?
3. ¿Cuántas “palabras” (con o sin sentido) de 4 letras pueden
formarse con todas las letras de la palabra CUBO”?
4.
a) ¿Cuántas “palabras” (con o sin sentido) distintas se pueden
formar con todas las letras de la palabra “OSTRA”?
b) ¿cuántas de ellas terminan en vocal?
c) ¿Cuántas tienen una vocal en el medio
d) ¿Cuántas terminan con s?
5. En la carrera final de la prueba de 100 metros llanos de una
escuela intervienen 7 alumnos.
a)¿ de cuántas formas distintas puede resultar la carrera?
b) ¿En cuántas de ellas Gustavo llega primero?
c) ¿En cuántas de ellas Gustavo llega primero y Matías último?
2.
permutaciones y variaciones
para leer
Una permutación de un número n de objetos Pn es una disposición de esos
objetos en un cierto orden. Para contar las distintas permutaciones que se
pueden formar con todos los n elementos de un grupo, se puede seguir alguno
de los siguientes procedimientos.
Utilizar diagrama de casilleros,
4)
Utilizar la fórmula Pn=n!
5)
n! se lee “ faltorial del número n” y se calcula mediante el producto n!=
n. (n-1). (n-2)… .1 o bien , con la calculadora científica, utilizando la tecla x!
Ejemplo
La cantidad de formas distintas en que se pueden ordenar 5 libros en un
estante puede calcularse así:
P5=5!=5.4.3.2.1=120 formas distintas
Una variación de k elementos elegidos de grupos de n Vn;k es una disposición de
los k elementos seleccionados en un cierto orden
Para contar las variaciones de k elementos elegidos de un grupo
43
De n elementos podemos seguir algunos procedimientos
 Utilizar diagrama de casilleros

