Colegio Nuestra Señora de Luján UNIDAD Nº 4: FUNCIONES Ejes Cartesianos

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3º Año
UNIDAD Nº 4: FUNCIONES
Ejes Cartesianos
Un sistema de ejes cartesianos esta determinado
por dos rectas perpendiculares: la horizontal
representa el eje de las abscisas, designada con
la letra x y la vertical, eje de la ordenadas, con
la letra y.
Con el eje cartesiano el plano queda dividido en
cuatro cuadrantes.
Para ubicar puntos con respecto a un sistema de
ejes, es necesario establecer un orden en las
coordenadas. De esta forma, cada punto queda
determinado por un único par de números.
Cada punto en el grafico corresponde a un
par ordenado (x ; y): par porque está compuesto
por dos elementos y ordenado por que importa
mucho el orden de esos elementos.
El punto A tiene como valor de abscisa 4, y como
ordenada, 3, y escribimos A=(4;3)
Ejercicio 1: Ubica los puntos en un sistema de coordenadas cartesianas y completa el cuadro con los
puntos graficados
P = (-3,3)
Q = (3,3)
R= (1,0)
S = (0,-1)
T= (4,5)
M = (2,5)
N=(-1,-3)
Ubicación en el
plano
Primer Cuadrante
Puntos
Segundo cuadrante
Tercer cuadrante
Cuarto Cuadrante
Eje x
Eje y
Ejercicio 2: Escribe las coordenadas de los vértices de cada triángulo:
FUNCIÓN. DOMINIO E IMAGEN
Las funciones aparecen en nuestra vida cotidiana muy a menudo, las encontraremos de todo tipo
porque sirven para describir fenómenos físicos, económicos, biológicos, estadísticos, sociológicos o
para expresar relaciones matemáticas utilizando una ecuación:
Ejercicio 3: Realicen la siguiente actividad para identificar cuando una relación es una función:
a) Lean con atención el dialogo que mantuvieron Fernando y Laura cuando se encontraron en el colegio:
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FERNANDO: _ Después de unas cuadras se rompió la cadena de la bicicleta, estuve parado
unos minutos, pero como no pude arreglarla, tuve que venir caminando.
LAURA: _ A las dos cuadras me acordé de que teníamos gimnasia, volví a casa para buscar
las zapatillas y tuve que pedalear más rápido para no llegar tarde.
b) Observen los gráficos que describen a que distancia de su casa se encontraba cada uno camino al
colegio. Indique cuál corresponde al viaje de Fernando y cuál al de Laura.
En los gráficos anteriores se representan relaciones entre dos variables: la distancia y el tiempo. A
cada valor de la variable tiempo le corresponde una distancia y ese valor es único (ya que es imposible
estar en dos lugares al mismo tiempo)
En ésta actividad, el tiempo es la variable independiente y la distancia, la variable dependiente. Se
puede decir que la distancia recorrida es función del tiempo.
En el gráfico de una función, la variable independiente se ubica en el eje x y la dependiente sobre el
eje y.
Ejercicio 4: Representa en los ejes cartesianos los valores dados en la tabla que corresponden a la
variación de la temperatura de un enfermo a lo largo de 24 horas:
x
0
4
8
12
16
20
24
y
39
38
37
38
37
39
38
El gráfico y la tabla relacionan dos magnitudes: temperatura y tiempo, las cuales se llaman variables y
son representadas en cada uno de los ejes cartesianos utilizando una escala.
Cada punto de la gráfica corresponde a un par de valores: un valor de x (variable independiente) y el
correspondiente valor de y (variable dependiente).
Una función es una relación entre dos variables en la cual a cada valor de la variable
independiente le corresponde un único valor de la variable dependiente.
Simbólicamente una función se expresa: y = f(x)
Se lee: “ y es función de x” o “ y es igual a f de x”
Lo que significa que el valor que toma y depende del valor que le damos a x.
