IES “INCA GARCILASO”
Departamento de Matemáticas
Matemáticas 4º ESO
La función exponencial y logarítmica
La función exponencial



El crecimiento exponencial. Actividades de introducción.
La curva exponencial: diversos ejemplos.- Gráfica y propiedades.
Ecuaciones exponenciales.
La función logarítmica




Definición de logaritmo.
Propiedades.
La función logarítmica. Gráfica.
Ecuaciones sencillas logarítmicas.
La función exponencial
Funciones exponenciales y logarítmicas
Programación de la unidad
Objetivos






Interpretar matemáticamente a partir de una función exponencial de base adecuada situaciones
que en el lenguaje ordinario suelen utilizarse para expresar crecimiento o decrecimiento
exponencial, y apreciar la magnitud real de las mismas.
Traducir del lenguaje algebraico al gráfico ecuaciones sencillas de funciones exponenciales
mediante la construcción de una tabla de valores con la ayuda de la calculadora.
Describir e interpretar gráficamente las propiedades características de las funciones
exponenciales.
Utilizar la calculadora científica para valorar y convertir datos relativos a funciones
exponenciales.
Resolver sencillas ecuaciones exponenciales transformándolas en ecuaciones polinómicas de
primer y segundo grado.
Resolver problemas de la vida cotidiana relacionados con el conocimiento científico del
alumnado, que puedan interpretarse en términos de ecuaciones exponenciales.
Contenidos
Conceptos






Crecimiento y decrecimiento exponencial.
Funciones exponenciales.
Ecuaciones exponenciales.
Definición de logaritmo. Propiedades.
Funciones logarítmicas.
Ecuaciones logarítmicas sencillas.
Procedimientos




Utilización de la calculadora científica en los cálculos exponenciales y logarítmicos que no se
puedan resolver directamente por técnicas sencillas de descomposición numérica.
Construcción de la gráfica de una función exponencial de ecuación y = a x a>0.
Resolución de algunos tipos clásicos de funciones exponenciales por conversión a ecuaciones
polinómicas de primer o segundo grado.
Como consecuencia de resolver por tanteo algunas ecuaciones exponenciales, introducción del
concepto de logaritmo.
Actitudes




Reconocimiento y valoración crítica de la utilidad de la calculadora y de otros instrumentos para
realizar cálculos con funciones exponenciales y logarítmicas.
Confianza en las propias capacidades para afrontar la solución de problemas susceptibles de ser
interpretados en términos exponenciales o logarítmicos.
Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones de problemas numéricos susceptibles
de ser interpretados por medio de potencias.
Interés y respeto por las estrategias y soluciones a problemas numéricos y algebraicos que
involucren cálculos con potencias y que sean distintas de las propias.
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1
La función exponencial
Criterios de evaluación









Detectar e interpretar situaciones de crecimiento y decrecimiento exponencial a partir de
ejemplos extraídos de los medios de comunicación y relacionados con la vida cotidiana o el
entorno científico de los estudiantes.
Representar las gráficas de las funciones exponenciales, en sus casos más elementales,
estableciendo comparaciones entre ellas y razonando sobre sus analogías y diferencias.
Reconocer determinadas propiedades funcionales (dominio, rango, crecimiento, valores
extremos, continuidad...) a partir del análisis de la gráfica de una función exponencial.
Distinguir en una gráfica el tipo de función exponencial que representa.
Manejar adecuadamente la calculadora científica en las operaciones y cálculos con potencias de
base y exponente real.
Manejar con soltura los criterios y algoritmos asociados al cálculo exponencial en un contexto
de resolución de problemas.
Resolver sencillas ecuaciones exponenciales mediante su conversión en ecuaciones polinómicas
de primer o segundo grado.
Conocer el concepto de logaritmo.
Relación existente entre la función exponencial y logarítmica
Temas transversales
Educación ambiental
Se puede mostrar el aspecto instrumental de las Matemáticas relacionando los contenidos de la
unidad con el estudio del crecimiento de poblaciones de seres vivos y de la descomposición de
sustancias radiactivas y su influencia en el medio ambiente, así como con las aplicaciones técnicas
de dichas funciones.
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2
La función exponencial
Introducción
EL PRECIO DE UN CABALLO
En una de las pocas situaciones de acercamiento entre el guerrero indio Toro
Sentado y el General Trust se dio la siguiente circunstancia:
El General Trust admiraba el caballo de Toro Sentado y le propuso que se lo
vendiera.
Toro Sentado acepta con esta condición:
Me ha de pagar un céntimo de euro por el primer clavo de la herradura del
caballo, dos céntimos por el segundo, cuatro por el tercer clavo y así duplicando sucesivamente
hasta el último de los 32 clavos de las herraduras.
En principio al General Trust le pareció justa la propuesta, pero cuando hubo de efectuar el pago...
Tenía que pagar por el caballo (más las cantidades anteriores) la nada despreciable cantidad de:
2 31 céntimos, o sea: 21.474.836 euros (Más de 21 millones de euros) más las cantidades
anteriores
Conclusiones:
-
No era tan valioso el caballo de Toro Sentado.
-
Con ese dinero podía haber comprado todos los caballos de
la tribu india.
-
El General Trust no era tan rico.
-
Toro Sentado se reveló como un muy buen matemático.
-
No consta que el General Trust y Toro Sentado ultimaran el
trato.
-
A partir de esta circunstancia no volvieron a fumar la pipa de la paz.
LA VUELTA CICLISTA
En una vuelta ciclista con un recorrido de 100 km. El premio asignado al
campeón es de doce mil euros, pero el favorito consciente de su categoría de líder,
propone a los organizadores que como cada kilómetro pedaleado va siendo cada vez más duro de
superar, el premio consista en un céntimo por el primer kilómetro, dos céntimos por el segundo,
cuatro céntimos por el tercero, y así sucesivamente, doblando la cantidad por cada nuevo kilómetro
conseguido.
Los organizadores acceden a la petición, pero al acabar la prueba y entregar el premio al
campeón se llevan la gran sorpresa. ¿Por qué?
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3
La función exponencial
RECORDANDO :
 Potencia de exponente natural. Si tiramos una moneda al aire tres veces, ¿cuántos resultados
distintos podemos obtener?
Como en cada lanzamiento hay dos resultados posibles, al efectuar tres lanzamientos,
3
obtenemos: 2  2  2  2  8 , resultados posibles.