Aplicar la fórmula Vn;k 
n!
(n  k )!
Ejemplo:
La cantidad de formas en que se puede distribuir 3 premios distintos entre
7 personas se puede calcular con
V7;3=7!/(7-3)!=5040/24= 210
Si disponen de una calculadora científica que incluya la tecla nPr , pueden
verificar el resultado oprimiendo la siguiente secuencia: 7 nPr 3= 210
1. Luego de un amistoso de vóley, los jugadores posan para una foto
a) ¿De cuántas formas distintas pueden ordenarse los 6 jugadores
de cada equipo?
b) ¿De cuántas formas distintas pueden ordenarse todos los
jugadores en línea para la foto?
c) ¿Y si se posan los de un equipo de pie y los otros en cuclillas?
2. Consideren los dígitos del 1 al 7
a) ¿Cuántos números de 4 cifras distintas se pueden formar?
b) ¿Cuántos son pares?
c) ¿Cuántos son mayores de 3000?
d) ¿Cuántos son menores de 4200?
3. combinaciones
para leer
Una combinación es una selección de objetos sin considerar el orden.
Una selección de k objetos en un grupo de n distintos se llama
combinación de n elementos tomados de a k. Para contar todas las
combinaciones de n elementos tomados de a k podemos seguir alguno
de los siguientes procedimientos
Vn;k
 Aplicar el cociente. Cn;k 
Pk
n
n!
 Usar el número combinatorio   
 k  k!n  k !
Ejemplo :
Juan prepara su bolso para irse un fin de semana de campamento.
Va a llevar 3 remeras y en el placard tiene 8 disponibles para
44
empacar,. La cantidad de grupos distintos de 3 remeras que puede
llevar se puede calcular mediante:
C8;3=8!/3!.(8-3)!=40320/720=56
Si disponen de una calculadora científica que incluya la tecla nCr , pueden
verificar el resultado oprimiendo la siguiente secuencia: 8 nCr 3= 56
1. ¿De cuántas formas distintas se puede seleccionar una
comisión de 4 alumnos en un curso de 25?
2. Jésica va de compras a una liquidación de remeras en la
que venden 3 por $10. Si hay 7 modelos distintos, ¿De
cuántas formas distintas puede seleccionar 3 remeras?
3. En una inmobiliaria hay 10 empleados y se organizan
guardias de 3 personas para los días domingo, en forma
rotativa, de modo que sea equitativo para todos los
empleados.
4. Un domingo coincidieron Esteban, Gonzalo y Cecilia y se
hicieron muy amigos ¿Dentro de cuántos domingos
volverán a coincidir en la guardia?
RESUMEN DE FÓRMULAS
COMBINACIONES
Cba 
b!
a ! . (b  a) !
VARIACIONES
Vba 
PERMUTACIONES
b!
(b  a) !
PB  b !
Ejercicios de aplicación
Antes de comenzar a resolver problemas es necesario saber distinguir si
se trata de un cálculo de combinaciones, permutaciones o variaciones.
a) El plantel de un equipo de fútbol cuenta con 8 volantes. Para el
partido del domingo, el director técnico debe elegir a 3 de ellos. ¿De
cuántas maneras pueden ser elegidos?
b) ¿De cuántas maneras posibles pueden ubicarse 3 automóviles en
una playa de estacionamiento que tiene 5 lugares disponibles?
P4
c) Interpretar los siguientes enunciados e indicar (sin resolver) si se
trata de combinaciones, permutaciones o variaciones.
45
1) Una persona asiste a un criadero de perros. Hay 7 cachorros de su
agrado, pero sólo dispone en su casa de espacio suficiente para tener
2. ¿De cuántas maneras puede elegir 2 de los 7 cachorros?
2) En un estante pueden colocarse 12 videos cassettes. ¿De cuántas
maneras pueden ubicarse?
3) ¿De cuántas maneras pueden ubicarse 5 personas en una fila?
4) ¿Cuántas posibilidades hay de elegir 4 candidatos a un mismo cargo
entre 10 postulantes ?
5) En un recital, el cantante solista interpretará 7 temas. ¿De cuántas
maneras diferentes puede ubicar cronológicamente sus canciones en
ese recital?
6) Seis atletas (A, B, C, D, E, F) van a competir en una carrera de 200
metros. El ganador será premiado con una medalla de oro y el
segundo con una de plata. El tercero con una de bronce. ¿De cuántas
maneras pueden repartirse los 3 premios entre 6 atletas
participantes?
7) Recuerdas la característica del número telefónico de un amigo y los
dos números siguientes: 753 – 48 - -, pero olvidaste las dos cifras
finales. ¿Cuántos números telefónicos pueden comenzar con 753 –
48 - - ?
8) ¿De cuántas maneras distintas pueden ubicarse los 20 equipos de
fútbol de primera división en la tabla de posiciones al terminar un
campeonato?
9) Una persona tiene que elegir 3 libros entre 9 que son de su interés.
¿Cuántas elecciones diferentes puede hacer?
10) Un muchacho observa que en su placard hay 10 camisas. Desea
seleccionar 7 para utilizar una en cada día de la semana siguiente.
¿Cuántas elecciones puede hacer?
4. probabilidad de sucesos
para leer
¿Lloverá mañana? ¿El premio del gordo de año nuevo terminará en 5? ¿Se
producirá algún accidente de aviación el mes entrante? ¿Conseguiré estudiar el
temario completo del próximo examen?
46
Así, en nuestra vida aparecen centenares de acontecimientos cuya realización
es incierta. El grado de incertidumbre (es decir de ausencia, certeza o
seguridad) suele ser menor o mayor, según el caso.
A esos sucesos que dependen del azar se los llama aleatorios y, justamente, la
teoría encargada de medir hasta qué punto un suceso ocurra o no, es la de la
Probabilidad.
En muchos casos se trata de predecir un acontecimiento futuro teniendo en
cuenta experiencias anteriores. Así es que la teoría de la Probabilidad es
ayudada por las Estadísticas.
La probabilidad es entonces, la medida que señala hasta qué punto puede o no
ocurrir un determinado suceso.
Matemáticamente se define como el cociente que resulta de dividir el número
total de casos favorables por la suma de todos los casos, igualmente posibles,
sean éstos favorables o no.
Probabilidad =
Total de casos
favorables
Total de casos
posibles
 Resultados esperados
 Resultados igualmente posibles
Por ejemplo: ¿Qué probabilidad hay que caiga en cara una moneda que se arrojó
al aire?
En este caso, es evidente que la moneda caerá mostrando cara o cruz todas las
veces que la arrojemos, puesto que no hay más casos posibles en un tiro.
O sea que la probabilidad de que caiga en cara es igual que la de que caiga en
cruz.
casos favorables 1
  0,5
casos posibles
2
casos favorables 1
Probabilidad que caiga en cruz 
  0,5
casos posibles
2
Probabilidad que caiga en cara 
La relación de probabilidad siempre está entre 0 y 1.
Probabilidad 0