Dominio e Imagen de una función:
El conjunto de los valores de x a los cuales les corresponde algún valor de y se llama dominio de la
función.
En el ejercicio 4: Dom (f) = {……………………..}
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El conjunto de los valores que son el resultado de aplicar la función a los valores del dominio se
llama imagen de la función.
En el ejercicio 4: Im (f) = {……………..}
f(0) = 39 por lo que decimos que 39 es la imagen de 0 por medio de f o que 39 es la preimagen de 0.
Reconocimiento de una función:
Para verificar si un gráfico cartesiano representa una función basta con trazar rectas paralelas al eje y. Si
dichas rectas cortan al gráfico en un solo punto la gráfica corresponde a una función.
No es función por que 2 tiene dos
imágenes: 2 y −2
Si es función porque a cada elemento del
dominio le corresponde una única imagen
Ejercicio 5: Escribe los pares ordenados de las siguientes gráficas y diga cual es función. Justifique:
Ejercicio 6: De la función hallada en el ejercicio 3 determine dominio e imagen:
Ejercicio 7: Indique cual de los siguientes gráficos representan funciones:
Ejercicio 8: La gráfica de la figura nos muestra el recorrido realizado por un grupo de
deportistas entre las 9 y 17 horas.
a) ¿Cuál es la variable dependiente y la
independiente?
b) Indique el dominio y la imagen de la
función.
c) ¿Cuántas horas descansaron los
deportistas?
d) ¿En que periodo de tiempo
recorrieron más kilómetros?
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Ejercicio 9: Observe el gráfico de la siguiente función y responde:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Determine dominio e imagen de la función.
¿Cuál es la imagen de 8?
¿Cuál es la preimagen de 8?
¿El punto (-4;0) pertenece a la función?
¿Y el (3;2)?
Completa:
* f(−1)= ….…..
* f(3)=………..
* f(0)=……….
* f(−7)=……….
* f(
* f(
* f(
* f(
……. )=−4
……. )= 2
……. )= 8
……. )= 0
Características de una función:
A) Crecimiento y decrecimiento: Máximos y Mínimos:
Para estudiar las variaciones de una función hay que mirarla de izquierda a derecha.
Una función es creciente cuando al aumentar x, también aumenta y.
Una función es decreciente cuando al aumentar x, disminuye y.
Una función puede ser creciente o decreciente por tramos, el punto que toma el mayor valor de un
tramo creciente es el máximo de la función; el punto que toma el menor valor en un tramo
decreciente es el mínimo de la función.
Ejercicio 10: El siguiente gráfico muestra un estudio realizado sobre la exportación de pollos de nuestro
país a Brasil en un determinado periodo de tiempo:
Observa el gráfico y luego responde:
a) ¿Entre que período se realizó el
estudio?
b) ¿En cuántas ocasiones se recaudó
350 millones de pesos?¿Entre qué
años?
c) ¿En qué períodos las exportaciones
crecieron?¿Y en qué periodo
decrecieron?
d)
d) ¿En que año tuvo lugar la exportación máxima y mínima?¿A que valores de millones de pesos
corresponde?
e) ¿Qué indica el tramo comprendido entre los años 2000 y 2002?
B) Continuidad y discontinuidad:
Una función es continua si la gráfica se puede trazar sin levantar el lápiz del papel. Es decir la
gráfica no se interrumpe.
Una función es discontinua si la gráfica de la función presenta un salto. Es decir la gráfica es una
serie de puntos o tramos escalonados.
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Las gráficas a) y b) representan funciones…………………….
Las gráficas c) y d) representan funciones ……………………
Funciones definidas por fórmulas
Para representar gráficamente una función definida por fórmula se asignan valores a la variable
independiente (x) y se obtiene los de la variable dependiente (y); así se logran los puntos de la función.
Por ejemplo:
Si unimos los puntos
x
y = 2x −1
graficados
obtenemos la
2
2.2−1= 3
representación gráfica de
1
2.1−1=1
una función definida en
el conjunto de los
0
…………
números reales.
