Funciones reales de variable real.

DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS.
APUNTES DE AULA.
Año académico: 2006-2007
I.E.S. “La Ería”
Departamento Didáctico de
Matemáticas
Nivel: ESO
2º ciclo
Tema: Funciones reales de variable real.
Complementos teórico-prácticos.
Realizados por: D. Juan José Menéndez Díaz, Ldo. en CC. Físicas por la U.C.M. y profesor agregado de Matemáticas en E.S.
Funciones.
Funciones Reales de variable Real.
Definición: Es una aplicación entre dos conjuntos de números reales.
f AB
x

y  f(x)
Donde:
 A se le denomina Dominio de Definición de la función. Conjunto donde toma valores la variable x.
 B se le denomina Imagen o Recorrido de la función. Conjunto de valores devueltos
por la función.
 x se denomina Variable independiente, valores que se toman para sustituir en la
fórmula.
 y se denomina Variable dependiente, valores resultantes del cálculo.
(≡) Dominio de definición: es el conjunto de valores reales para los cuales la función
existe y está bien definida. Dom f(x)  x   / f (x)  y está bien definida..
OBSERVACIONES:
 Que esté bien definida significa que no haya dobles valores de y para un valor fijo
de x, que y no sea  para ningún valor de x, y que y sea siempre real.
 Ejemplos:
 f (x)  x , no está bien definida para todos los valores de x
negativos, ya que en esos casos la raíz no es un número real.
x 2  4 si x  0
f
(
x
)


, no está bien definida en x = 0, ya que para

5x  2 si x  0
ese valor de x, la función toma los valores –4 y 2.
2x  1
 f (x) 
, no está bien definida en x = 3, ya que para ese valor de
x 3
x la función toma el valor .
 Que exista significa exactamente eso.
 Ejemplo:
 f (x)  loga x , no existe para los valores de x negativos, y además
para x = 0 toma el valor , dependiendo de que a sea mayor que uno,
o menor que uno.
Adaptaciones nivel 3.
Página.- i
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 Además depende también de la naturaleza del problema.
 Ejemplo:
 f ( x )  v0 x  1 gx 2 , existe y está bien definida para todo valor de x,
2
pero si x representa el tiempo entonces solo está bien definida para
valores de x positivos.
Clasificación de las Funciones Reales de Variable Real.
Enteras: Polinomios.
Racionales:
Fraccionarias: Cociente
de polinomios.
Explícitas: La variable y
está despejada.
Irracionales: Raíces de polinomios
Algebraicas:
 Analíticas:
Implícitas: La variable y
no está despejada.
 Trascendentes: Trigonométricas.
Exponencial.
Logarítmica.
Hiperbólicas.
Etc.
 Empíricas:
...
Funciones dadas en tablas, gráficas,
experimentales o de laboratorio, etc. ...
Pasos a seguir en el estudio analítico y gráfico de una función.
i.-)
ii.-)
iii.-)
iv.-)
v.-)
vi.-)
vii.-)
viii.-)
Dominio y Recorrido de la función.
Signo de la función por zonas y puntos de corte con los ejes.
Continuidad. (Posibles puntos de discontinuidad, y clase de la misma)
Comportamiento asintótico. (Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas)
Monotonía. (Zonas de crecimiento y decrecimiento)
Máximos y mínimos absolutos y relativos.
Concavidad. (Zonas donde es cóncava hacia arriba y hacia abajo)
Puntos de inflexión. (Puntos donde cambia la concavidad)
Adaptaciones nivel 3.
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Desarrollo y estrategias para cada uno de los pasos.
i.-) Estrategias para el estudio del Dominio:
i.a.-) Gráficamente:
 Donde no haya gráfica de la función, esos puntos o intervalos no pertenecen al dominio.
 Los valores de, o intervalos de, x donde una vertical por ellos corte a la
gráfica en más de un punto, no pertenecen al dominio.
 Los valores de x donde la gráfica explote, no pertenecen al dominio.
i.b.-) Analíticamente:
 Tipo de función: polinomio Pn (x) .
 y está bien definida  x    Dom f(x)   .