Potencias de exponente entero. Si en una calculadora pulsas 5 y a continuación la tecla x -1
obtienes 0’2, ya que 5

1

1
5
 0'2 . Del mismo modo 5  3 
Potencias de exponente fraccionario. Si en una calculadora hallas
2
2
5 3 obtendrás el mismo resultado; luego 5 3 


Potencias de exponente real. Si quieres calcular 5

3 2
5 y por otro lado hallas
3 2
5 .
una calculadora científica. La secuencia de teclas será:

1
.
53
no tienes más procedimiento que utilizar
xy
5
y obtienes 156’9925...
En resumen: Si n y m son números naturales y a  0, se tiene: a
n
 a  a  a  a......a, ( n veces)
Las propiedades de las potencias son:
o
1

a

1
a a

a
m
n
m n
a  a
n
m n
:a a
m n
m n
a
a

m
m m
 a  b 
 a b
m
m m a
 a :b   
b

a
m
 
a
n
m

1
a
n
,
n m
an  a
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La función exponencial
Distintas formas de crecer

Crecimiento lineal
1. El precio de las naranjas en el mercado es de 1’20 € por kilo. Naturalmente, si se compran
dos kilos el precio se duplica, y así sucesivamente.
Las magnitudes peso y precio son directamente proporcionales. Si el peso lo representamos por
x y el precio por y, se verifica que y = 1’2 x.
Si representamos en una gráfica la función anterior obtenemos una recta que pasa por el
origen.
1. Por el alquiler de un coche cobran 90 € diarios más 10 céntimos por kilómetro.
Kms
Precio por día
0
90
1
90+ 1.0’10 = 90’10
2
90 + 2.0’10 = 90’20
3
90 + 3.0’10 = 90’30
...
...
100
90 + 100 . 0’10 = 100
...
...
200
90 + 200 . 0’10 = 110
...
....
x
90 + x . 0’10
Aumento constante: 10 céntimos
por kilómetro.
Si representamos por “x” los
kilómetros recorridos y el precio
por “y”, se verifica:
y = 90 + 0’10.x
La representación gráfica de la función anterior es una recta que no pasa por el origen.
Represéntala.
2.
Se sabe que al excavar hacia el interior de la tierra, la temperatura aumenta 0'01ºC por
metro. Si la temperatura en el exterior es de 26º, y representamos por “x” los metros
descendidos y por “y” la temperatura, se verifica la relación
y=
El aumento es 0’01ºC por cada metro que descendemos.
Representa gráficamente la función anterior.
3. La relación entre los lados de un rectángulo de perímetro fijo viene dada por: P = 2.x + 2.y
de donde y=(P-2.x)/2 y simplificando: y=P/2 - x . Si el valor del perímetro fuese de 10
unidades, por ejemplo, la relación entre los lados sería: y=5-x
“Siempre que el lado x aumente 1 unidad, el lado y disminuye 1 unidad”
Todos los ejemplos estudiados anteriormente son ejemplos de crecimiento lineal; a una misma
variación de la variable independiente “x” le corresponde siempre la misma variación de la
variable dependiente “y”
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5
La función exponencial

Crecimiento exponencial
El crecimiento o decrecimiento exponencial se suele utilizar en el lenguaje ordinario, sin tener, en
muchos casos, una idea clara de su significado matemático, para describir situaciones como las
siguientes:
 ¡Si la población mundial aumenta de forma exponencial, en unos años las grandes ciudades serán
incapaces de absorber el crecimiento demográfico!
 ¡Si las reservas de agua decrecen de forma exponencial, en un breve lapso de tiempo no podremos
disponer de agua potable para el consumo humano!
 ¡Existe la opinión generalizada de que mientras la población aumenta de forma exponencial (en
progresión geométrica), los alimentos lo hacen de forma lineal (en progresión aritmética)! ¿Qué
ocurrirá en el futuro si esto es cierto?
Aunque son muchas las situaciones que describen un crecimiento exponencial, está íntimamente
ligado al crecimiento de las poblaciones (ya sean de personas, animales, bacterias, árboles, ...) en las
que el crecimiento de la población depende del número de individuos que la componen.
El crecimiento exponencial también está ligado problemas relacionados con el interés producido por
un capital y con situaciones de desintegración radiactiva. Estos casos los estudiaremos más
adelante.
Ejemplo 1: Una población crece a un ritmo del 2%
anual. Estudia la expresión que relaciona el
número habitantes con el tiempo transcurrido.



Supongamos una población de N habitantes:
Inicialmente hay N habitantes.
Al cabo de un año habrá N +2% de N =
N + 0’02 . N = N. (1 + 0’02) = 1’02 . N
Al cabo de dos años habrá:
1’02N + 2% de 1’02N = 1’02.N + 0’02.1’02.N =
1’02.N(1+0’02) = 1’02.N.1’02 = N x 1’022
Para los años sucesivos formamos la siguiente
tabla:
Tiempo
Población
transcurrido
0
N
1
N + 2%N = N + 0’02.N = (1+0’02)N = 1’02.N
2
1’02.N + 2%(1’02N) = 1’02.N + 0’02.1’02.N = (1+0’02).1’02.N = 1’022.N
3
1’022.N + 2%(1’022N) = 1’022.N + 0’02.1’022.N = (1+0’02).1’022.N = 1’023.N
...
...
10
1'0210 .N
...
...
x
1'02x.N
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La función exponencial
Así, la expresión buscada es:
Población = 1'02x . N
Los valores de la población correspondientes a cada uno de los años se obtienen multiplicando por un
factor constante (1’02 en este caso) los valores de la población correspondientes a cada uno de los
años anteriores.
Ejemplo 2: Se sabe que la superficie cubierta por un nenúfar en un lago se duplica cada día,
creciendo gradualmente durante todo el día. Si en el momento de
empezar el estudio el nenúfar ocupa una superficie de 1 m2, ¿qué
superficie ocupará dentro de 10 días?
a) Haz una tabla que exprese este crecimiento
b) Halla la función que relaciona las variables número de días
y superficie ocupada.
c) Representa dicha función.
c) Representación:
a) Tabla de crecimiento
Nº de días
Superficie
ocupada (m2)
0
1
2
3
4
5
6
7
...
10
...
x
1
2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
...
210 = 1024
...
2x
b) La función viene dada por la ecuación: y = 2x.
Este tipo de crecimiento se llama exponencial
Las funciones del tipo y = ax
se llaman funciones exponenciales.
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La función exponencial
Estudio general de la Función Exponencial
1. La función exponencial y = ax con a>1
x
...
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
...
y = 2x
...
1/16
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
16
...
La siguiente tabla muestra las potencias de 2 tomando como exponentes números negativos y
positivos. Representamos los pares de puntos obtenidos
Con una calculadora podemos hallar las potencias de puntos intermedios, por ejemplo
20,75 = 1,681..., por lo que tiene sentido unir los puntos obtenidos.
La gráfica obtenida es la de la función exponencial
de ecuación y = 2x .
Procediendo de igual forma, representamos las
siguientes funciones:
y = 3x
y = 5x
y = 3x
y = 5x
y = 10x
y = 10x
En las funciones exponenciales de ecuación: y=ax
se verifica que a cada número real x (exponente) le corresponde un único número y (potencia).
Leyendo las gráficas de estas funciones se observa que, funciones de la forma y = ax, con a > 1,
tienen las siguientes propiedades:
 Su dominio es toda la recta real.
 Su recorrido son los números reales positivos.
 Son crecientes y continuas en todo su dominio.
 Cuando x tiende a - , se verifica que y tiende a cero.
 Cuando x tiende a + , se verifica que y tiende a +.
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La función exponencial
2. La función exponencial y = ax (0 < a < 1).
La tabla siguiente muestra las potencias de
1
tomando como exponentes números negativos y
2
positivos.
y = (1/2)x
...
16
8
4
2
1
1/2
1/4
1/8
1/16
...
X
...
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
...
Con una calculadora podemos hallar las potencias de puntos intermedios, como por ejemplo
0,75
1
 0,594.... , por lo que tiene sentido unir los puntos obtenidos. La gráfica obtenida es la de
 