Escribimos:
−1
…………
2
f: R  R
………….
Ejercicio 11: Completa la tabla correspondiente a cada función:
a) y = 3x − 5
b) y = x2
x
y
2
x
y
c) y = −2 x3
x
5
−6
1
7
−3
0
0
0
−1
−5
3
−2
−7
6
y
FUNCIÓN LINEAL
Una función lineal es aquella cuya representación gráfica es una recta.
La fórmula general de una función lineal es:
y = a .x + b
Pendiente
Donde a y b son números reales
Ordenada al origen
La pendiente determina la inclinación de la recta e indica cuánto varía y al aumentar x una unidad.
La ordenada al origen es el valor donde la recta corta al eje y.
Para graficar la función lineal y = 3x +1 confeccionamos una tabla de valores, luego ubicamos los
puntos de la tabla en un sistema de ejes cartesianos y los unimos con un trazo continuo pues la función
tiene dominio real.
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x
2
1
0
−1
−2
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y=3x+1
Ejercicio 12: Marca con una x las funciones que sean lineales:
 y = x3
 y = 3x + 4
 y = 5x
 y = −2
 y = x2 +5
Ejercicio 13: Construye una tabla de valores (sólo 4) y grafica las siguientes funciones lineales:
1
a) y  3x  1
d) y  2 x
g) y  x  1
3
b) y  x  2
e) y  3x  5
c) y  5 x  6
f) y  1 x  3
2
h) y   3 x  3
4
i)
3
1
y  x
2
2
Ejercicio 14: Completa el cuadro
Función lineal
y  3x  1
Pendiente
Ordenada al
origen
¿Es creciente o decreciente?
¿Porqué?
y  x2
y  2 x
y  3x  5
1
x 1
3
3
1
y  x
2
2
y
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DADA SU PENDIENTE Y SU ORDENADA AL ORIGEN:
Es posible graficar una función sin recurrir a la tabla de valores; ya que con la ordenada al origen y la
pendiente podemos determinar la recta:
1) Como el gráfico es una recta, con sólo conocer dos
Ejemplo: y  3 x  2
puntos de la función podemos graficarla.
4
2) Marcamos (0 ;2) que pertenece a la función (2 es la
ordenada al origen).
3) Luego marcamos el punto (4; 3), a partir del (0; 2).
Está determinado por la pendiente que es 3 . Esto
4
significa que cada 4 unidades que aumenta x; 3
unidades aumenta y.
4) Por último, trazamos una recta que pasa por los dos
puntos marcados
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Ejercicio 15: Grafica las siguientes funciones lineales por pendiente y ordenadas al origen:
a) y  1 x  3
b) y   1 x  2
c) y  2 x  6 d) y  3x  4
e) y  2 x
5
4
3
RAÍZ DE UNA FUNCIÓN:
Las raíces de una función son los valores de x que
hacen que y valga cero.
Como y vale cero la gráfica de la función corta
al eje x en esos puntos.
En el gráfico observamos que la función g tiene tres
raíces y la función f tiene sólo una.
Ejercicio 16: Halla las raíces de las siguientes funciones lineales:

1
2
a) y  x  3
b) y  x  6
c) y  0,2x  18
4
3
Ejercicio 17: Representa en un mismo eje cartesiano las siguientes rectas. Extrae conclusiones:
1
1
y  x 1
a) y  x  5
3
3
1
y  2 x  3
b) y  x  3
2
y  x2
y2
c) y  5 x  2
Ejercicio 18: ¿Los puntos a = (3;6) y b=(9; 12) pertenecen a la algunas de las siguientes funciones
lineales?. Justificar
a) y = 2x+1
b) y = 3x + 2
c) y = x +3
d) y = 5x −2
SISTEMA DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS- MÉTODO GRÁFICO
En la unidad anterior vimos como plantear sistema de ecuaciones de primer grado y los resolvimos
mediante dos métodos: de sustitución e igualación. Ahora veremos el Método gráfico:
Ejemplo: “La suma de las edades de Ximena y Yamila es de 24 años, y Ximena tiene 4 años más que
Yamila. ¿Cuántos años tiene Ximena? ¿Y Yamila?