P (x)
 Tipo de función: cociente de polinomios n
.
Qm (x)

 y está bien definida para todos los valores de x que no anulen el
polinomio denominador  Dom f(x)    x   / Qm (x)  0.


Tipo de función: raíz de un polinomio p Pn (x) .
 y está bien definida siempre que el índice de la raíz sea impar, es decir
 Dom f(x)   . Si p es par, entonces no está bien definida para los
valores de x que hacen que el polinomio sea negativo, es decir
 Dom f(x)   - x  /Pn (x)  0.
Pn ( x )
.
Qm ( x )

Si el índice es impar  y está bien definida para todos los reales menos
para aquellos valores que anulen el polinomio denominador, es decir,
 Dom f(x)    x   / Qm (x)  0 Si el índice es par, entonces no
está bien definida para los valores de x que hacen que el radicando sea negativo y tampoco para aquellos valores de x que hacen que el denomina

P (x)
dor se anule  Dom f(x)    x   / Qm ( x )  0 x   / n
 0
Qm (x)


ii.-) Estrategias para el estudio del signo y los puntos de corte:
ii.a.-) Gráficamente:
 Siempre que la gráfica esté por encima del eje OX , la función se define
positiva. Habrá más de un intervalo en el que lo sea, se ponen entonces
todos ellos abiertos y unidos por el símbolo  de unión de conjuntos.
 Siempre que la gráfica esté por debajo del eje OX , la función se define
negativa. Habrá más de un intervalo en el que lo sea, se ponen entonces
todos ellos abiertos y unidos por el símbolo  de unión de conjuntos.
 Para los puntos de corte solo hay que mirar dónde la gráfica corta a los
ejes.

Tipo de función: raíz de un cociente de polinomios
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Página.- i
p
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ii.b.-) Analíticamente:
 Se debe resolver la inecuación correspondiente, f(x)<0 o f(x)>0.
 Para los puntos de corte.

Con el eje OX serán los valores de x que hacen que f(x) = 0.

Con el eje OY será el valor que toma f(x) para x = 0.
iii.-) Continuidad:
iii.a.-) Gráficamente:
 Es continua siempre que no tengamos necesidad de levantar el lápiz para
seguir el trazado de la gráfica.

La discontinuidad puede ser puntual o por intervalos.
iii.b.-) Analíticamente:
 ¿Dónde localizar los posibles puntos de discontinuidad?:

En los puntos que no pertenecen al dominio.

En los límites de zona de los intervalos que no pertenecen al dominio.

En los puntos donde cambia la definición de una función, cuando la
definición de ésta viene dada por zonas.
iv.-) Asíntotas: son rectas hacia las cuales se acerca la función en el infinito, pero sin
llegar a alcanzarla. Hay tres tipos de asíntotas, verticales, horizontales y oblicuas.
iv.a.-) Gráficamente:
 Observar si la gráfica se acerca hacia una recta vertical, asíntota vertical
de ecuación x = cte., hacia una recta horizontal, asíntota horizontal de
ecuación y = cte., o hacia una recta inclinada, asíntota oblicua de ecuación y = mx + b.
iv.b.-) Analíticamente: requiere de un análisis muy pormenorizado, su estudio
se hará aparte.
v.-) Monotonía:
v.a.-) Gráficamente:
 Se trata de ver dónde la gráfica tiende hacia arriba, , o hacia abajo, .

Si tiende hacia arriba es estrictamente creciente en el intervalo.

Si tiende hacia abajo es estrictamente decreciente en el intervalo.