2
x
la función y
1
   . Esta función se puede asociar,
2
y = (1/3)x
por ejemplo, a un fenómeno químico como la
y = (1/5)x
desintegración de una sustancia radiactiva. El radio es
un compuesto químico radiactivo que,
y = (1/10)x
aproximadamente cada 1600 años, se reduce a la
mitad. Este número de años se llama periodo de
semidesintegración del radio. El valor de “y” podría
representar, entonces, los gramos residuales que
provienen de 1 gr. inicial de radio, cuando han
transcurrido “x” períodos, es decir, 1600.x años.
Procediendo de forma análoga, representamos en el mismo gráfico las siguientes funciones:
x
x
x
1
1
1
y 
y 
y 
3
5
 10 
Leyendo las gráficas se observa que, funciones de la forma y = ax, con 0 < a < 1, tienen las
siguientes propiedades:
 Su dominio es toda la recta real.
 Su recorrido son los números reales positivos.
 Son decrecientes y continuas en todo su dominio.
 Cuando x tiende a - , se verifica que y tiende a +.
 Cuando x tiende a + , se verifica que y tiende a 0.
Observa que a
x

1
a
x
x
1
1
   . Por tanto, la función y = a-x es igual que la función y    .
a
a
x
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9
La función exponencial
3. Estudio de algunas situaciones en las que se produce un crecimiento exponencial
a) Interés compuesto
Al nacer Juan, su padre depositó 3.000 € al 12%. Si no retira el dinero
ni los intereses, ¿qué capital tendrá al año, a los dos años, etc.? ¿Qué
capital tendrá cuando cumpla 18 años?
Al año tendrá:
3000  3000 
12


 3000  3000  0'12  3000  1  0'12  3000  1'12  3360
100
Para los años sucesivos formamos la siguiente tabla:
Años transcurridos
Capital formado
0
3000
1
3000(1’12)=3360
2
3360(1’12)=3000(1’12)2=3763’2
3
3763’2(1’12)=3000(1’12)3=4214’84
4
4214’84(1’12)=3000(1’12)4=4720’55
...
3000(1’12)18=23069’89
18
...
3000(1’12)x
x
Si colocamos un capital de C ptas. al r%, ¿qué capital se habrá formado al cabo de t años? Si
r
i
, entonces se verifica que:Al final del primer año : F1 = C + C i = C(1+i)
100
Al final del segundo año : F2 = F1 + F1 i = C(1+i)2
Al final del tercer año
: F3 = F2 + F2 i = C(1+i)3
...
Al final del año-enésimo : Fn = C(1+i)n.
Interés compuesto es una ley de capitalización tal que los intereses obtenidos
al final de cada período se acumulan al capital para producir nuevos intereses en
el período siguiente.
Un capital de C ptas. al r% al cabo de t años se convierte en Ft = C(1+i)t.
Observa que la función que da el capital final es una función exponencial de base (1+i).
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La función exponencial
b) Crecimiento de una población
Una población crece a un ritmo del 2% anual. Estudia la situación y
determina el tiempo que tardará en duplicarse la población
manteniendo la misma tasa de crecimiento.
Esta situación ha sido estudiada anteriormente y la función que
relaciona el número de individuos de la población con el tiempo
transcurrido es:
Población = N . 1'02x
¿Qué tiempo tardará en duplicarse la población?
Si la población se duplica, la expresión queda: 2N = N . 1'02 x ; de donde, 2 = 1'02x ; por lo que se
trata de buscar el número al que hay que elevar 1'02 para obtener 2. Procedemos con la calculadora:
1'0230=1'81; 1'0233=1'92; 1'0234=1'96; 1'0235=1'9999;
1'0236=2'03
Por lo que la población se duplicaría a los 35 años.
Si el número de habitantes de una ciudad que tiene una tasa de crecimiento anual del 2% es de
10.000, ¿cuántos habitantes tendrá dentro de 20 años?
En esta caso, la relación existente entre el número de habitantes y el de años transcurridos es:
Población = 10.000 x 1’02x cuya representación gráfica es
Al cabo de 20 años, habrá:
P=10.000 x 1’0220=14.859
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La función exponencial
Desplazamientos de la exponencial
Análogamente a lo estudiado anteriormente, podemos desplazar la función
exponencial horizontalmente “p” unidades poniendo “x-p”
en lugar de “x”
en su expresión analítica, es decir:
y  a x p es un desplazamiento horizontal de la función y  a x de “p”
unidades
donde
 p  0 se desplaza a la derecha: 

 p  0 se desplaza a la izquierda: 
Ejemplos:
y = 2x + 5
y = 2x
y = 2x - 6
También podemos desplazar la función exponencial verticalmente “q” de la siguiente forma:
y  a x  q es un desplazamiento vertical de “q” unidades
q  0
se desplaza hacia arriba :
q  0
se despaza hacia abajo:
donde 
Ejemplos
y = 2x + 3
y = 2x
y = 2x - 2
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La función exponencial
Finalmente los desplazamientos horizontales y verticales:
y  a x p  q es un desplazamiento de la función y  a x de la siguiente forma:

hacia la derecha si p  0
horizontal 

hacia la izda. si p  0

vericalhacia arriba si q  0
hacia abajo si q  0



¡ vale !
Ejemplo:
y = 2x + 4 + 3
y = 2x
y = 2x - 1 - 2
Ejercicios para entrenarse.
1.
Calcula los valores que toman las siguientes funciones para x = -2, -1, 0, 1, 2
 f ( 2)  3 2  1

32

 f ( 1)  3 1  1

3

f ( 0)  30  1
a) 

1
 f (1)  3  3

2
 f ( 2)  3  9


a) f(x) = 3x
b) g(x) = 3-x
c) h(x) = (1/3)x
d) k(x) = (1/3)-x
2.
3.

