4. Álgebra

4. Álgebra
En esta sección veremos como la descomposición de Cholesky nos ofrece una
forma rápida y eficaz de ortonormalizar una base. Comprobaremos que el
proceso es equivalente al algoritmo de ortogonalización de Gram-Schmidt.
4.1. Ortogonalización mediante la descomposición de Cholesky
Veremos es procedimiento basándonos en un ejemplo numérico. Analizaremos
el problema paso a paso.
4.1.1. La base no ortogonal y la matriz de su métrica
 a1 
 
a 
Consideremos un conjunto de n funciones de base a =  2  definidas en un
M
 
a 
 n
cierto intervalo y pertenecientes a un espacio normado donde se ha definido un
producto escalar
s ij = ai a j
entre cualquier par de funciones.
Entonces se puede construir la matriz de la métrica S={sij} como
 a1 a1

 a a
S = aa T =  2 1
 M
 a a
 n 1
a1 a2
a2 a2
M
L
L
O
an a2
L



.

an an 
a1 an
a2 an
M
4.1.2. El cambio de base
Nos podemos preguntar si existe un cambio de base que transforme a la base
a en otra b que sea ortonormal. La respuesta es afirmativa y existen infinitas
posibilidades de transformación. Para acotar el problema supondremos que la
matriz que codifica el cambio de base tiene estructura de matriz triangular
inferior. Llamamos a esta matriz C. Puesto que un cambio de base siempre es
reversible y tanto se puede transformar de la base a a la b como desde la base
b a la base a, también existirá la inversa C-1, que será una matriz triangular
inferior:
4-1
 c11

C =  c12
c
 13
0
c 22
c 23
0 

0 
c 33 
⇔
C
−1
(−1)
 c11
 (−1)
=  c12
 (−1)
 c13
0
( −1)
c 22
( −1)
c 23
0 

0 .
(−1) 
c 33

Así pues, las nuevas funciones de base se obtienen aplicando la
transformación lineal siguiente:
b = Ca.
Multiplicando por C -1 a la izquierda de la ecuación anterior obtenemos:
a = C -1b.
4.1.3. La nueva métrica
En el contexto de la nueva base b, imponemos que la nueva matriz de la
métrica sea la matriz identidad (conjunto ortonormalizado):
I = bbT = (Ca )(Ca ) = Caa T C T = CSC T .
T
De aquí, aislando la matriz S, descubriremos cual es la naturaleza de la matriz
C:
C -1 C -T = S.
4.1.4. La relación con el proceso de descomposición de Cholesky
Definiendo la matriz triangular superior
T = C -T
entonces
¤
TT = C -1
¤
T -T = C,
TTT = S
y vemos que la matriz T proviene de la descomposición de Cholesky de S. Esta
última ecuación se corresponde con la formulación de la descomposición de
Cholesky dada en la sección anterior.
4.1.5. Un ejemplo numérico
 1
 
Consideremos tres funciones de base a =  x  definidas en el intervalo [0,1].
x2 
 
Definiendo el producto escalar de dos de estas funciones u i v como la integral
4-2
1
u v = ∫ u (x )v (x )dx ,
0
entonces construimos la matriz de la métrica S={sij} de la base B:
1
s11 = 1 1 = ∫ dx = 1
0
1
s 21 = s12 = 1 x = ∫ x dx =
0
1
2
1
s 31 = s13 = 1 x 2 = ∫ x 2 dx =
0
1

y S = aa T =  21
1
3
1
2
1
3
1
4
1
3
1
4
1
5
,
1
s 22 = x x = ∫ x 2 dx =
0
1
3
,
1
3
1
s 32 = s 23 = x x 2 = ∫ x 3 dx =
0
1
1
1,
s 33 = x 2 x 2 = ∫ x 4 dx =
5
4
0


.


La descomposición de Cholesky de esta matriz S ya la realizamos en la lección
anterior. La matriz triangular superior era
1

T = 0

0
1
2
1



2 3
1 

6 5
1
3
1
2 3
0
y su inversa
T
−1
1 − 3

= 0 2 3

0
0
5 

−6 5.

6 5 
En relación al cambio de base, hemos dicho que C=T -T. Entonces
 1

C = − 3
 5

0
2 3
−6 5
0 

0 
6 5 
y el nuevo conjunto de base ortonormalizado es el siguiente
 1

b = Ca =  − 3
 5

0
2 3
−6 5
1
0  1  
  
3 (2 x − 1)
0  x  = 
2



6 5  x   5 1 − 6 x + 6 x 2
(





)
Se puede comprobar (aplicando el producto escalar definido más arriba) como
las nuevas funciones de base están realmente normalizadas y son ortogonales
entre ellas.
4-3
4.2. Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt
El proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt es equivalente al que se
acaba de describir en la sección anterior. Para comprobar esto, basta
considerar la naturaleza del último producto matricial que se ha visto:
 1

b = Ca =  − 3
 5

0
2 3
−6 5
1
0  1  
  
3 (2 x − 1)
0  x  = 
2



6 5  x   5 1 − 6 x + 6 x 2
(


.


)
Aquí vemos que
• La primera función de base del conjunto b simplemente se multiplica por
una constante (elemento 1-1 de la matriz C). En realidad esta constante la
normaliza. En el ejemplo presentado arriba esta constante es la unidad
debido a que la función a1 ya estaba normalizada inicialmente.
• La segunda función se multiplica por una constante y se le suma la
primera también multiplicada por un escalar.
• La tercera función, b3, es la original a3 escalada y sumada a una
combinación lineal de las dos anteriores.
En general, una nueva función ortonormal a las anteriores se construye a partir
de la original que ocupa la misma posición en la base ordenada: se la multiplica
por un escalar y se le suma una combinación lineal adecuada de las anteriores
funciones no ortogonalizadas. Este proceso se codifica a través del producto
por una matriz triangular.
La formulación alternativa equivalente es la siguiente: dado un conjunto de
base ordenado,
a = {a1 a2 L an } ,
un nuevo conjunto ortogonalizado b = {b1 b2 L bn } se puede obtener de la
siguiente manera:
b1 ' = a1
∧
k −1
a k bi
i =1
bi bi
bk ≥ 2 ' = a k − ∑
bi
En esta formulación, mediante el sumatorio se consigue eliminar del vector
original ak todas las proyecciones que tiene sobre vectores bi‘ que ya se han
definido anteriormente. Al final, si cada vector bk‘ se normaliza, obteniéndose el
vector bk del conjunto ortonormalizado.
El proceso de la descomposición de Cholesky realiza todas estas tareas de
forma compacta y automáticamente. Se pueden establecer algunas
asociaciones heurísticas: en la fórmula anterior, los productos escalares se
asocian al cálculo de la matriz S, la suma para i=1 hasta k-1 esta ligada al
hecho de que la matriz del cambio de base es triangular y, finalmente, el
4-4
proceso de normalización de cada vector b’ ya está codificado en la inversión
de la matriz T.
Ejercicio
1. Confeccionar un programa que, dada una matriz de Gram (de la métrica) de
una base, mediante la descomposición de Cholesky obtenga el cambio de base
que debe realizarse para obtener una nueva base ortonormalizada.
4-5