Probabilidad 1

Implica la imposibilidad total de que ocurra un
determinado suceso. Por ejemplo que mañana el río
Paraná se seque.
Es la seguridad total de que ocurra un suceso. Por
ejemplo que una persona que en la actualidad viva,
47
algún día muera.
Así, entre 0 y 1 se dan todos los grados de de probabilidad, cuanto más
cercano a 0, el suceso será poco probable y cuanto más cercano a 1, más
probable, hasta llegar a ser casi seguro o completamente seguro si llega a 1.
1) Si del mazo se extraen 3 reyes: ¿Cuál es la probabilidad de extraer
el rey que falta?
2) ¿Qué probabilidad hay de extraer el 4 de copas?
3) Se separan del mazo los comodines, las copas y los bastos. ¿Qué
probabilidad hay de extraer, de entre las cartas que quedan, el as de
espadas?
Ejercicios de aplicación
a) ¿Cuál es la probabilidad de...
1)... obtener un 5 al arrojar un dado?
2)... sacar un as de un mazo de 40 cartas españolas?
3)... sacar una carta de basto de un mazo de 40 cartas españolas?
4)... obtener 3 caras al arrojar 3 monedas al aire?
b) Enuncia 3 ejemplos de imposibilidad (probabilidad 0) y 3 de certeza
(probabilidad 1).
Es posible estimar la probabilidad de que ocurra un suceso antes de
efectuar una experiencia, siempre y cuando el instrumento aleatorio
presente características de regularidad, por ejemplo, un dado; pero si es
irregular, por ejemplo unas chinches o un dado defectuoso, sólo puede
valorarse la probabilidad de que ocurra un suceso de experimentar
reiteradamente.
48
Unidad 5:
“Límite”
1. aproximación intuitiva al concepto de límite
2.límite de una función en un punto
3. límites en el infinito
4. cálculo de límite
Propiedades de los límites
5. indeterminaciones
6. indeterminación del tipo 00
7. indeterminación del tipo
8. indeterminación del tipo
Autoevaluación



1. aproximación intuitiva al concepto de límite
Para leer
En este capítulo comenzaremos a manejar algunas herramientas del cálculo
diferencial, empezando por el concepto de límite
Tanto en la relación con este concepto como con muchos otros de los que
trataremos, no trabajaremos con definiciones y demostraciones formales,
sino con aproximaciones intuitivas que nos permitirán aplicar algunas de sus
propiedades en la profundización del estudio de funciones.
49
Cuando los valores de x se
aproximan a 5 “por la derecha “,
f(x) toma valores cada vez
mayores.
Decimos entonces que el límite de f(x)
cuando x tiende a 5 por la derecha tiende
a más infinito” y lo simbolizamos de la
siguiente manera:

lim
x 5
f ( x)  