1
9
Calcula los valores que toman las siguientes funciones para x = -2, -1, 0, 1, 2
a)
f ( x)  5
b)
f ( x)  
x
1

5
x
c)
f ( x)  5
d)
f ( x)  
x
1

5
x
A partir de la gráfica de la función f(x) = 2x, dibuja las gráficas de las siguientes funciones:
x 4
x
a) f ( x)  2  3
c) f ( x)  2
x
b) f ( x )  2  1
d ) f ( x)  2
e) f ( x )  2
x1
3
x2
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La función exponencial
4.
A partir de la gráfica de la función f(x) = 3x, dibuja las gráficas de las funciones siguientes:
x
a) f ( x)  3  3
d ) f ( x)  3
x
b) f ( x )  3  1
e) f ( x )  3
c) f ( x)  3
5.
6.
x4
x2
x4
f ) f ( x)  3
3
x2
1
Representa las siguientes funciones:
a) f ( x)  2
x
c) f ( x)  5
x
b) f ( x)  3
x
d ) f ( x )  10
x
x
c)
1
f ( x)   
5
d)
1
f ( x)   
 10 
Representa las siguientes funciones:
x
a)
1
f ( x)   
2
x
b)
1
f ( x)   
3
x
7. ¿Cuántos años tardará un capital de C ptas. en duplicarse al 10% anual? ¿Dependerá del capital
inicial?
Años
Capital final
0
C
1
C.1’1
2
C.1’12 = C.1’21
3
C.1’13 = C.1’331
4
C.1’14 = C.1’4641
5
C.1’15 = C.1’6105
6
C.1’16 = C.1’7715
7
C.1’17 = C.1’9487
...
...
Observa que el doble no
depende del capital inicial C; se
duplicará aproximadamente a
los 7 años.
Si el interés es menor, por
ejemplo 5%, se puede formar
una tabla análoga y ver que se
duplica aproximadamente a los
14 años.
Y en general, si el interés es pequeño, se cumple aproximadamente la ley:
Años para que se duplique por interés = 70
Es decir: t . r = 70
1.
Una población tiene una tasa de crecimiento anual del 2%. Se pide:
a) La función exponencial del crecimiento.
b) Si se mantiene ese ritmo de crecimiento, ¿cuánto tiempo tardará
en duplicarse la población?
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La función exponencial
2. Se coloca un 6.000 euros al 12% de interés.
a) ¿Cuánto dinero se tendrá al cabo de 10 años?
b) ¿En cuánto tiempo se duplicará?
3. Se calcula que un bosque tiene 24000 m3 de madera y
que aumenta un 3’5 % al año. ¿Cuánto tiempo tardará
en duplicarse la cantidad de madera si sigue creciendo
en estas condiciones? Otro bosque tiene 50000 m3 y
la misma tasa de crecimiento. ¿Tardará el mismo
tiempo en duplicarse? ¿Depende el tiempo de
duplicación de la cantidad de madera inicial?
4.
Se cuenta que en 1626 Peter Minuit compró la isla
de Manhattan a los indios por 24 dólares. Imagínate que
Minuit hubiera puesto en el Banco los 24 dólares al 6%
de interés compuesto ¿Cuánto dinero tendría en 1998?
Sería interesante comparar este resultado con el precio
actual de la isla de Manhattan.
5.
Pedro y Luis se han inventado una mentira a las diez
de la mañana. Al cuarto de hora, cada uno de ellos se la
ha contado a tres amigos. Al cabo de otro cuarto de hora, cada uno de cuales comunica la
mentira a otros tres amigos, los cuales continúan extendiéndola de igual modo. ¿Cuántas
personas conocerán la mentira a las dos de la tarde?
6.
Tres países, A, B y C, tienen cada uno una población de un millón de personas.
La población del país A crece uniformemente un millón cada período de 10 años. La población del
país B crece uniformemente dos millones cada período de 10 años. La población del país C se
multiplica por 1,5 a lo largo de cada período de 10 años.
a) Dibuja en unos mismos ejes las gráficas de las tres poblaciones.
b) ¿En qué período alcanza la población C a la población A? ¿Y a la población B?
7. La presión atmosférica disminuye a medida que se
asciende. Aproximadamente, al ascender 1 km la presión
atmosférica es 0’9 veces la existente 1 km más abajo.
Al nivel del mar la presión atmosférica es de una
atmósfera. Si un montañero desciende de 1000 m al
nivel del mar y otro desciende desde una latitud de
5000 m a 4000 m ¿aumentará su presión lo mismo?
¿Sus organismos lo sentirán de la misma forma?
8.
Parece ser que los piojos del cabello se reproducen duplicando su número cada 4 días. Si un
niño tiene un piojo en su cabeza, y considerando que todos viven:
Aunque
pique
a)
b)
c)
d)
¿Cuántos piojos tendrá dentro de 12 días ¿Y de 20 días?
Escribe la función y represéntala.
Tiene sentido unir los puntos.
Si en el momento inicial el niño tenía 10 piojos, contesta
nuevamente a los apartados a y b.
calcula
Página 15
La función exponencial
9. Se administran 50 mg de anestesia a un paciente al principio de la
operación. Sabiendo que la concentración en la sangre humana disminuye
exponencialmente con arreglo a la función
f(x) = k.0’95x , donde k es la cantidad inicial y x el tiempo en minutos que
ha transcurrido desde su administración. Haz un estudio de dicha
función. ¿Cuántos miligramos de anestesia quedan en la sangre del
paciente a la hora y media de su administración?
10. ¿Tienen las gráficas de las funciones f(x) = 2x, g(x) = 3x, h(x) = 10x, algún punto en común?
11. Se calcula que la población mundial del año 2033 será el doble que la población de 1993. ¿Cuál es
la tasa de crecimiento anual?
12.
Un fabricante de cubitos de hielo aumenta el precio de sus
productos según el IPC, que en los últimos años ha tenido un
crecimiento anual medio del 6%. ¿Cuál es el precio actual de un
producto que hace 10 años costaba 150 € ?
13. ¿Qué relación existe entre las gráficas de las funciones f(x) = 3x y g(x) = 3-x. Dibuja la gráfica
de esta última sabiendo que la gráfica de f(x) es la siguiente:
14. Si el precio de un producto puede crecer con arreglo a las siguientes funciones: y = 3x o
y = 3x, ¿cuál de las dos funciones prefieres si eres comprador?
15. Si el precio de un producto puede crecer con arreglo a las siguientes funciones:
1
y x o
2
x
1
y    , ¿cuál de las dos funciones prefieres si eres comprador?
2
Página 16
La función exponencial
Actividades Complementarias
La matemática y la arqueología.
El método del carbono-14 de datación de fósiles
Datación con carbono 14
En el dióxido de carbono presente en el aire, existen dos isótopos del carbono: el C12, mucho más
abundante, y el C14, también llamado radiocarbono. Ambos son absorbidos por los seres vivos en la
misma proporción con la que aparecen en el aire.
Cuando un ser vivo muere, el C12 permanece inalterable, mientras que el C14 se desintegra
lentamente a causa de su radiactividad. Es decir, la proporción de
C14 respecto del carbono total
presente en el ser vivo, que es un dato conocido, va disminuyendo cuando éste muere de manera
progresiva y de forma proporcional
a la masa de C14 que aún reste.
Desde el punto de vista matemático, esto significa que la expresión que da la cantidad de C14 en
función del tiempo es una función exponencial de exponente negativo, es decir, con gráfica decreciente.
Se sabe que, cada 5 700 años, la proporción de radiocarbono en los restos de materia orgánica, por
ejemplo, en un fósil, se reduce a la mitad; a los 11 400 años se reduce a la cuarta parte, y así
sucesivamente.
Para medir la cantidad de carbono 14 restante en un fósil, los científicos incineran un fragmento
pequeño para convertirlo en gas de dióxido de carbono. Se utilizan contadores de radiación
(contadores Geiger) para detectar los electrones emitidos por el decaimiento de carbono 14 en
nitrógeno. La cantidad de carbono 14 se compara con la de carbono 12, forma estable del carbono,
para determinar la cantidad de radiocarbono que se ha desintegrado y así datar el fósil.
Este método, desarrollado por el químico norteamericano Willard Frank Libby, ha permitido
datar restos orgánicos con una antigüedad inferior a 50000 años.
La función matemática que permite calcular a partir de la antigüedad (expresada en años) la
proporción de C14, considerando que 1’000 es la inicial, es decir la que corresponde a un ser vivo, es
la siguiente:
Página 17
La función exponencial
Proporción=e-0’0001216.t (e es un número irracional cuyo valor es 2’718281...)
Se trata de una función exponencial decreciente, cuya gráfica aparece dibujada. Los valores para
tiempos comprendidos entre 0 y 50000 años (de 1000 en 1000 años) se muestran en la tabla.
Años
(miles)
Proporción
Años
(miles)
Proporción
Proporción
1,000
0,900
0,800
0
1,000
1
0,886
26
0,042
0,600
2
0,784
27
0,038
0,400
0,700
0,500
0,300
3
0,694
28
0,033
4
0,615
29
0,029
5
0,544
30
0,026
6
0,482
31
0,023
7
0,427
32
0,020
8
0,378
33
0,018
9
0,335
34
0,016
10
0,296
35
0,014
11
0,262
36
0,013
12
0,232
37
0,011
13
0,206
38
0,010
14
0,182
39
0,009
15
0,161
40
0,008
16
0,143
41
0,007
17
0,127
42
0,006
18
0,112
43
0,005
19
0,099
44
0,005
20
0,088
45
0,004
21
0,078
46
0,004
22
0,069
47
0,003
23
0,061
48
0,003
24
0,054
49
0,003
25
0,048
50
0,002
0,200
0,100
0,000
0 2 4 6 8 101214161820222426283032343638404244464850
años (en miles)
Página 18
La función exponencial
Averigua

