2. METODOLOGÍA

Metodología (instrumentación, observación, cálculo)
2. METODOLOGÍA (INSTRUMENTACIÓN, OBSERVACIÓN, CÁLCULO).
2.1. CARACTERÍSTICAS DE UN CAMPO POTENCIAL.
2.2. LA ECUACIÓN DE LAPLACE Y EL TEOREMA DE POISSON.
2.3. INSTRUMENTOS DE MEDIDA DE LA GRAVEDAD Y
PRECISIÓN DEL OBSERVABLE.
2.3.1. La deriva del gravímetro.
2.3.2. La marea.
2.4. OBTENCIÓN DE LAS ANOMALÍAS, FUNDAMENTOS.
2.4.1. Reducción a los datos de la gravedad.
2.5. PROCEDIMIENTOS DE MEDIDA Y APOYO TOPOGRÁFICO.
2.6. LA DENSIDAD DE LAS FORMACIONES.
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Metodología (instrumentación, observación, cálculo)
2.1. CARACTERÍSTICAS DE UN CAMPO POTENCIAL.
La fuerza de atracción, F, entre dos puntos de masas m y m’, separados por una
distancia, r, viene dado por la Ley de Newton de forma que siendo r1 un vector unidad
entre m y m’, y G la constante gravitacional con un valor medido de 6.672x10-11 N
m2/Kg2 en el SI:
 m m' 
F  G  2  r1
 r 
Ec. 2.1
La fuerza gravitacional además de ser enunciada por la Ley Universal de atracción de
Newton también viene dada por la segunda ley del movimiento de Newton, F = m.g,
siendo g la aceleración causada por el efecto atractivo de la tierra, si el cuerpo sufriese
una caída libre. Así pues, la aceleración de la gravedad g (referida tan solo a la gravedad)
podría ser considerada como la fuerza ejercida por la Tierra sobre una unidad de masa, lo
cual se expresa como sigue:

M
g  F / m  G  2E
 RE

 r1 Ec. 2.2

Unidades:
1ms-2=100 Gal
1ms-2=1.10-5 mGal
1ms-2=1.10-8 μGal
1ms-2=1.10-6 gu
Unidades de la gravedad en el SI: m/s2. Unidades para g en el cgs: cm/s2.
El potencial gravitacional, U , debido a un punto de masa m en un punto dado P, a una
distancia r desde m, se define como el trabajo realizado por la fuerza gravitacional para
desplazar una unidad de masa desde el infinito a la posición del punto P. En geodesia y
geofísica se suele tomar U con signo positivo y su magnitud viene dada por:
U  Gm / r
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Ec. 2.3
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Figura 2.1
La función potencial juega un importante papel en la teoría de atracción, debido a que
la derivada negativa de U proporciona el valor de la atracción gravitatoria en la dirección
correspondiente. Así pues:
gr  
 U Gm Ec. 2.4
 2
r
r
La fuerza de atracción debida a una distribución de masa generalizada, es el resultado
de la suma vectorial de todas las atracciones producidas por cada uno de los puntos de
masa, ya que hay que tener en cuenta que los puntos de masa se hallan distribuidos en el
espacio con una posición distinta lo cual redunda en una atracción sobre un punto de una
forma diferenciada. Generalmente, de las componentes entre las que se puede dividir la
gravedad, resulta de mayor interés la componente vertical (gz). Esta es calculada en un
punto P mediante la ecuación integral:
dM
 cos  dV
cos  G 
2
r
r2
M
V
g G 
Ec. 2.5
Donde dM es la masa del volumen dV de densidad ρ a una distancia r desde P.
Si consideramos el punto P localizado en α,β,0 y el elemento de masa en x,y,z,
rescribiendo dM = ρ·dx·dy·dz, en este sistema de coordenadas podemos escribir que:
g  G 
Siendo r:

 z dx dy dz
r3
Ec. 2.6
)
r  x      y     z 
2
2
2

Si la distribución de masa es bidimensional, lo cual ocurre cuando nos encontramos con
un objeto con forma alargada y con una sección transversal constante; designándose cada
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elemento de la sección transversal que la constituye como dS y considerándose a los
efectos que el objeto tiene una longitud infinita y que esta coincide con el eje y, la
ecuación (2.6) se convierte en:
g ( 2 D )  2G 
Siendo r:

 z dx dz
r2
r  x     z 
2
2
Ec. 2.7

Las fórmulas vistas constituyen las ecuaciones básicas para el cálculo de los efectos
de la gravedad causados por cuerpos con densidad uniforme. El uso de las ecuaciones
(2.6) y (2.7) hace posible el obtener expresiones analíticas para resolver el efecto de la
gravedad causado por cuerpos de forma regular, tales como esferas, cilindros y láminas
horizontales. De todas la más utilizada es la de una lamina horizontal con extensión
infinita, la cual viene dada por:
g  2Gh) Ec. 2.8
Siendo ρ la densidad, y h la altura de la lámina.
y
x
z
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2.2. LA ECUACIÓN DE LAPLACE Y EL TEOREMA DE POISSON.
Para nuestros objetivos en la prospección gravimétrica resulta ineludible hacer hincapié
en ciertos aspectos de la función potencial. Uno de ellos es el que establece que en los
puntos del espacio exterior (zona externa a la región que contiene la masa atrayente), se
satisface la ecuación de Laplace.
2 A 
2 A 2 A 2 A


