187
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
ESQUEMA.
2º Bachillerato Humanidades y Ciencias Sociales
_____________________________________________________
Sea f(x) una función real de variable real. Para obtener la representación
gráfica de la misma es aconsejable seguir los siguientes pasos:
1- OBTENCIÓN DEL DOMINIO.
En este apartado, además de encontrar el dominio de la función,
podemos
encontrar, si los tiene, los puntos de discontinuidad de tipo infinito, que darán
lugar a las asíntotas verticales. El dominio nos indica las ramas que va a tener la
gráfica, ésta tendrá tantas ramas como intervalos tenga el dominio.
Ej: Si Df=  ,2   2,0   3,  la gráfica tendrá 3 ramas
-2
1º rama
0
2º rama
3
3º rama
PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES.
Hallamos los puntos de corte de la función con los ejes de coordenadas.
Planteamos dos sistemas
Con el eje OY
y  f (x )
  (0, f (0))
x0 
Con el eje OX
y  f (x )
  (....,0)
y 0 
ASÍNTOTAS.
Las asíntotas de una función son rectas por las cuales la gráfica de la
misma tiende al infinito.
Una función f(x) puede presentar las siguientes asíntotas:
- Verticales
188
- Horizontales
- Oblicuas.
En el caso de que presente asíntotas horizontales, no presentará
oblicuas.
Asíntotas verticales.
Las asíntotas verticales de una función, si es que tiene, se localizan en
los puntos x=a donde la función tiende a   . Podemos decir que las asíntotas
verticales de una función son las rectas x=a donde el punto x=a es un punto de
discontinuidad del tipo infinito de la función.
Para
hallar
las
asíntotas
verticales,
nos
fijamos
en
el
dominio
Df   ,a  a,b  b, . Las posibles asíntotas verticales se encuentran en los
extremos de los intervalos del dominio (x=a, x=b). Para comprobar si son a.v. hallamos
la imagen de dichos extremos mediante la función f(x) (f(a), f(b)) Si dicha imagen es
f(a)=    x=a es asíntota vertical
La gráfica de la función nunca cortar a una asíntota vertical.
Cuando la rama de la gráfica se acerca a la asíntota, ésta tiende al  
x=a
Asíntotas Horizontales.
Las asíntotas horizontales de una función, si las tiene, se calculan
hallando el límite en   , si este límite es un número k, la recta y = k es una asíntota
horizontal, es decir,
" La recta y = k es una asíntota horizontal de la función f(x) si existe
alguno de los siguientes límites:
lim
x  
f(x) = k
lim
f(x) = k
x  
"
Una función f(x) tiene como máximo dos asíntotas horizontales,
correspondientes a cada uno de los límites en   .
La gráfica de la función puede cortar a la asíntota horizontal en uno o
varios puntos. No obstante, en la mayoría de las funciones elementales, la gráfica
permanece por encima o por debajo de la asíntota horizontal a partir de un punto.
189
Asíntotas Oblicuas.
Por su nombre, es una recta que no es ni vertical ni horizontal, por
tanto su ecuación tiene la forma
y = mx + n
"La recta y = m x + n con m  0, es una asíntota oblicua de la
función f(x) si existen los siguientes límites:
f (x )
estos límites son con x  
x
n  limf (x )  mx )
m  lim
Una determinada función puede tener dos asíntotas oblicuas distintas,
dependiendo de la existencia de estos límites, según la x tienda a   .
Si una función f(x) presenta asíntotas horizontales, no presentar
asíntotas oblicuas.
La gráfica de la función puede cortar a la asíntota oblicua en uno o
varios puntos.
Ejemplos:
Hallar las asíntotas de las siguientes funciones:
a) f (x ) 
x2
x2  1
b) g( x ) 
x2  1
x
Solución.
a)
1) Asíntotas verticales:
Tienen la forma x=p con p punto de discontinuidad de
tipo infinito.
Los valores que hacen f(x) infinito son los que hacen
x2-1=0  x =  1  Hay dos asíntotas
verticales  x=1, x=-1
2) Asíntotas horizontales:
Tienen la forma y = q con
q = lim
f(x) = lim
x 
x2
1  y = 1
x2  1
190
3) Asíntotas oblicuas:
No hay.
b) Asíntotas de g(x).
1) Asíntotas verticales:
Buscamos los puntos de discontinuidad de tipo infinito.
Estos puntos son los que hacen x=0 =>
=> Hay una asíntota horizontal x=0
2) Asíntotas horizontales:
Tiene la forma y = q con
q = lim g(x) = lim
x 
x2  1
   No hay
x
3) Asíntotas oblicuas:
Tienen la forma y = m x + n donde
x2  1
g(x )
x2  1
m  lim
 lim x  lim
 1  m=1
x
x
x2
 x2  1