¿Cuántos años tiene un fósil cuya proporción de C14, respecto de la inicial, es 0’3?¿Y cuántos si
la proporción es 0’03?

Se sabe que un fósil tiene, aproximadamente, 32000 años. ¿Qué proporción de C14 cabe esperar
que presente respecto a la que tiene un ser vivo?

Dos restos humanos tienen una proporción de C14 cifrada en 0’03 y 0’013, respectivamente.
¿Cuál de los dos restos es mas antiguo? ¿En cuántos años?

En una excavación se encuentran unos huesos de un animal que contienen la octava parte de C14
que contenían cuando el animal estaba vivo. Determina la antigüedad de dichos huesos, sabiendo
que el periodo de semidesintegración del C14 es de 5700 años.
Nota: Estas tres primeras cuestiones pueden se contestadas partiendo de la fórmula, la tabla o la
gráfica. Usa los tres métodos y comprueba que conducen al mismo resultado
Página 19
La función exponencial
Ecuaciones exponenciales
Ecuaciones exponenciales
Son aquellas en las que la incógnita aparece en el exponente de una potencia. Para resolverlas,
primeramente se transforman en otras equivalentes, más sencillas, y luego se comprueba la validez
de las soluciones obtenidas en la ecuación inicial.
Veamos algunos de los casos que pueden presentarse:
Caso
1º
Procedimiento
Ejemplo
Si la ecuación se puede reducir a una
a) 3 2 x 1  81  3 2 x 1  3 4  2 x  1  4 
2x  3  x  3
2
4
b) 2 3 x  3 16  2 3 x  2 3  3x  4 
3
x4
9
igualdad de potencias de la misma base,
se igualan los exponentes y se resuelve
la ecuación resultante
2º
A veces, la ecuación se puede
5 2 x  30.5 x  125  0 
transformar en otra cuya solución se
5 
ajusta a un procedimiento ya conocido
por z, se transforma en la ecuación
x 2
 30.5 x  125  0 y, al sustituir 5 x
2
 30x  125  0, cuyassolucionesson :
x
x
z  5  5  x  1 y z  25  5  x  2
z
1º) Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
2
2
x
 32
x