0
x 2 y 2 z 2
Ec. 2.9
2.3. INSTRUMENTOS DE MEDIDA DE LA GRAVEDAD Y PRECISIÓN
DEL OBSERVABLE.
La determinación de g en cualquier punto de la superficie terrestre con una precisión
mayor a una parte de 10 millones requiere de un gran cuidado, siendo esta precisión la
demandada hoy en día en levantamientos gravimétricos con propósito prospectivo.
Existe un método llamado estable o estático que dota de elementos de alta
sensibilidad, ya sean de electrónica, mecánica u óptica para amplificar estos pequeños
movimientos, hasta obtener la precisión requerida.
Un segundo método es el llamado astático el cual emplea una fuerza negativa,
contraria a la fuerza ejercida por el muelle (en el mismo sentido de la gravedad) lo cual
produce una amplificación del desplazamiento.
La mayor parte de los gravímetros en uso emplean lo que se conoce como muelle de
longitud cero, el cual es pretensionado durante su fabricación de forma que la fuerza
restauradora será proporcional a la longitud física del muelle más que a la extensión del
muelle. El diseño del gravímetro Lacoste and Romberg (L&R) es el típico de los
gravímetros astáticos.
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Metodología (instrumentación, observación, cálculo)
Figura 1.4
Figura 2.2 Esquema de diseño de un L&R
Cualquier cambio en la fuerza de la gravedad actúa sobre la masa y causa un
movimiento que produce el cambio del ángulo θ formado por el muelle y la viga así como
también el momento del muelle sobre la viga. Debido a la conveniente elección de la
geometría y constante del muelle, la torsión neta de la masa puede ser reducida al mínimo
y el equilibrio volverse inestable. El sistema entonces es muy sensitivo a pequeñas
variaciones de g. El cambio de la gravedad de un sitio a otro es medido en términos de la
fuerza restauradora necesaria para restablecer al muelle su posición original, mediante la
variación de la posición vertical del muelle mediante un tornillo micrométrico de ajuste.
Para minimizar los efectos mecánicos causados por el cambio de la temperatura en el
elemento sensible del gravímetro, hay que procurar una temperatura ambiental estable, lo
cual se consigue mediante una batería que suministra energía a una resistencia que
proporciona calor, manteniéndose esta temperatura constante gracias a un termostato.
Existen diseños de gravímetros dotados de elementos compensadores de los efectos de la
temperatura. Este es el caso del gravímetro Worden, que va equipado con unas fibras que
tienen un comportamiento contrario al que sufren el resto de los elementos sensibles del
gravímetro, procurándose de esta forma una compensación. Todos estos dispositivos se
encuentran en un recinto altamente aislado.
La precisión de los gravímetros utilizados en la exploración geofísica está alrededor de
10 μGal (10. 10-8 m/s2) y la amplitud de medición del rango es de unos cuantos millares
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Metodología (instrumentación, observación, cálculo)
de μGal.
La reciente introducción de nuevos componentes electrónicos, que permiten una toma
de lecturas más rápida y precisa, y el almacenamiento de datos, ha permitido que la
microgravimetría se afiance como un estudio de alta resolución en ciertas aplicaciones,
como la detección de cavidades subterráneas y áreas mineras abandonadas, y el estudio
de vestigios arqueológicos. En definitiva, para abordar las tareas microgravimétricas en la
actualidad, se recomienda un microgravímetro equipado con Feedback, el cual proporciona
lecturas con mayor rapidez y con mayor precisión, y a la vez actúa como un filtro de las
altas frecuencias. Un equipamiento como éste, hoy en día puede proporcionar unas
precisiones estándar entorno a los 3 μGal.
Figura 2.3
2.3.1. La deriva del gravímetro.
Las lecturas de los gravímetros obtenidas en los puntos de observación son
cambiantes con el tiempo. Esta continua variación de las lecturas de la gravedad con
respecto al tiempo es conocida como deriva del gravímetro, y es debida a efectos
internos y externos al gravímetro. Los efectos internos más importantes son causados por
pequeños deslizamientos sufridos por el muelle del gravímetro. Los efectos externos más
importantes son los debidos a cambios de presión y de temperatura en el exterior del
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Metodología (instrumentación, observación, cálculo)
instrumento que redundan en el muelle del gravímetro, así como el desplazamiento del
gravímetro que produce unas tensiones parásitas en el muelle. Todo esto produce un
cambio en las lecturas. En cualquier caso no es posible establecer una ecuación para la
estimación de la deriva, por lo cual se prefiere controlarla. Este control se realiza mediante
reocupaciones y nueva toma de lecturas en puntos donde ya se han tomado lecturas. Esta
metodología de trabajo nos permite ver como cambia los valores de la deriva con el
tiempo.
δg-gm
3
B1
1
2
Δg3
4
d
Cd3
B1
tB1
B1
t1
t2
t3
tB1
’
t4
tB1´´
tiempo
Figura 2.4
2.3.2. La marea.
Existe otro factor externo al instrumento que provoca un cambio de los valores de la
gravedad. Este es debido a la posición cambiante de la Luna y el Sol con respecto al punto
donde se está observando la gravedad. La Luna y el Sol, a pesar de estar alejados del
punto de observación, tienen suficiente masa como para influir en la gravedad observada
en un punto. Estas masas con el tiempo sufren aproximaciones y alejamientos del punto
de observación (movimientos de traslación y rotación de la Tierra), lo cual provoca
variaciones de la atracción en un punto (mareas). Sin embargo estas atracciones pueden
ser calculadas con bastante precisión.
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Metodología (instrumentación, observación, cálculo)
El máximo cambio que producen las mareas se cifra en 50 μGal/h, mientras que el
efecto de la deriva es imprevisible, por lo que siempre se opta por controlarlo. Aún así,
para hacernos una idea, se han llegado a observar derivas de 100 μGal/h en condiciones
ambientales extremas.
Deriva instrumental
g observada
Marea calculada
Figura 2.5
3
r2 
1
Vt  GM t 3  cos 2Z t  
4
rt 
3
Ec. 2.10
Vt 2
3
r 
1
 Vt  GM t 3  cos2Z t  
r r
2
rt 
3
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Ec. 2.11
Metodología (instrumentación, observación, cálculo)
marea
6
4
g
t
2
0
-2
h
-4
-6
0
5
10
15
20
25
Figura 2.6
gt
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5 0
5
10
15
Figura 2.7
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20
h
25
Metodología (instrumentación, observación, cálculo)
k.∆rt
W+Wt=cte.
.∆rt
∆rel=h.∆rt
Superficie de la Tierra
sin deformar
W=cte.
g
Figura 2.8
PRECISIÓN DEL OBSERVABLE GRAVIMÉTRICO
Instrumental utilizado
Precisión intrínseca
Correcciones temporales
- marea (Tema 7)
- deriva (Tema 6 y 8)
(Tema 6) y Tabla 9.4
Deriva instrumental
g observada
Marea calculada
Figura 2.9
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Metodología (instrumentación, observación, cálculo)
2.4. OBTENCIÓN DE LAS ANOMALÍAS, FUNDAMENTOS
P
Superficie
terrestre
gP
PG
gPG
Geoide
Q
Q
Figura 2.10
Norte Astronómico
Norte
cartográfico


