Informe de Laboratorio Nº3 OBJETIVOS Determinar experimentalmente los periodos de oscilación de un péndulo físico y a partir de ellos calcular los momentos de inercia. Notar la relación de centro de inercia con periodo del péndulo físico. Comprobar el teorema de Steiner. Yance Aranda, Israel 2 Informe de Laboratorio Nº3 INSTRUMENTOS Equipo: Una barra metálica de longitud L con huecos. Un soporte de madera con cuchilla. Dos mordazas simples. Un cronómetro digital. Una regla milimetrada. Yance Aranda, Israel 3 Informe de Laboratorio Nº3 FUNDAMENTO TEÓRICO Se denomina péndulo físico a un cuerpo rígido capaz de pivotar en torno a un eje horizontal fijo, como se ilustra en la figura 1.1. La figura 1.1.A muestra la orientación de equilibrio del péndulo, con el centro de gravedad a una distancia vertical b del eje de rotación. En esta configuración, la componente del torque de la fuerza en torno al eje de rotación es igual a cero. Sí el péndulo se desplaza de su posición de equilibrio, como lo ilustra la figura 11.B, “aparece” un torque ejercido por la fuerza de gravedad en la dirección del eje que pasa por punto de suspensión, que tiende a hacer girar el péndulo en dirección contraria a su desplazamiento angular que y de ésta forma llevar al péndulo de nuevo a su posición de equilibrio (torque recuperador), posición que no logra obtener debido a su inercia. La ecuación de movimiento que describe ésta situación física es la siguiente: mgbsen I b Donde I representa el momento de inercia del péndulo físico respecto a un eje que pasa por 0 el punto de suspensión O, y b es la distancia que separa al centro de gravedad de dicho punto de suspensión. Yance Aranda, Israel 4 Informe de Laboratorio Nº3 Esta ecuación la podemos expresar en forma de ecuación diferencial: d 2 m gb sen 0 Ib dt 2 Esta ecuación diferencial no es lineal, por lo que no corresponde a la ecuación diferencial de un oscilador armónico. Más, sin embargo, si hacemos la aproximación para pequeñas oscilaciones, sen , la ecuación anterior se transforma en: d 2 m gb 0 Ib dt 2 Que sí corresponde a la ecuación de un oscilador armónico con frecuencia angular: mgb Ib Y con período, T 2 Yance Aranda, Israel Ib m gb 5 Informe de Laboratorio Nº3 Como el experimento se realiza con una regla de metal, b sería la longitud l que viene a ser la distancia del centro de gravedad (CG) al eje de giro. Si aplicamos el Teorema de Steiner (“teorema de ejes paralelos”): I l I G Ml 2 I G Ml 2 T 2 mgl Yance Aranda, Israel 6 Informe de Laboratorio Nº3 CÁLCULOS Y RESULTADOS 1. Llene la tabla con las siguientes características # de hueco 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 l (cm) 0.061 0.110 0.160 0.209 0.260 0.310 0.362 0.411 0.459 0.511 t1 (s) 33.450 32.840 32.430 31.810 31.740 32.020 33.200 17.450 20.310 26.720 t2 (s) 33.380 32.900 32.370 31.750 31.770 32.120 33.220 17.610 20.380 26.660 t3(s) 33.430 32.810 32.480 31.790 31.720 32.060 33.150 17.690 20.260 26.840 # de osc. 20 20 20 20 20 20 20 10 10 10 Periodo (prom.) 1.671 1.643 1.621 1.589 1.587 1.603 1.660 1.758 2.032 2.674 2. a) Grafique T vs l, T en la vertical y l en el eje horizontal. b) A partir de la ecuación (1), con Il dada por la ecuación (2), encuentre el valor de l donde el periodo es mínimo. De la ecuación: Yance Aranda, Israel 7 Informe de Laboratorio Nº3 …(1) Il = IG + Ml2 …(2) Resolviendo con las dos ecuaciones: IG + Ml2 = (T2*M*g*l)/(2 )2 Siendo IG, M, g, y (2 )2 constantes el periodo solo depende de l, entonces tenemos una función T=T(l) y para obtener el valor de periodo mínimo derivamos respecto a l e igualamos a cero. De lo cual obtenemos: l2= IG/M Teniendo IG = 0.1883, M = 1.850 l = 0.319m c) Compare el valor de l obtenido en b) con el que obtiene de la grafica en (a). Aproximando la gráfica obtenemos: T = 11.43l2 - 8.0572l + 2.916…(3) Derivando (3) para obtener el mínimo e igualando a cero, tenemos: 22.86l – 8.0572= 0 Obteniendo: l = 0.352m d) ¿Cuál es el periodo para esta distancia? Hallaremos el periodo con l = 0.352m con la ecuación (1) Il = 0.1883 M = 0.185 T = 1.603s e) De su gráfico, ¿puede deducir dos puntos de oscilación del mismo periodo? Indíquelos. Teniendo la grafica simétrica respecto al eje Y (del periodo), tendrán el mismo periodo los que se encuentren a una distancia a la derecha igual a una distancia a la izquierda del centro de gravedad, pero también se puede observar que en cada rama existe una concavidad que produce un mínimo en el periodo lo que resulta dos valores de l positivos que tiene el Yance Aranda, Israel 8 Informe de Laboratorio Nº3 mismo periodo. Analíticamente para dos valores de l positivos tenemos que cumplen la siguiente relación: l1*l2 = IG/M. Con los datos obtenidos tenemos que los periodos en los huecos Nº2 (T=1.6425) y Nº7 (T=1.6595) son aproximadamente iguales. 