1
3
3
x
 27
x

8
9
x
1
4
2
x
 16
x

9
3
7
x

1
1
5
3
x
 125
x

2
x
16  4
1
5
x
 0'04
81
8
x
2
x
121  11
49
x
32  4
3
x

1
2
7
x
 0'0625
1
x
x
10  0'00001 2 
2
x
1
3
x
 27
4
x
0
7
x
 343
3
Página 20
La función exponencial
2º) Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
4
2
x1
x2
1
5
x1

x2 1
 25 4
2
x
 3  18
5

3 x1
x
x1
4 4
4 4
 11
(0'4) x 
3
2
1000
64
5 x1
x
x
 2  2  2  14
x1
x
 25 3  0
x
x
23 9  3  0
2 3 x 1 
Sol=-3
3 4 x
x
2
x1
x3
4
2
 320  0
x
1 x
3 3
4
x
x
4 2  2
3
2 x1
1
0
2 2
2
3 x . 35  9
Sol= 
Sol=5/6
 81
2
64x
4 x1
1
273x1  81x4.9
Sol= no existe
Sol=-1/2
Sol=3
9 x1  33x1
( 2 ) 3x  2 x1
5. 7 x  35
Sol=-3
Sol=2
Sol = -1
x 1
1
 
 3
x 2
110
4
x
 1  11x
1
2x 
11
2
x 1
1
Sol = 2 ; 1
Sol = 1
Sol = 0
4 2 x1  3.4 x  10  0
32 x  9 2 x  12  0
( 2 x ) x  16 . 8 x
Sol = 1/2
Sol = 1/2
Sol = no existe
4 x  16x  4 2 x1  3
2 3x1  2 6 x4  8  0
Sol = 1/2
Sol = 1
5 x  5 x 1  5 x  2 
5 x 3 315

2
2
32 x  2.33 x  7
Sol = 2
4 x 1
2
x2
 128
Sol = 11
25 
3 x
a x . a 3  4 a 2 x
1
3
x 1

2
2 2 2 4  2x
Sol = -12/7
3x 
 5x
Sol = 0 ; 6
Sol = 2/3
3
4 2x2  16
Sol = 3
8 x  16
19
 8 x 1 
2
2
Sol = 1
2
28
9
Sol = -2 ; 1
Sol = 1
3
5
25 5
 5 x3
Sol=5/6
Página 21
La función exponencial
Introducción del logaritmo
Cálculo aproximado de la solución de la ecuación de 2 x = 5
Al contrario de las ecuaciones de la actividad anterior, en este caso no es posible poner 5 como
potencia entera de 2, por este motivo no es posible calcular directamente el valor de x. A
continuación, se calcula el valor de x de una manera, pero no es la única forma de hacerlo.
En primer lugar, se sitúa la potencia 2x = 5 dentro de las potencias enteras de 2, es decir:
...
2-2
2-1
20
21
22
2x
23
24
...
...
0’25
0’5
1
2
4
5
8
16
...
Esta tabla proporciona una primera aproximación a la respuesta: x tiene que estar entre 2 y 3
puesto que 5 lo está entre 4 y 8. Por lo tanto, se tendrá que buscar las cifras decimales a, b, c, etc
del número x = 2’abcdef.....
Para encontrar las cifras decimales, una opción es ir probando distintas cifras hasta dar con la
buscada. Para obtener la cifra a; se puede, por ejemplo, comenzar a probar a partir de 2’5:
22’5 = 5’656854... ;
22’4 = 5’278031... ;
22’3 = 4’924577...
Ya está, la cifra a tiene que ser 3. Claro, si 22’3 es menor que 5 pero 22’4 es mayor que 5 habrá que
deducir que x vale 2’3bcdef...
Ahora para calcular la cifra b, se procede de modo análogo:
22’31 = 4’958830...;
22’32 = 4’993322...;
22’33 = 5,028053...
por lo tanto, la cifra b es 2.
A continuación, se busca la cifra c:
22’321 = 4,998784...;
de donde deducimos que la cifra c es 1.
22’322 = 5’000249...
,
Ya se tiene que x = 2’321...; el procedimiento anterior se puede reiterar las veces que se necesite
para lograr la precisión que se desee alcanzar.
Página 22
La función exponencial
1. Logaritmo de un número
 La presión atmosférica disminuye a medida que nos alejamos de la superficie terrestre. Al nivel
del mar es de 1 atmósfera, pero, aproximadamente, por cada kilómetro que se asciende su valor
es 0’9 veces la existente un kilómetro más abajo.
Forma una tabla de valores que exprese esta situación.
Altura sobre el nivel
del mar (km)
Presión atmosférica
(atmósferas)
Al nivel del mar
1
2
3
4
5
6
...
x
1
0,9
0’92 = 0,81
0’93 = 0,729
0’94 = 0,656
0’95 = 0,590
0’96 = 0,531
...
0’9x
 Veamos ahora el problema inverso: ¿A qué altura se encontrará un globo sonda que marca en un
barómetro 0’325 atmósferas?
Si representamos por x la altura, tendremos que resolver la ecuación: 0’325 = 0’9 x.
Para obtener una solución aproximada podemos prolongar la tabla y vemos que el globo se
encontrará entre 10 y 11 km sobre el nivel del mar.
Altura sobre el nivel
del mar (km)
8
Presión atmosférica
(atmósferas)
0’98 = 0’43047
9
10
11
12
0’99 = 0’38742
0’910 = 0’34868
0’911 = 0’31381
0’912 = 0’28243
El valor exacto de x se define como el logaritmo en base 0’9 de 0’325, lo que escribimos del
siguiente modo:
x  log0'9 0'325
De lo anterior se deduce que:
x  log0'9 0'325  0'325  0'9 x
La extraña palabra logaritmo fue introducida a finales del siglo XVI por el matemático inglés
John Naiper (1550-1617).
Logaritmo en base a de un número N es el exponente al que hay
que elevar la base para obtener dicho número:
loga N  x  N  a x
Página 23
La función exponencial
Cuan
do la base a = 10, se llaman logaritmos
decimales y se expresan simplemente por log en vez de log 10
Cuando la base ”a = número e” , se llaman logaritmos neperianos y se expresan simplemente por “ln” en
vez de loge
2. Propiedades de los logaritmos
De la definición de logaritmo se deduce que :


El logaritmo de 1 es 0:
loga1 = 0
, ya que ao = 1.

El logaritmo de la base es 1:
loga a = 1
, ya que a1 = a.
Logaritmo de un producto
Con la calculadora científica, sigue este
esquema:
log


log

0’301...
mas
0’845...
14

log

1’146...



2
por
7
De una forma general se tiene:
N = ax  x = loga N
M= ay  y = loga M
N.M = ax+y

x + y = loga (N.M)
Loga N + loga M = loga (N.M)
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

Logaritmo de un cociente
Página 24
La función exponencial
Con la calculadora científica, sigue este
esquema:
log


Log

1’875...
Menos
1’398...