Cuando los valores de x se
aproximan a 5 “por la izquierda “, f(x) toma valores cada vez
menores.
Decimos entonces que el límite de f(x) cuando x tiende a 5 por la
izquierda tiende a menos infinito” y lo simbolizamos de la siguiente
manera:

lim
f ( x)  
x 5 
Cuando los valores de x son cada vez mayores, f(x) toma valores cada
vez más cercanos al 3.
Decimos entonces que “el límite de f(x) cuando x tiende a más infinito es
3” y lo simbolizamos de la siguiente manera:

lim
f ( x)  3
x  
Cuando los valores de x son cada vez menores, f(x) toma valores cada
vez más próximos al 3.
Decimos entonces que “el límite de f(x) cuando x tiende a menos infinito
es 3” y lo simbolizamos de la siguiente manera:

50
lim
f ( x)  3
x  
1.Completen
a)
lim
f ( x)  ............
lim
f ( x)  ............
lim
f ( x)  ............
lim
f ( x)  ............
x 0 
x 0 
x 
x 
b)
lim
f ( x)  ............
lim
f ( x)  ............
lim
f ( x)  ............
lim
f ( x)  ............
x 2 
x 2 
x 
x 
2. límite de una función en un punto
1. Realicen las gráficas de las siguientes funciones y luego
completen:
a) f :    / f ( x)  x 2
lim x
2
 ............
lim x
2
 ............
x 2 
x 2

51
X
1,9 1,99 1,999 2 2,001 2,01 2,1
F(x)
b) g :   2   / g ( x)  2x  1
lim (2 x  1)  ............
x 2 
lim 2 x  1  ............
x 2 
X
1,9 1,99 1,999 2 2,001 2,01 2,1
g(x)
x  1  x  2
c) h :    / h( x)  
2 x  x  2
lim 2x  ............
x 2 
lim ( x  1)  ............
x 2 
X
1,9 1,99 1,999 2 2,001 2,01 2,1
h(x)
52
Cuando calculamos el límite de una función en un punto de la abscisa x=a,
pueden presentarse las siguientes situaciones
a pertenece al dominio de f y f es
continua en dicho punto. En este caso, el
límite coincide con la imagen de a
a no pertenece al dominio de f y los límites laterales coinciden.
La función tiene límite en ese punto.
a pertenece al dominio de f y los límites laterales
no tiene límite en ese punto.
53
no coinciden. La función
2. Calculen los siguientes límites
a) lim 3x  2 =
x 2
b)
lim x
2

2 
x0,5
c)
lim x  2  x  
2
x 3
d)
3x  4
lim x
lim 2 
2
x 1
e)

x
x 2
2. Grafiquen cada una de las funciones y calculen
2 x  x  3
a) f ( x)  
3x  3  x  3
5  x  3
b) f ( x)   2
x  5  x  3
2 x  x  3
c) f ( x)  
 x  3  x  3
3. Grafiquen las funciones y completen las tablas
a) f :   0   / f ( x) 
lim
x 0 
1
x
1
 ............
x
54
lim
x3
f ( x)
.
lim
x 0 
1
 ............
x
X
-0,1 -0,01 -0,001 0 0,001 0,01 0,1
f(x)
b) a) f :   0   / f ( x) 
lim
1
 ............
x2
lim
1
 ............
x2
x 0 
x 0 
1
x2
X
-0,1 -0,01 -0,001 0 0,001 0,01 0,1
f(x)
Para leer
55
4. Para cada una de las siguientes funciones indiquen el dominio, el
conjunto imagen y los límites pedidos.
5. Calculen los límites de cada función en aquellos puntos donde no
pertenezcan a su dominio.
x2
x2
x
b) g ( x) 
x4
1
c) h( x)  2
x 1
a) f ( x) 
56
3. límites en el infinito
a) f :   1   / f ( x) 
3x
x 1
x
F(x)
10
100
1000
10000
100000
x
F(x)
-10
-100
-1000
-10000
-100000
lim
f ( x)  ............
lim
f ( x)  ............
x 
x 
b) f :    / f ( x)  x 2  1
x
F(x)
10
100
1000
10000
100000
x
F(x)
-10
-100
-1000
-10000
-100000
lim
f ( x)  ............
lim
f ( x)  ............
x 
x 
57
para leer
En los siguientes ejemplos pueden observar cómo expresamos mediante
límites el comportamiento de una función cuando los valores de x crecen
indefinidamente (cuando x tiende a   ) o cuando los valores de x decrecen
indefinidamente (cuando x tiende a   )
a. Hallen los límites
1