3. Con el valor de T conocido experimentalmente, encuentre, utilizando la relación (1), el valor de Il y llene la Tabla 2 con las siguientes características. # de hueco 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 l (cm) 0.511 0.459 0.411 0.362 0.310 0.260 0.209 0.160 0.110 0.061 T^2 (s^2) 2.792 2.698 2.629 2.525 2.519 2.571 2.754 3.092 4.128 7.150 MI Il 0.655 0.568 0.496 0.420 0.358 0.307 0.264 0.227 0.208 0.200 l^2 (cm^2) 0.261 0.211 0.169 0.131 0.096 0.068 0.044 0.026 0.012 0.004 4. Haga el grafico Il vs. l2, y ajústelo por el método de mínimos cuadrados cuando los puntos obtenidos estén muy dispersos. MOMENTO DE INERCIA Vs. LONGITUD^2 0.700 Momento de Inercia 0.600 0.500 0.400 0.300 0.200 0.100 0.000 0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300 Longitud^2 Yance Aranda, Israel 9 Informe de Laboratorio Nº3 Aproximando por mínimos cuadrados obtenemos: Il = 1.802l2 + 0.1865 …(4) 5. Del grafico anterior, y por comparación de la ecuación (2), determine IG y M. De la ecuación (4) comparamos con la ecuación (2) y obtenemos IG = 0.1865 y M = 1.802 6. Compare el valor de IG obtenido en el paso 5 con el valor de la forma analítica para una barra de longitud L y ancho b, IG = M*(L2+b2)/12. ¿Qué error experimental obtuvo?, y, ¿qué puede decir acerca de la masa? Tenemos M =1,850Kg, L =1.103m, b =0.07m, con lo cual resulta IG = 0.1883 Obtuvimos experimentalmente el valor de IG = 0.1865, entonces el error experimental es: El error cometido experimentalmente no es tan significante, en cuanto a la masa, también podemos calcular el error cometido: Notamos que el error cometido en la masa es más notorio y quizá se deba a una mala medición de ella. 7. Halle la longitud del péndulo simple equivalente, para este cálculo solicite al profesor del aula que le asigne el número de hueco. El número de hueco proporcionado por el profesor para el calculo del péndulo simple equivalente es el Nº5. La ecuación (6) nos da dicha longitud. Calcularemos L5 teniendo como datos Il = 0.358, M = 1.85, l = 0.31 Con lo cual se obtiene el valor de L5 = 0.624 Yance Aranda, Israel 10 Informe de Laboratorio Nº3 8. Demuestre en forma analítica las relaciones (1) y (2) La demostración de la ecuación (1) se presenta en el fundamento teórico. La demostración de la ecuación (2) se demuestra con el teorema de Steiner, de los ejes paralelos, deducido por los resultados de las integrales cuando estas eran movidas a otros ejes respecto a su centro de masa. Yance Aranda, Israel 11 Informe de Laboratorio Nº3 CONCLUSIONES No se puede determinar el periodo en el centro de gravedad, porque en el se va a producir el equilibrio mecánico. Se concluye que existe relación entre el periodo de oscilación y el Il. El periodo mínimo del experimento es T = 1.603s (experimental) Se pudo deducir hasta 4 distancias al centro de gravedad con el mismo periodo que cumplían una relación. Se demostró experimentalmente el Teorema de Steiner, teorema de los ejes paralelos. La longitud del péndulo equivalente para el hueco # 5 es L5= 0.624. Yance Aranda, Israel 12 Informe de Laboratorio Nº3 OBSERVACIONES Se puede notar que el error en el experimento debido a que se toman periodos promedios, el fallo en el calculo exacto de las medidas de longitud, masa, y periodos. El error en el cálculo de la longitud es 0.5mm. El error en el calculo de la masa es de 0.0005Kg El error en el cálculo del periodo es 0.005s. Fue tomada la gravedad con g = 9.8 m/s2 A pesar de todo, los errores que se cometieron fueron leves y los resultados fueron muy próximos a los idealizados. Yance Aranda, Israel 13