Log

0’477...
N/M = ax-y



75
entre
25
3
De una forma general se tiene:
N = ax  x = loga N
M= ay  y = loga M

x - y = loga (N/M)
Loga N – loga M = loga (N/M)
El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmos del dividendo y del
divisor.

Logaritmo de una potencia
32


Con la calculadora científica, sigue este
esquema:


2
0’301...
Log
elevado
Por


5
Exponente
5

Log

De una forma general se tiene:
N = ax  x = loga N
Nm = axm = amx  mx = loga Nm
m Loga N = loga Nm
1,505...
El logaritmo de una potencia es igual al producto del
exponente por el logaritmo de la base.
Página 25
La función exponencial

Cambio de base de un logaritmo
Como en las calculadoras científicas las teclas que hay para calcular logaritmos son de base 10 o
base el número e , vamos a dar una fórmula que nos permita calcular cualquier logaritmo con la
calculadora :
loga x 
logb x
logb a
En nuestro caso cambiaremos a base 10 ó e :
log x
loga x =
=
log a
ln x
ln a
Así por ejemplo
log 2 5 
log 5 0'69897

 2'321928
log 2 0'30103
ó
log 2 5 
ln 5
ln 2

1'6094379
0'6931471
 2'321928
3. La función logarítmica y = log x
Para calcular logaritmos en base 10, o logaritmos decimales con la calculadora científica, pulsa la
tecla log .
Formamos la tabla de valores y representamos la gráfica de la función y = log x.
x
log x
-1
0
0’1
1
2
10
100
error
error
-1
0
0’30103
1
2
Leyendo la gráfica, se tiene que la función logarítmica
propiedades:





y = log x tiene las siguientes
Su dominio es el conjunto de los números reales positivos.
Su recorrido son todos los números reales.
Es creciente y continua en todo su dominio.
Cuando x tiente a 0+, se verifica que y tiende a : (x  0+  y  )
Cuando x tiente a +, se verifica que y tiende a +: (x  +  y )
¿Qué relación existe entre la función exponencial y la función logarítmica?
Si introduces un número cualquiera en tu calculadora y pulsas la tecla 10x y a continuación la
tecla log , ¿qué obtienes?
Por ejemplo:
2’3 10x 199’52623 log 2’3
Página 26
La función exponencial
Esto quiere decir que la composición de las funciones y = 10x e y = log x es igual a la
función identidad [i(x) = x]. Entonces las funciones y = 10x e y = log x son inversas o recíprocas
y sus gráficas son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante.
Por ello se puede obtener la gráfica de una función logarítmica de cualquier base por
simetría con la bisectriz del 1er cuadrante con la exponencial de la misma base.
y = (1/2)x
y = 2x
y = log2 x
y = log1/2 x
4. Función logarítmica de base a > 1
f ( x)  loga x es inversa de la función g ( x)  a x . Cuando la base es a  1 :
Como la función
y = ax
Propiedades de y = loga x con a > 1 :
a>1
y = logax
1
1

Dominio : (0,)




Recorrido : 
Creciente en su dominio
Continua en su dominio
Asíntota vertical “x = 0” a la derecha de 0
lim loga x  
x0

lim loga x  
x
5. Función logarítmica de base 0 < a < 1
Analogamente cuando la base 0 < a <1 :
y=ax
0<a<1
1
1
Propiedades de y = loga x con 0 < a < 1 :

Dominio : (0,)




Recorrido : 
Decreciente en su dominio
Continua en su dominio
Asíntota vertical “x = 0” a la derecha de 0
lim loga x  
y=logax
x0

lim loga x  
x
Página 27
La función exponencial
6. Ejercicios
1.
A partir de la definición de logaritmo, y sin usar la calculadora, halla los siguiente logaritmos:
a ) log1
log10
b) log0,1
c) log 10
log100 log10000
log0,01 log0,0000001
log 100
log 1000000
2. Calcula los siguientes logaritmos:
a ) log2 4
log2 64
log4 64
1
1
1
 log2   log2  
2
4
 16 
b) log2 
3. Halla con la calculadora los logaritmos decimales de los números 2, 20, 200, 2000. ¿Encuentras
alguna relación entre ellos?
4. Si el log 5 = 0’699, ¿cuál será el logaritmo de 500?¿Y el de 0’5?
5. Halla con la calculadora los valores de x en las siguientes ecuaciones:
a) 3’24 = 10x
c) 1’37 = 3x
x
b) 0’26 = 2
d) 4’28 = 12x.
6. ¿Verdadero o falso? ¿Por qué?
a) log 2 + log 3 = log 5
b) log 2 + log 3 =log 6
c) log 15 – log 5 = log 10
d) log 15 – log 5 = log 3
e) log 23 = (log 2)3
f) log 23 = 3 log 2
7. Reemplaza la interrogación por el valor que proceda :
1
  ?;
 36 
log6 
 1
  3;
 27 
log? 
log? 625  4;
1
log? 0'5   ;
2
log128? 
1
3
log 1 ?  2;
3
;
log? 4  2;
log5 125  ? ;
1
  2;
 25 
 1 
log? 
  3;
 216 
log? 
log6 1296  ? ;
log36? 
log ?  3;
3
2
;
log3?  2;
log5 3 25  ? ;
log4 256  ? ;
loga ?  n;
log ?  0;
log4 2  ?
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La función exponencial
8. Calcula la base de cada uno de los logaritmos siguientes de forma que sea válida la igualdad :
1 1
 ;
 49  4
logx 
logx 3  2;
logx 7  2;
logx 7 
1
2
9. Comprueba las igualdades siguientes :
 3
1
  
2
 3 
1
log 1    2;
2 4 
log 1 4  2;
2
2
log x  log10  log100x;
log3 
 x 
  2  log x
100


log
 x2 
  2 log x  log3
log
 3 
 
3
 3 5


10. Expresa en función de log2 a las expresiones siguientes: log2 a 4  a 2 ;






log2
3 a 5
11. Sabiendo que log 5 = 0’6990, calcula :