 2    ............
lim
a) x 
x
b)
lim
x  
2
 ............
x 1
4. cálculo de límites
58
Propiedades de los límites
Para leer
Si
lim
f ( x)  m y
lim g ( x)  k , siendo m y k números reales, se verifican las
x a
x a
siguientes propiedades:
lim  f ( x)  g ( x)  m  k
lim  f ( x).g ( x)  m.k

x a

x a
 f ( x) 

m
lim  g ( x)   k
(solo si k  0)
x a
lim c. f ( x)  .cm

x a
Ejemplos
2
lim x  4 y
x 2
lim x  1  3
x 2
lim x   ( x  1)  4  3  7
lim ( x ).(x  1)  4.3  12
2
x 2
2
x 2
lim
x 2
 (x2 )  4


 ( x  1)  3
5.(x 2 )  .5.4  20
lim 

x 2
1. Calculen los siguientes límites
a) lim x 3  x 2  2 x  .........


x 3
b)
lim
x2 1
 .........
2x3  x 2  2
lim
3x 2  21
 .........
4x 2  3
x
c)
1
2
x 7
5. indeterminaciones
Para leer
59
En algunos casos nos encontraremos con que cuando intentamos hallar un
límite por cálculo directo obtenemos una expresión en la cual no es posible
concluir cuál será la tendencia. A estos casos los llamamos
indeterminaciones
Algunas indeterminaciones
Que pueden presentarse son las siguientes:


0
0
1

0
0.
00
Nos dedicaremos a trabajar con algunos recursos algebraicos que sirven
para resolver algunos casos del tipo de las tres primeras
6. indeterminación del tipo
0
0
En los ejemplos siguientes se resuelven indeterminaciones del tipo
las funciones racionales.
lim
x 2
x  2. x  2 
x2  4
 lim
x  2  4 (aplicamos propiedad
lim
x2
x2
x 2
x 2
cancelativa)
1) Calculen los siguientes límites
3x  9

2
x 3 x  9
x2  x

b) lim
x  1 2 x  2
x 3  25x

c) lim 2
x  5x
x 5
x 2  4x  4

d) lim 2
x 2 x  5 x  6
a) lim
7. indeterminación del tipo


60
0
para
0
En el siguiente ejemplo se resuelve una indeterminación del tipo
3
x  2x

2 x 2  3 lim
x 
3
lim
x 
x
2x
 2
2
x
x 
2
2x
3 lim
x 

2
2
x
x





2
x
x 
3
2 2
x

2
dividiendo a cada término por la potencia más grande del denominador .
1) Calculen los siguientes límites
3x  2

a) lim
6x
x 
5x 2  4

b) lim 2
x  x  3 x
5x 3  x

c) lim 2
x  x  2 x
4 x  3x 2
d) lim 3

x  5 x  2 x
8. indeterminación del tipo   
En el siguiente ejemplo se resuelve una indeterminación del tipo   
 2





5
5



2
 3x 2  5 x  
x
3


x .lim  3    



lim
lim
lim

 x  
x
x
x 
x  



 


  x
3
extraemosf actorcomun
1) Calculen los siguientes límites
a) lim 2 x  5 x 2 
x 


lim 3x  3x  
lim  x  5x  
b)
3
x 
c)
2
x
Bibliografía
61
Carpeta de matemática I, Carlos Abdala-Mónica Real-Claudio
Turano, editorial Aique.
 Carpeta de matemática II, Carlos Abdala-Luis Garaventa Claudio
Turano, editorial Aique.
 Matemáticas , Bachillerato 1, Miguel de Guzmán y otros,
editorial Anaya.

62