Figura 2.11
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Vertical
del
lugar
Metodología (instrumentación, observación, cálculo)
Por definición:
Ec. 2.12
W U T
N
Ec. 2.13
g  g PG   Q
T
g 

Ec. 2.14

 T T

0
n  n
T ( ,  ) 
Ec. 2.15
R
g S ( ) d
4 
Ec. 2.16
En este caso la herramienta utilizada para resolver o establecer correlaciones con una
composición diferenciada del subsuelo será de nuevo g.
g  g PG   Q Ec. 2.17
g

Tierra heterogénea
(Geoide;W)
(Superficie arbitraria; G)
Tierra homogénea
(Elipsoide;U)
(Superficie arbitraria; K)
Figura 2.12

Abordaremos una nueva visión de la anomalía de la gravedad. En ella entenderemos
que la anomalía de la gravedad es la comparación de los valores de la gravedad
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Metodología (instrumentación, observación, cálculo)
observados* y teóricos.
En definitiva, el proceso planteado persigue obtener el valor de la gravedad relacionado
con la masa anómala el cual viene dado por g.
COMPONENTES DE
LA GRAVEDAD
OBSERVADA
GRAVEDAD
ASOCIADA A LA
MASA ANOMALA
DECORRELACIÓN
Valores de la gravedad
asociados a la masa
subsuperficial.
Valores de la gravedad
asociados a la masa
subsuperficial.
(reducidos a un plano)
Valores de la gravedad asociado
a la masa de la Tierra.
(Proporcionados por el
elipsoide)
Valores de la gravedad asociados a
masas en superficie.
(superiores a la superficie de
reducción)
Valores de la gravedad
variables con el tiempo
y la latitud
2.4.1. Reducción a los datos de la gravedad.
CORRECCIÓN POR LATITUD
Esta corrección no se realiza cuando utilizamos la definición clásica de anomalía, ya
que el valor de gQ lleva implícita esta variación.
g  g PG   Q
Ec. 2.18
 Q  g  9.780318(1 0.0053024sen2  0.0000059sen2 2) Ec. 2.19
(GRS- 1967)
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Metodología (instrumentación, observación, cálculo)
Y
(x,y)
X
Es práctica habitual utilizar coordenadas cartesianas en los levantamientos, en el caso
de que el eje y guarde paralelismo con la dirección de los meridianos. Se puede utilizar la
linealización de (9.2) para obtener el incremento de la gravedad.
C 
1 g
 812sen2 Gal / km ( N  S ) Ec. 2.20
RE 
CORRECCIÓN AIRE-LIBRE
Esta corrección tiene en cuenta el decrecimiento de los valores de la gravedad
conforme aumenta la altitud de un punto debido al alejamiento producido respecto del
centro de masas de la Tierra.
CAL  2 g0 h / RE  308.6h Gal
(Tema 3.2.1)
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Ec. 2.21
Metodología (instrumentación, observación, cálculo)
P
g
h
PG
g0
Fig. 4.3.
Figura 2.13
CORRECCIÓN BOUGER
Esta corrección tiene en cuenta el efecto de atracción provocado por el material
existente entre el punto donde se toman los valores de la gravedad y la superficie de
reducción sobre la cual se quieren conocer los valores de la gravedad.
CB  2 g  h  41.9 h Gal
Ec. 2.22
Siendo r la densidad del terreno en g/cm3 y h la altura del punto.
CORRECCIÓN TERRENO
En el caso de encontrarnos en una zona accidentada la corrección de Bouguer no
elimina completamente la componente de la gravedad originada por la topografía.
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Metodología (instrumentación, observación, cálculo)
Por una parte se ha eliminado la
influencia de un terreno inexistente.
Ambas componentes son corregidas
Y sigue sin eliminarse la influencia del
mediante la Corrección Terreno
terreno que se halla por encima de la
lámina.
Se procede al modelado de la influencia de dichas masas:
1) Mediante secciones circulares.
r2
r1
h
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Metodología (instrumentación, observación, cálculo)
2) Mediante prismatoides.
g
 (1)
i  j k
f (x i , y j , z k )
i , j, k 1, 2
  ( y  r )
f ( x i , y j , z k )  G x ln 
  x 2  z 2
r  (x 2  y 2  z 2 )
1
 (x  r) 