0'625
log3
;
2

log 125 0'125 ;
log
3 0'25  8
80
12. Calcula :
log7
10
;
7
log7 3
;
log2 log2 4 ;
7
log49 7
13. Calcula el valor de A sabiendo que :
 A
  log7 B  2
B
log7 
14. Sabiendo que log 2 = 0’30103, calcula los logaritmos decimales de cada uno de los números
siguientes :
0'25;
1
3 16
;
3 0'02;
4 0'005
;
0'23  0'645
8
15. Representa gráficamente la función logarítmica dada por la fórmula
Halla las imágenes de los números: 8/27; 4/9; 2/3; 9/4; 27/8.
4 20
f (x)  log3 x
2
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La función exponencial
16. Dada la función f(x)  log x . Se pide :
3
a) Halla la imagen de 1/9; 1/3; 1; 3 y 9.
b) Representa gráficamente la función f(x)
c) A partir de la gráfica del apartado anterior dibuja la gráfica de la función g(x)=3 x
17. Recordando que logaritmo de un número en cualquier base no está definido a no ser que el
número sea positivo, calcula el dominio de cada una de las siguientes funciones:
f ( x)  log x;
x
g ( x)  log ;
2
q ( x)  log2 x  1;
h( x )  logx  4 ;
 1 
;
 x 1
t ( x)  log
p ( x)  log x 

r ( x )  log 1  x
2

Ecuaciones logarítmicas
Son aquellas en las que la incógnita aparece en la base o argumento de un logaritmo. En general, se
intentará sustituir la ecuación dada por otra equivalente, cuyas soluciones se comprobarán con la
ecuación inicial.
Procedimiento
Ejemplos
Si la incógnita aparece en el
log2 ( x  1)  log2 3  1 
argumento, la ecuación se reduce a
una igualdad de la misma base, se
igualan los argumentos y se
x 1
x 1
 log2 2 
2
3
3
x 1 6  x  5
log2
La solución es válida, ya queal sustituir
resuelve la ecuación resultante
en la ecuación inicial hace positivo lode
Es sumamente importante
dentro del logaritmo
comprobar que las soluciones
halladas hacen positivos los
argumentos de la ecuación inicial,
ya que, en caso contrario, no serían
soluciones de estas.
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La función exponencial
Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones:

log x  3 log 2  log 3  log x  2



log x  log 4  log x  1  log 3
 
log x
3
 log 6  2 log x
x 7

2
  4
2 log x  log
 
 
log  x  1  log 5  x   log 5  x   0
log 2  log  x  3  log 2 x 
log x  2  1  log 2  log x  3
AL TERMINAR EL TEMA SOBRE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LA FUNCIÓN
LOGARÍTMICA DEBERÁS SABER
1.
Representar gráficamente las funciones exponenciales del tipo: y = ax e y = a-x.
2.
Conocer las propiedades más importantes de la función exponencial.
3.
Reconocer funciones exponenciales en tablas, gráficas y enunciados.
4.
Comprender la definición de logaritmo y saber calcular cualquiera de los elementos que
intervienen en ella.
5.
Conocer y aplicar las propiedades de los logaritmos.
6.
Manejar adecuadamente la calculadora científica en las operaciones y cálculos con potencias
de base y exponente real y con logaritmos.
7.
Representar la función logarítmica y conocer sus propiedades más importantes.
8.
Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
Página 31
La función exponencial
Texto: “El logaritmo en la literatura”
La novela “Nubosidad variable”, de Carmen Martín Gaite, narra el encuentro de dos mujeres
adultas que fueron muy amigas en su época de estudiantes y que han dejado de verse. Una de ellas
recuerda a su amiga, al encontrar una foto suya de la época, y sus actitudes ante las palabras y las
matemáticas. Este es el relato.
«Seguro que esa niña de trenzas rubias y cara de interrogación en algún momento supo
resolver problemas de Matemáticas; si no, no la habrían aprobado. Pero ella no entendía de números.
Los números eran un mero dibujo inalterable y los nombres que los designaban no daban pie a la
fantasía. (...) A ella le gustaba inventar palabras y desmontar las que oía por primera vez, hacer
combinaciones con las piezas resultantes, separar y poner juntas las que se repetían. (...) Algunos
corpiños como 'filo', que quería decir amistad, y 'logos', que quería decir palabra, abrigaban mucho
y permitían variaciones muy interesantes. Ella un día los puso juntos y resultó un personaje
francamente seductor: el filólogo o amigo de las palabras. Lo dibujó en el cuaderno tal y como se lo
imaginaba, con gafas color malva, un sombrero puntiagudo y en la mano un cazamariposas grande por
donde entraban frases en espiral a las que pintó alas. Luego vino a saber que la palabra filólogo ya
existía, que no la había inventado ella. – Pero da igual, lo que ha hecho usted es entenderla y
aplicársela – le dijo don Pedro Larroque, el profesor de Literatura –. No deje nunca el
cazamariposas. Es uno de los entretenimientos más sanos: atrapar palabras y jugar con ellas. (...) Al
profesor de Matemáticas, en cambio, no le divertían nada estos juegos de palabras, le parecían una
desatención a los problemas mas serios, una manipulación peligrosa del dos y dos son cuatro, una
pérdida de tiempo. Cuando un buen día, sin más preámbulo, empezó a hablar de logaritmos, hubo en
clase una interrupción inesperada y un tanto escandalosa. La niña del cazamariposas se habla puesto
de pie para preguntar si aquello, que oía por primera vez, podía significar una mezcla de palabra y
ritmo. Las demás alumnas se quedaron con la boca abierta y el profesor se enfadó. – No hace al
caso, señorita Montalvo. Está usted siempre en las nubes – dijo con gesto severo –. Le traería más
cuenta atender. La niña rubia, que ya estaba empezando a pactar con la realidad y a enterarse de
que las cosas que traen cuenta para unos no la traen para otros, se sentó sin decir nada y apuntó en
su cuaderno: "Logaritmo: palabra sin ritmo y sin alas. No trae cuenta". (...) Pero ¿cómo se imaginaba
los logaritmos? ¿Cómo se las arregló para lidiar con ellos sin saber lo que eran. No queda el menor
rastro. Yo ahora, si digo logaritmo, guarismo, raíz cuadrada o ecuación, veo bastoncitos grises y
articulados que reptan por la alfombra como una procesión de gusanos”
Página 32
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LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Control de Repaso: nº reales y combinatorios. 1.− a) Calcula r:

Control de Repaso: nº reales y combinatorios. 1.− a) Calcula r:

Reales, recta realComplejosIrracionalesSistemas ecuaciones, inecuacionesCombinatoriaTrigonometríaUnidad imaginariaFuncionesPotencias

INGENIERO TÉCNICO DE TELECOMUNICACIÓN PARCIAL DE CÁLCULO TEORÍA.− Esp. Telemática

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SeriesMatemáticas y computaciónFuncionesIntegrales

2 Encontrar un fenómeno que se modele mediante la distribución

2 Encontrar un fenómeno que se modele mediante la distribución

DesviaciónDistribución exponencialAjuste distribuciónProbabilidadIntervalos confianzaMedia

Si b &gt; 0 y b

Si b > 0 y b

ÁlgebraFuncionesMatemáticasEcuación exponencialPotencias