x2  1  x2
n  limg(x )  mx   lim
 x   lim
0
x
 x

 Tenemos una asíntota oblicua y = x
EXTREMOS.
En la práctica, seguiremos los siguientes criterios para encontrar (si los tiene) los
extremos relativos de una función f(x).
1- Hallar f'(x).
2- Obtenemos los puntos donde f'(x)=0. Estos valores son los
candidatos a extremos de la función, siempre que estén en su
dominio.
3- Calculamos f''(x).
4- Sustituimos en f''(x) los candidatos a extremos.
Al sustituir puede ocurrir que nos de:
f''(x) > 0 => Tenemos un mínimo en (x,f(x)).
f''(x) < 0 => Tenemos un máximo en (x,f(x))
f''(x) = 0 => pasamos al punto 5.
5- Calculamos f'''(x).
191
6- Sustituimos en f'''(x) los candidatos a
sustituir puede ocurrir que de:
f'''(x)
-
extremos que f''(x)=0. Al
 0 =>Tenemos un Punto de Inflexión (x,f(x)).
Si f'''(a) > 0, entonces la función tiene en (a,f(a) un punto de
inflexión convexo-cóncavo.
Si f'''(a) < 0, entonces la función tiene en (a,f(a)) un punto de
inflexión cóncavo-convexo.
f(a)
f(a)
a
a
CONVEXO-CÓNCAVO
CÓNCAVO-CONVEXO
f'''(x) =0 => pasamos al siguiente punto.
7.- Calculamos fiv(x)...........
Ejemplo:
Hallar los extremos relativos de la función y = x 3 – 3x2 + 4.
Solución:
1- Hallamos f’(x) = 3x2 – 6x
2- Igualamos f’(x)=0  3x2 – 6x = 0  Los candidatos a extremos son
las raíces de esta ecuación x = 0, x = 2.
3- Hallamos f’’(x) = 6x – 6
4- Sustituimos en f’’(x) los candidatos y observamos el signo del
resultado:
f’’(0) = -6 < 0  f(x) presenta un máximo en (0,f(0)) = (0,4)
f’’(2) = 6 > 0  f(x) presenta un mínimo en (2,f(2)) = (2,0)
Si dibujamos la curva, tendremos:
(0,4)
(2,0)
192
Hallar los puntos de inflexión, si tiene, de la función f(x) = x4 - 6x2
Solución.
1.- Hallamos f''(x).
f'(x) = 4x3-12x => f''(x) = 12x2-12
2.- Hallamos los candidatos a puntos de inflexión
f''(x) = 0 => 12x2-12 = 0 => x =