Si permanece horizontal es constante en el intervalo.
v.b.-) Analíticamente:
 La forma más sencilla es estudiando el signo de la derivada.
 Como aún no sabemos derivar, haremos lo siguiente:
f (x  h)  f (x)
A
se le denomina cociente incremental o Tasa de Variax  h   x
f ( x ) f ( x  h )  f ( x )

ción Media, T.V.M. 
y entonces:
x  h   x
x

Se trata de construir tablas de valores x, f (x) , con incrementos de x pequeños, y ver dónde la T.V.M. aumenta o disminuye, o bien dónde es positiva y dónde negativa, de modo que:

Donde sea positiva la función es creciente.
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

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Donde sea negativa la función es decreciente.
Donde sea nula la función es constante.
vi.-) Máximos y mínimos absolutos y relativos:
vi.a.-) Gráficamente:
 Donde la función sea continua y pase de crecer a decrecer, habrá un máximo relativo.
 Donde la función sea continua y pase de decrecer a crecer, habrá un mínimo relativo.
 Donde la función llegue a un punto por debajo del cual queda situada toda
la gráfica, habrá un máximo absoluto, siempre que la función no explote.
 Donde la función llegue a un punto donde por encima del cual quede situada toda la gráfica, habrá un mínimo absoluto, siempre que la función no
explote.
vi.b.-) Analíticamente:
 La forma más sencilla es estudiando la derivada, para los valores de x que
hacen que la derivada se anule tendremos posibles valores de máximo o
mínimo relativos.
 Como no sabemos derivar haremos uso de las tablas de T.V.M., y donde
pase de ser positiva a negativa, podría haber un máximo relativo.
 Del mismo modo, donde pase de ser negativa a positiva, podría haber un
mínimo relativo.
vii.-) Concavidad:
vii.a.-) Gráficamente:
 Donde la curvatura de la gráfica mire hacia arriba, será cóncava hacia arriba.
 Done la curvatura de la gráfica mire hacia abajo, será cóncava hacia abajo.
vii.b.-) Analíticamente:
 Ahora sí que el hecho de desconocer las derivadas nos imposibilita a realizar el estudio de un modo sencillo, con lo que no lo haremos hasta no haber
aprendido a derivar.
viii.-) Puntos de inflexión:
viii.a.-) Gráficamente:
 Son aquellos puntos donde la concavidad de la función cambia, siendo la
función continua en ellos.
viii.b.-)Analíticamente:
 Nos volvemos a encontrar con el mismo problema de antes, por lo que lo
dejaremos pasar para tiempos mejores.
Adaptaciones nivel 3.
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Funciones
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Clasificación de los puntos de discontinuidad.
1.)
Primer grado, o evitable. Se suele dar en los siguientes casos:
1.a) Cuando por error hemos dejado sin definir un punto. Por ejemplo:
 x  1 si x  5

si 5  x  7 , en este caso el punto x = 5 ha que dado sin defi f (x)  6
13  x si x  7

 x  1 si x  5

si 5  x  7 .
nir, para evitar la discontinuidad basta con hacer f (x)  6
13  x si x  7

1.b) Cuando por error damos un valor que no corresponde en el punto, por
ejemplo:
 x  1 si x  5

si x  5 , ya que por la izquierda de 5 toma el valor 6 y por la
 f (x)   6
13  x si x  5

derecha también, luego sería lógico decir que en 5 debería tomar el valor 6, y
no –6 como figura.
2.)
Segundo grado, primera especie, o inevitable de salto finito. Se suele dar
en el caso:
2.a) La función está definida por zonas y en el límite de alguna zona no coinciden
los valores por la derecha y por la izquierda, por ejemplo:
 x  1 si x  5

si 5  x  7 , se ve que por la izquierda de 5 toma el valor 6
 f (x)  6
13  x si x  7

y por la derecha el valor –6, hay un salto de 12 unidades. Lo mismo pasa en
7.
3.)
Segundo grado, segunda especie, o salto infinito. Se suele dar en los casos:
3.a) En funciones definidas por zonas, cuando en alguna de las zonas la función
explota, o cuando en alguno de los límites de zona la función explota, por
ejemplo:

x  1
si x  5

si 5  x  7 , en este caso al acercarnos a 7 por la derecha
 f (x)  6
13  x

si x  7
 x  7
la función explota a .
Adaptaciones nivel 3.
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
x  1
si x  5