 xy 
  z tan 1 
  yln 
 z r  Ec. 2.23
 y2  z2 





2
ANOMALÍAS AIRE LIBRE.
g F  gobs  CF  g Ec. 2.24
ANOMALÍAS BOUGUER.
g B  gobs  CF  CB  CT  g Ec. 2.25
g B  gobs  C  CF  CB  CT
Ec. 2.26
g
Tierra heterogénea
(Geoide;W)
(Superficie arbitraria; G)

Tierra homogénea
(Elipsoide;U)
(Superficie arbitraria; K)
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Metodología (instrumentación, observación, cálculo)
2.5. PROCEDIMIENTOS DE MEDIDA Y APOYO TOPOGRÁFICO.
LOCALIZACIÓN Y ESPACIADO DE LAS ESTACIONES GRAVIMÉTRICAS.
f ( disposición de la masa anómala )
s<h
s<e/3
s
h
e
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Metodología (instrumentación, observación, cálculo)
Paso de malla 5 m
Paso de malla 40 m
Paso de malla 60 m
POSICIÓN Y ELEVACIÓN DE LAS ESTACIONES GRAVIMÉTRICAS.
PRECISIÓN DE LAS COORDENADAS.
PRECISIÓN IMPLÍCITA A LA CARTOGRAFÍA.
Planimetría
Y de 10 m implica una variación de 8 mGal.
Altimetría
Z de 1 cm implica una variación de 3 mGal.
PRECISIÓN IMPLÍCITA AL OBJETO DEL LEVANTAMIENTO.
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Metodología (instrumentación, observación, cálculo)
PRECISIÓN DE LA ANOMALÍA DE BOUGUER.
eB  eg  eCAL  eCL  eCT  eCB
2
2
2
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2
2
Ec. 2.27
Metodología (instrumentación, observación, cálculo)
2.6. LA DENSIDAD DE LAS FORMACIONES.
Existe una relación directa entre
g  f (m)
d
m
v
las anomalías de la gravedad y
las variaciones de la densidad en
la zona de estudio.
g  f (d )
El cartografiado de la anomalía
de la gravedad presenta una alta
correlación con la distribución de
g  f (d )
las densidades en el subsuelo.
El conocimiento de la densidad
del terreno considerado en la
g
prospección, permite una mejor
La
densidad
en
1
las
rocas
de
anómalas
y
las
estructuras
una
mejor
aproximación a su realidad física
m
2
detección
(problema directo).
ígneas
viene
determinada
principalmente por la densidad de los minerales que compone la
roca (rm).
La densidad en las rocas sedimentarias viene determinada
principalmente por el volumen del poro intersticial de la roca p y
del fluido que en el se encuentra a.
La
porosidad
tiende
a
decrecer
conforme
aumenta
la
consolidación y la litificación de los sedimentos, encontrándonos
valores de densidad en estas formaciones desde 1800 kg/m3 en
el caso de depósitos jóvenes no consolidados, hasta valores de
2800 kg/m3 en las formaciones con más edad.
Actualmente se hallan en investigación los valores a aplicar en el
caso de desechos domésticos y en ciertos residuos industriales.
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d =m(1-P)
w =d +Pa
Metodología (instrumentación, observación, cálculo)
Tabla 2.1
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