pdf deflexión de vigas integradoresdefinidos cálculointegral secc675

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA CENTROAMERICANA UNITEC
FACULTAD DE INGENIERIAS
CIENCIA DE MATEMÁTICAS
CÁLCULO I INTEGRAL (MAT 201)
TEMA: Proyecto sobre Aplicaciones del Cálculo Integral en la Ingeniería Civil.
SECCIÓN: 675
PARCIAL: Segundo
CATEDRÁTICO:
Julio César López Zerón
INTEGRANTES:
Jerson Orlando Castillo Berrios……………...11411205
Jennifer Dayán Martínez Bustillo....……..…..11411081
Obdulio José Ortega Juárez…..………………11341090
TRIMESTRE: 3
SEMESTRE: 2
FECHA: 12/09/15
LUGAR: Campus Tegucigalpa
Cálculo I Integral (MAT201) Sección 675
Contenido
Introducción ..................................................................................................................................... 2
Resumen Ejecutivo .......................................................................................................................... 2
Objetivo General.............................................................................................................................. 3
Historia de La Integral ..................................................................................................................... 3
Métodos Energéticos para el Cálculo de Deflexiones ..................................................................... 4
Deflexión ................................................................................................................................. 4
Deflexión por los Métodos de Trabajo y Energía.................................................................... 4
El Método Energético .................................................................................................................. 5
El Trabajo Virtual ........................................................................................................................ 5
Trabajo ..................................................................................................................................... 6
Trabajo Virtual en Vigas ................................................................................................................. 6
Conclusiones.................................................................................................................................. 12
Recomendación ............................................................................................................................. 12
Bibliografía .................................................................................................................................... 13
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Jerson, Jennifer, Obdulio
Cálculo I Integral (MAT201) Sección 675
Introducción
En este proyecto se presenta la importancia que tiene el uso de las integrales para
determinar el comportamiento de una viga al sobrecargar la misma sobrepasando su resistencia
original o al ocurrir un sismo en un determinado momento.
Resumen Ejecutivo
El origen del Cálculo Integral se remonta a la época de Arquímedes (287-212 a.C.),
mientras que la Derivada apareció veinte siglos después para resolver otros problemas que en
principio no tenían nada en común con el Cálculo Integral.
Cabe mencionar que cuando una estructura se carga sus elementos se deforman bajo los
esfuerzos y que al ocurrir estas deformaciones, la estructura cambia su forma y sus puntos se
desplazan. En una estructura bien diseñada estos desplazamientos son pequeños. Es importante
mencionar, que el Trabajo Virtual es uno de los métodos más útiles y versátiles, utilizado en
muchos tipos de miembros estructurales, desde vigas simples, armaduras, placas y cascarones
complejos. Se aplica a estructuras que se comportan elástica o inelásticamente; su ventaja es que
en el cálculo de la deflexión le permite incluir la influencia de los asentamientos en los apoyos,
los cambios de temperatura, la viscosidad y los errores de fabricación.
Por otra parte, si se quiere determinar el equilibrio o posición de cuerpos rígidos
conectados, se utiliza el Método del Trabajo Virtual en Vigas, aplicando el cálculo de las
integrales definidas, que se usa en las ecuaciones de equilibrio, con lo que se establecerá la
ecuación de la energía potencial y así obtener la relación de fuerzas.
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Objetivo General
Utilizar la integral definida para calcular la deflexión en una viga, haciendo uso de unos
de los métodos más recomendados como ser el Trabajo Virtual.
Historia de La Integral
El origen del Cálculo Integral se remonta a la época de Arquímedes (287-212 a.C.),
matemático griego de la antigüedad, que obtuvo resultados tan importantes como el valor del área
encerrada por un segmento parabólico. La Derivada apareció veinte siglos después para resolver
otros problemas que en principio no tenían nada en común con el Cálculo Integral.
El descubrimiento más importante del Cálculo Infinitesimal (creado por Barrow, Newton
y Leibniz) es la íntima relación entre la Derivada y la Integral Definida, a pesar de haber seguido
caminos diferentes durante veinte siglos.