 f (x)  6
si 5  x  7 , en este caso en los límites de zona no hay
13  x

si x  7
 x  12
problemas, pero en la zona III, es decir, para x ≥ 7, en x = 12, la función
explota.
3.b) En todas aquellas funciones definidas en forma de fracción cuando el
denominador se anula, por ejemplo:
2x  1
 f (x) 
, cuando x 2  1  1, la función explota, es decir, cuando
2
log x  1




x   2.
Estudio del comportamiento asintótico de algunas funciones.
 ¿Cuándo hay, o puede que haya, asíntotas verticales?.
 Casi siempre en los puntos x donde la función explota, por ejemplo:
2x  5
f (x)  2
, tiene asíntotas verticales x = 2 y x = 3, ya que para esos valores
x  5x  6
de x la función explota.
 ¿Cuándo hay, o puede que haya, asíntotas horizontales?.
 Siempre que la función se defina como un cociente de polinomios de igual grado, o
de grado mayor el denominador que el numerador, por ejemplo:
2x 2  5
, en este caso hay una asíntota horizontal, la recta y = 2.
f (x)  2
x  6x  2
x7
g( x )  4
, en este caso hay una asíntota horizontal, la recta y = 0.
x  6x 3  2x  10
Resumiendo:
 Funciones definidas como cociente de polinomios:
 Si los polinomios son de igual grado habrá una asíntota horizontal y = cociente
entre los coeficientes de los término de mayor grado.
7 x 2  5x
Ejemplo: f ( x ) 
asíntota y = 7/3.
3x 2
 Si los polinomios no son del mismo grado, siendo el del denominador mayor
que el del numerador, habrá una asíntota horizontal y = 0.
Ejemplo: f ( x) 
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28x 3  5x 2  17
asíntota y = 0.
x 5  7x 4  12x  1
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c) ¿Cuándo hay, o puede que haya, asíntotas oblicuas?.
 Siempre que tengamos una función definida como cociente de polinomios, y el
grado del polinomio numerador sea uno mayor que el del denominador.
5x 3  2x 2  3x  5
Ejemplo: f (x) 
en este caso hay una asíntota oblicua de ecuax 2  3x  2
ción y = a x + b, siendo:
 a = al cociente entre los coeficientes de los términos de mayor grado que queden
tras dividir la función por x, así:
5
f ( x ) 5x 3  2x 2  3x  5

, con lo que a   5 .

3
2
1
x
x  3x  2x
 b = al cociente entre los coeficientes de los términos de mayor grado que queden
tras efectuar la operación f (x)  ax , así:
5x 3  2x 2  3x  5
5x 3  2x 2  3x  5  5x 3  15x 2  10x 13x 2  7x  5

5
x

 2
x 2  3x  2
x 2  3x  2
x  3x  2
Con lo que en nuestro caso b = 13.
 La ecuación de la recta asintótica oblicua es: y  5x  13
Sabiendo manejar el cálculo con límites, podríamos resumir:
a) Hay asíntotas verticales cuando:
1) Dado un valor de x concreto, x0:
i.-  Lím f ( x)  Lím f ( x)  
x x 0
ii.-
x x 0
 Lím f (x)  Lím f (x) , y uno de los dos no es finito.


x x 0
x x 0
La recta de ecuación x = x0 es una asíntota vertical.
b) Hay asíntotas horizontales cuando:
i.-  Lím f ( x )  L1 , siendo L1un valorfinito. La ecuación de la asíntota horix 
ii.-
zontal será y = L1, y si L1 = 0, entonces es el eje de abscisas.
 Lím f ( x )  L 2 , siendo L 2 un valorfinito. La ecuación de la asíntota hori-
iii.-
zontal será y = L2, y si L2 = 0, entonces es el eje de abscisas.
 Lím f ( x )  Lím f ( x )  L , en este caso habría una única asíntota horizon-
x 
x 
x 
tal común a toda la gráfica.
c) Hay asíntotas oblicuas cuando:
f (x)
 L  0 , en cuyo caso:
1)  Lím
x  x
f (x)
L
i.- a  Lím
x  x
2)  Lím f ( x )  ax  b
x  
i.-
La ecuación de la asíntota será: y  ax  b
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