187 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES ESQUEMA. 2º Bachillerato Humanidades y Ciencias Sociales _____________________________________________________ Sea f(x) una función real de variable real. Para obtener la representación gráfica de la misma es aconsejable seguir los siguientes pasos: 1- OBTENCIÓN DEL DOMINIO. En este apartado, además de encontrar el dominio de la función, podemos encontrar, si los tiene, los puntos de discontinuidad de tipo infinito, que darán lugar a las asíntotas verticales. El dominio nos indica las ramas que va a tener la gráfica, ésta tendrá tantas ramas como intervalos tenga el dominio. Ej: Si Df= ,2 2,0 3, la gráfica tendrá 3 ramas -2 1º rama 0 2º rama 3 3º rama PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES. Hallamos los puntos de corte de la función con los ejes de coordenadas. Planteamos dos sistemas Con el eje OY y f (x ) (0, f (0)) x0 Con el eje OX y f (x ) (....,0) y 0 ASÍNTOTAS. Las asíntotas de una función son rectas por las cuales la gráfica de la misma tiende al infinito. Una función f(x) puede presentar las siguientes asíntotas: - Verticales 188 - Horizontales - Oblicuas. En el caso de que presente asíntotas horizontales, no presentará oblicuas. Asíntotas verticales. Las asíntotas verticales de una función, si es que tiene, se localizan en los puntos x=a donde la función tiende a . Podemos decir que las asíntotas verticales de una función son las rectas x=a donde el punto x=a es un punto de discontinuidad del tipo infinito de la función. Para hallar las asíntotas verticales, nos fijamos en el dominio Df ,a a,b b, . Las posibles asíntotas verticales se encuentran en los extremos de los intervalos del dominio (x=a, x=b). Para comprobar si son a.v. hallamos la imagen de dichos extremos mediante la función f(x) (f(a), f(b)) Si dicha imagen es f(a)= x=a es asíntota vertical La gráfica de la función nunca cortar a una asíntota vertical. Cuando la rama de la gráfica se acerca a la asíntota, ésta tiende al x=a Asíntotas Horizontales. Las asíntotas horizontales de una función, si las tiene, se calculan hallando el límite en , si este límite es un número k, la recta y = k es una asíntota horizontal, es decir, " La recta y = k es una asíntota horizontal de la función f(x) si existe alguno de los siguientes límites: lim x f(x) = k lim f(x) = k x " Una función f(x) tiene como máximo dos asíntotas horizontales, correspondientes a cada uno de los límites en . La gráfica de la función puede cortar a la asíntota horizontal en uno o varios puntos. No obstante, en la mayoría de las funciones elementales, la gráfica permanece por encima o por debajo de la asíntota horizontal a partir de un punto. 189 Asíntotas Oblicuas. Por su nombre, es una recta que no es ni vertical ni horizontal, por tanto su ecuación tiene la forma y = mx + n "La recta y = m x + n con m 0, es una asíntota oblicua de la función f(x) si existen los siguientes límites: f (x ) estos límites son con x x n limf (x ) mx ) m lim Una determinada función puede tener dos asíntotas oblicuas distintas, dependiendo de la existencia de estos límites, según la x tienda a . Si una función f(x) presenta asíntotas horizontales, no presentar asíntotas oblicuas. La gráfica de la función puede cortar a la asíntota oblicua en uno o varios puntos. Ejemplos: Hallar las asíntotas de las siguientes funciones: a) f (x ) x2 x2 1 b) g( x ) x2 1 x Solución. a) 1) Asíntotas verticales: Tienen la forma x=p con p punto de discontinuidad de tipo infinito. Los valores que hacen f(x) infinito son los que hacen x2-1=0 x = 1 Hay dos asíntotas verticales x=1, x=-1 2) Asíntotas horizontales: Tienen la forma y = q con q = lim f(x) = lim x x2 1 y = 1 x2 1 190 3) Asíntotas oblicuas: No hay. b) Asíntotas de g(x). 1) Asíntotas verticales: Buscamos los puntos de discontinuidad de tipo infinito. Estos puntos son los que hacen x=0 => => Hay una asíntota horizontal x=0 2) Asíntotas horizontales: Tiene la forma y = q con q = lim g(x) = lim x x2 1 No hay x 3) Asíntotas oblicuas: Tienen la forma y = m x + n donde x2 1 g(x ) x2 1 m lim lim x lim 1 m=1 x x x2 x2 1 x2 1 x2 n limg(x ) mx lim x lim 0 x x Tenemos una asíntota oblicua y = x EXTREMOS. En la práctica, seguiremos los siguientes criterios para encontrar (si los tiene) los extremos relativos de una función f(x). 1- Hallar f'(x). 2- Obtenemos los puntos donde f'(x)=0. Estos valores son los candidatos a extremos de la función, siempre que estén en su dominio. 3- Calculamos f''(x). 4- Sustituimos en f''(x) los candidatos a extremos. Al sustituir puede ocurrir que nos de: f''(x) > 0 => Tenemos un mínimo en (x,f(x)). f''(x) < 0 => Tenemos un máximo en (x,f(x)) f''(x) = 0 => pasamos al punto 5. 