Una vez conocida la conexión entre Derivada e Integral (Teorema de Barrow), el cálculo
de integrales definidas se hace tan sencillo como el de las derivadas. El concepto de Cálculo y sus
ramificaciones se introdujo en el siglo XVIII, con el gran desarrollo que obtuvo el análisis
matemático, creando ramas como el Cálculo Diferencial, Integral y de variaciones.
El Cálculo Diferencial fue desarrollado por los trabajos de Fermat, Barrow, Wallis y
Newton, entre otros. Así en 1711 Newton introdujo la fórmula de interpolación de diferencias
finitas de una función f(x); fórmula extendida por Taylor al caso de infinitos términos bajo ciertas
restricciones, utilizando de forma paralela el cálculo diferencial y el cálculo en diferencias finitas.
El aparato fundamental del Cálculo Diferencial era el desarrollo de funciones en series de
potencias, especialmente a partir del Teorema de Taylor, desarrollándose casi todas las funciones
conocidas por los matemáticos de la época. (Historia)
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Métodos Energéticos para el Cálculo de Deflexiones
Cuando una estructura se carga sus elementos se deforman bajo los esfuerzos. Al ocurrir
estas deformaciones, la estructura cambia su forma y sus puntos se desplazan; sin embargo, en
una estructura bien diseñada estos desplazamientos son muy pequeños. Los métodos energéticos,
los de trabajo y energía son el fundamento de varios procedimientos utilizados en el cálculo de
desplazamientos.
Deflexión
Deflexión por los Métodos de Trabajo y Energía
Estos se utilizan para establecer una ecuación para su cálculo; W = U
Donde “W” es el trabajo hecho por la fuerza externa y “U” la energía deformadora
contenida en la estructura. Dicho de otra forma, todo trabajo hecho por una fuerza se convertirá
en energía.
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El Método Energético
Facilita el cálculo de las deflexiones, ya que los desplazamientos desconocidos se
incorporan directamente a la expresión del trabajo, es decir; el producto de una fuerza por un
desplazamiento.
El Trabajo Virtual
Es uno de los métodos más útiles y versátiles, el cual se aplica a muchos tipos de
miembros estructurales, desde vigas simples, armaduras, placas y cascarones complejos. Se
utiliza también, en estructuras que se comportan elástica o inelásticamente. Su ventaja es que en
el cálculo de la deflexión le permite incluir la influencia de los asentamientos en los apoyos, los
cambios de temperatura, la viscosidad y los errores de fabricación.
Elasticidad; propiedad mecánica de ciertos materiales que sufren deformaciones reversibles
cuando se encuentran sujetos a la acción de fuerzas exteriores y de recuperar la forma original si
estas fuerzas exteriores se eliminan.
Inelasticidad; es aquella propiedad donde un material no regresa a su estado original luego de
sufrir alguna deformación por fuerzas exteriores.
Viscosidad; se habla de viscosidad para hacer referencia a la fuerza contraria que un fluido ejerce
ante una deformación de característica tangencial. Se trata de una propiedad caracterizada por la
resistencia a fluir que se genera a partir del rozamiento entre las moléculas.
Temperatura en materiales; los materiales se dilatan al elevarse su temperatura y se contraen
cuando ésta se reduce. La magnitud de las deformaciones es proporcional a la variación de
temperatura y el factor de proporcionalidad se denomina coeficiente de dilatación térmica.
∆ε
∝= ∆T (Meli, Diseño Estructural, 2008)
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Coeficientes de dilatación por temperatura de algunos materiales de construcción
MATERIAL
ACERO
∝,
𝟏𝟏
× 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔
℃
12
CONCRETO
10*
ALUMINIO
24
MAMPOSTERÍA DE
6
MAMPOSTERÍA DE
8
MADERA
4a5
COBRE
17
PLÁSTICOS
70
*Varían entre 8 y 14 dependiendo del tipo y la cantidad de agregado grueso en la mezcla
(Meli, Diseño Estructural, 2008)
Trabajo
Se define como el resultado de una fuerza desplazándose en dirección de sí misma, para
calcular deflexiones, nos interesa el trabajo realizado por fuerzas y momentos, si una fuerza “F”
permanece constante al moverse del punto “A” al “B”, el trabajo se expresa como “W”; W = Fd.