La ecuación que se plantea a partir de la primer condición es: x + y = 24
La segunda condición expresada en leguaje simbólico es: x = y + 4
Dos ecuaciones con dos incógnitas cada una representan un sistema de ecuaciones y escribimos:
 x  y  24

x  y  4
Se grafican ambas ecuaciones despejando en cada una de ellas la incógnita y.
En nuestro ejemplo tenemos:
 x  y  24

x  y  4
 y  24  x
 y  x4
Las dos funciones se grafican en un mismo sistema de
ejes cartesianos y el punto en que se cortan las rectas
es la solución del sistema.
En nuestro ejemplo el punto (14; 10) representa el par
(x; y) que verifica las dos condiciones enunciada.
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Por lo tanto, Ximena tiene………… y Yamila……………
 x  y  24
x  y  4
Verificación: 
 14  10  24
 14  10  4
CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS SEGÚN EL NÚMERO DE SOLUCIONES:
En general, un sistema de dos ecuaciones lineales tiene una única solución, que es el punto donde se
cortan las dos rectas. Hay casos donde no siempre ocurre esto.
Un sistema de ecuaciones puede tener solución (compatible) o no tenerla (incompatible).
Los sistemas pueden tener una solución (determinados) o infinitas soluciones (indeterminados).
Resolver un sistema es dar sus soluciones o indicar que no tiene solución.
En resumen:
Sistema de Ecuaciones
Incompatibles: ninguna
solución
Compatibles: tienen solución
Indeterminado: infinitas
soluciones
Determinado: una solución
Ejercicio 19: Resuelve gráficamente cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones:
2 x  y  8
a) 
 y  x  1
 y  2 x  3
b) 
x  y  0
2 x  y  2
b) 
x  3 y  4
Ejercicio 20: Plantea el sistema de ecuaciones y resuélvelo gráficamente:
En un curso de computación hay 18 alumnos entre varones y mujeres. La cantidad de mujeres es el
doble que la de los varones. ¿Cuántos varones y mujeres hay en el curso?
Ejercicio 21: Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones y clasifícalos según el
número de soluciones:
a)
x+y=5
2x + y = 8
b)
x-2y=6
2x – 4y =5
c)
2x+y=4
4x+2y=8
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FUNCIÓN CUADRÁTICA
La fórmula de una función cuadrática está dada por la expresión y  ax2  bx  c donde a, b y c son
números reales y a  0 .
La curva que corresponde a una función cuadrática se denomina parábola.
El punto máximo o mínimo de la parábola se denomina vértice.
Una función cuadrática puede tener:
 Una raíz real (la parábola “corta” al eje x en un punto).
 Dos raíces reales (la parábola “corta” al eje x en dos puntos).
 Ninguna raíz real (la parábola “no corta” al eje x).
Ejercicio 22: Completar la tabla y graficar. Extraer conclusión:
a) x
b)
y = x2
x
0
1
2
-1
-2
d)
y = x2+1
c) x
0
1
2
-1
-2
y = − x2
x
e)
0
1
2
-1
-2
x
0
1
2
-1
-2
La fórmula y  
y = x2+3
d) x
0
1
2
-1
-2
y = -x2+2
f)
x
0
1
2
-1
-2
y = x2-5
0
1
2
-1
-2
y = -x2+4
g)
y = - x2-1
x
0
1
2
-1
-2
1 2
x  x describe la altura que alcanza un grillo a medida que transcurre el tiempo.
2
Ejercicio 23: Completar la tabla y representar los puntos en los ejes de coordenadas:
x
y
(tiempo en
segundos)
0
1
2
3
4
1 2
x x
2
(altura en metros)
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Ejercicio 24: Observen los gráficos y completen la tabla.
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