5- Calculamos f'''(x). 191 6- Sustituimos en f'''(x) los candidatos a sustituir puede ocurrir que de: f'''(x) - extremos que f''(x)=0. Al 0 =>Tenemos un Punto de Inflexión (x,f(x)). Si f'''(a) > 0, entonces la función tiene en (a,f(a) un punto de inflexión convexo-cóncavo. Si f'''(a) < 0, entonces la función tiene en (a,f(a)) un punto de inflexión cóncavo-convexo. f(a) f(a) a a CONVEXO-CÓNCAVO CÓNCAVO-CONVEXO f'''(x) =0 => pasamos al siguiente punto. 7.- Calculamos fiv(x)........... Ejemplo: Hallar los extremos relativos de la función y = x 3 – 3x2 + 4. Solución: 1- Hallamos f’(x) = 3x2 – 6x 2- Igualamos f’(x)=0 3x2 – 6x = 0 Los candidatos a extremos son las raíces de esta ecuación x = 0, x = 2. 3- Hallamos f’’(x) = 6x – 6 4- Sustituimos en f’’(x) los candidatos y observamos el signo del resultado: f’’(0) = -6 < 0 f(x) presenta un máximo en (0,f(0)) = (0,4) f’’(2) = 6 > 0 f(x) presenta un mínimo en (2,f(2)) = (2,0) Si dibujamos la curva, tendremos: (0,4) (2,0) 192 Hallar los puntos de inflexión, si tiene, de la función f(x) = x4 - 6x2 Solución. 1.- Hallamos f''(x). f'(x) = 4x3-12x => f''(x) = 12x2-12 2.- Hallamos los candidatos a puntos de inflexión f''(x) = 0 => 12x2-12 = 0 => x = 1 => tenemos dos candidatos. 3.- Hallamos f'''(x). f'''(x) = 24x 4.- Sustituimos en f'''(x) los candidatos. f'''(1) = 24 = 0 Punto de inflexión convexo-cóncavo en (1,-5) f'''(-1) = -24 = 0 Punto de inflexión cóncavo-convexo en (-1,5). MONOTONÍA. La gráfica de la mayoría de las funciones, es una línea que sube o baja alternativamente, es decir, crece o decrece. Estudiar la monotonía de una función f(x) es hallar los intervalos en los que sólo es creciente o sólo decreciente. Debemos encontrar un método que nos permita saber en qué intervalos crece y en cuáles decrece, ya que la definición anterior es útil cuando sepamos los intervalos. En la práctica, utilizaremos el siguiente postulado: " f(x) crece en los puntos x Df / f'(x) > 0 f(x) decrece en los puntos x Df / f'(x) < 0 " En este apartado estudiamos los intervalos de crecimiento decrecimiento de la función. Para ello, consideramos el dominio de la función, y lo subdividimos en más intervalos, introduciendo los candidatos a extremos. De cada intervalo, tomamos un punto que sustituimos en la función derivada, si el resultado es positivo, la función es creciente en dicho intervalo, y si es negativo, ser decreciente. Ejemplos: 1.- Representar gráficamente la función f(x) = Solución. Vamos a seguir el esquema propuesto: x2 x2 1 193 1.- Dominio. Df = { x R / x2-1 0 } = R-{ 1} = (- ,-1)U(-1,1)U(1,+ ) La función está definida en todos los reales menos en los puntos x = -1, x = 1, donde presenta discontinuidad de tipo infinito La gráfica presentará tres ramas, una en cada intervalo 2.- Corte con los ejes. x2 Con el eje OY x 2 1 y 0 (0,0) x0 y x2 y 2 Con el eje OX x 1 x 0 (0,0) y0 3.- Asíntotas. a) A. verticales tienen la forma x = p con p punto de discontinuidad de tipo infinito tenemos dos, x = -1, x = 1 Las Asíntotas verticales también se puede ver de la siguiente forma: Las posibles asíntotas verticales hay que buscarlas fuera del dominio. Tenemos x=-1, x=1. Para ver si son a.v. hallamos sus imágenes y si dan son a.v.: x=-1 es asíntota vertical pues f(-1)= x=1 es asíntota vertical pues f(1)= b) A. horizontales => tienen la forma y = q con x2 1 hay una asíntota horizontal y = 1 x2 1 q = lim Como hay asíntota horizontal, no hay asíntota oblicua. 4.- Extremos. Calculamos la función derivada: f ' ( x) 2 x.( x 2 1) x 2 .2 x x 2 1 2 2x x 2 1 2 Igualamos ésta a cero, para obtener los candidatos a extremos. f'(x) = 0 -2x = 0 x=0, como este valor está en el dominio, es candidato a extremo. 194 Hallamos la derivada segunda: f ' ' ( x) 2.( x 2 1) 2 2 x.2.( x 2 1).2 x x 2 1 4 6x2 2 x 2 1 3 Sustituimos en f'' los candidatos: f''(0) = -2 < 0 Tenemos un máximo en (0,0) Veamos si la función tiene puntos de inflexión: Para ello igualamos la derivada segunda a 0 y obtenemos, si los hay, los candidatos a puntos de inflexión. f''(x) = 0 6x2+2 = 0 no tiene solución en R inflexión. no hay puntos de 5.- Monotonía. El dominio de la función es (- ,-1)U(-1,1)U(1,+ ) En estos intervalos obteniendo más intervalos. introducimos el candidato x=0, (- ,-1)U(-1,0)U(0,1)U(1,+ ) De cada intervalo tomamos un valor y lo sustituimos en la derivada, y vemos el resultado: f’(x)= 2x x 2 1 2 ( ,-1) (-1,0) (0,1) (1,+ ) + + - - CRECE CRECE DECREC DECREC Con estos datos podemos obtener la representación gráfica de la función 1 -1 0 1 195