1
=> tenemos dos candidatos.
3.- Hallamos f'''(x).
f'''(x) = 24x
4.- Sustituimos en f'''(x) los candidatos.
f'''(1) = 24 = 0  Punto de inflexión convexo-cóncavo en (1,-5)
f'''(-1) = -24 = 0  Punto de inflexión cóncavo-convexo en (-1,5).
MONOTONÍA.
La gráfica de la mayoría de las funciones, es una línea que sube o baja
alternativamente, es decir, crece o decrece.
Estudiar la monotonía de una función f(x) es hallar los intervalos en los
que sólo es creciente o sólo decreciente.
Debemos encontrar un método que nos permita saber en qué intervalos
crece y en cuáles decrece, ya que la definición anterior es útil cuando sepamos los
intervalos.
En la práctica, utilizaremos el siguiente postulado:
" f(x) crece en los puntos x  Df / f'(x) > 0
f(x) decrece en los puntos x  Df / f'(x) < 0 "
En este apartado estudiamos los intervalos de crecimiento decrecimiento de la
función. Para ello, consideramos el dominio de la función, y lo subdividimos en más
intervalos, introduciendo los candidatos a extremos. De cada intervalo, tomamos un
punto que sustituimos en la función derivada, si el resultado es positivo, la función
es creciente en dicho intervalo, y si es negativo, ser decreciente.
Ejemplos:
1.- Representar gráficamente la función f(x) =
Solución.
Vamos a seguir el esquema propuesto:
x2
x2  1
193
1.- Dominio.
Df = { x  R / x2-1
 0 } = R-{  1} = (-  ,-1)U(-1,1)U(1,+  )
La función está definida en todos los reales menos en los puntos
x = -1, x = 1, donde presenta discontinuidad de tipo infinito La
gráfica presentará tres ramas, una en cada intervalo
2.- Corte con los ejes.
x2 

Con el eje OY 
x 2  1  y  0  (0,0)

x0

y
x2 
y 2 
Con el eje OX 
x  1  x  0  (0,0)

y0

3.- Asíntotas.
a) A. verticales  tienen la forma x = p con p punto de discontinuidad
de tipo infinito  tenemos dos, x = -1, x = 1
Las Asíntotas verticales también se puede ver de la siguiente
forma:
Las posibles asíntotas verticales hay que buscarlas fuera del
dominio. Tenemos x=-1, x=1.
Para ver si son a.v. hallamos sus imágenes y si dan   son
a.v.:
x=-1 es asíntota vertical pues f(-1)= 
x=1 es asíntota vertical pues f(1)= 
b) A. horizontales => tienen la forma y = q con
x2
 1  hay una asíntota horizontal  y = 1
x2  1
q = lim
Como hay asíntota horizontal, no hay asíntota oblicua.
4.- Extremos.
Calculamos la función derivada:
f ' ( x) 
2 x.( x 2  1)  x 2 .2 x
x
2

1
2

 2x
x
2

1
2
Igualamos ésta a cero, para obtener los candidatos a extremos.
f'(x) = 0  -2x = 0  x=0, como este valor está en el dominio, es
candidato a extremo.
194
Hallamos la derivada segunda:
f ' ' ( x) 
 2.( x 2  1) 2  2 x.2.( x 2  1).2 x
x
2

1
4

6x2  2
x
2

1
3
Sustituimos en f'' los candidatos:
f''(0) = -2 < 0  Tenemos un máximo en (0,0)
Veamos si la función tiene puntos de inflexión:
Para ello igualamos la derivada segunda a 0 y obtenemos, si los
hay, los candidatos a puntos de inflexión.
f''(x) = 0  6x2+2 = 0  no tiene solución en R
inflexión.
 no hay puntos de
5.- Monotonía.
El dominio de la función es (-  ,-1)U(-1,1)U(1,+  )
En
estos
intervalos
obteniendo más intervalos.
introducimos
el
candidato
x=0,
(-  ,-1)U(-1,0)U(0,1)U(1,+  )
De cada intervalo tomamos un valor y lo sustituimos en la
derivada, y vemos el resultado:
f’(x)=
 2x
x
2

1
2
(   ,-1)
(-1,0)
(0,1)
(1,+  )
+
+
-
-
CRECE
CRECE DECREC DECREC
Con estos datos podemos obtener la representación gráfica de la
función
1
-1
0
1
195
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