Donde “d” es el componente desplazado hacia la fuerza. (Leet, 2002)
Trabajo Virtual en Vigas
Se utiliza para determinar el equilibrio o posición de cuerpos rígidos conectados,
aplicando el cálculo que se usa en las ecuaciones de equilibrio, se establecerá la ecuación de la
energía potencial y así obtener la relación de fuerzas. (R.C.Hibbeler, 1989)
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El procedimiento para calcular la componente de una deflexión en una viga es por el
método del Trabajo Virtual, así:
•
Se aplica una carga virtual “P” en el punto donde se quiere calcular la deflexión.
La carga virtual puede tener cualquier valor, normalmente se utiliza una carga
unitaria de 1Klb o 1KN para calcular un desplazamiento lineal y un momento
unitario de 1Klb*pie. O 1KN*m. para calcular un desplazamiento rotacional.
•
La carga virtual genera un momento interno “Mq” en un elemento infinitesimal de
viga de longitud “dx”.
•
Los momentos flexionantes “Mp” producidos por el sistema “P” deforma la viga
hasta su posición de equilibrio.
•
Al incrementarse las fuerzas del sistema “P” los lados del elemento votan un
ángulo “dp”
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•
Por efecto de los momentos “Mp”. Ignorando las deformaciones de cortante, se
supone que las secciones planas antes de la flexión siguen siendo planas, después
de esta; las deformaciones longitudinales del elemento varían linealmente desde el
•
𝑑𝑑𝑑𝑑
eje recto de la sección transversal dp, se expresa; dp = Mp
𝐸𝐸𝐸𝐸
Al flexionarse la viga, la carga virtual “P” (y sus reacciones si los apoyos se
desplazan en la dirección de las reacciones mismas) realiza un trabajo virtual
extremo “Wq” al moverse una distancia igual al desplazamiento real “Sp” en la
dirección de la carga virtual; Wq = ∑Qdp
•
En cada elemento infinitesimal se almacena energía virtual de deformación “dvq”,
al moverse el momento “Mq” a través del ángulo “dp” producido por el sistema
“P”; dUq = Mqdp
•
Para obtener la magnitud de la energía virtual de deformación total “Vq”
almacenada en la viga, se debe sumar generalmente por integración la energía
contenida en todos los elementos infinitesimales de la viga; Uq =
•
𝑥𝑥=𝐿𝐿
∫𝑥𝑥=0
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀ⱷ
Como principio de conservación de energía obliga a que el trabajo virtual externo
“Wq” sea igual a la energía virtual de deformación “Uq”, es posible igualar “Wq”
con “Uq”. La ecuación básica del trabajo virtual para vigas;
•
𝑥𝑥=𝐿𝐿
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀ⱷ
𝑥𝑥=0
∑Qdp = ∫
Para expresar “dp” en función del momento “Mp” y las propiedades de la función
𝑥𝑥=𝐿𝐿
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑥𝑥=0
𝐸𝐸𝐸𝐸
transversal, se tiene; ∑Qdp = ∫
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Donde Q = carga virtual y sus reacciones.
Dp = componentes en la dirección de la carga virtual de desplazamiento
real producido por las cargas reales (el sistema P).
Mq = momento producido por la carga virtual.
Mp = momento producido por las cargas reales.
E = modelo de elasticidad.
I = momento de inercia de la sección transversal de la viga.
Si se utiliza el momento unitario Qm = 1Klb*pie como carga virtual para obtener el
cambio en la pendiente “ⱷp” de un punto del eje de la viga, generado por las cargas reales, el
𝑥𝑥=𝐿𝐿
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑥𝑥=0
𝐸𝐸𝐸𝐸
trabajo virtual externo “Wq” es igual a “Qmⱷp”; ∑Qmⱷp = ∫
𝑥𝑥=𝐿𝐿
𝑥𝑥=𝐿𝐿
A fin de resolver la ecuación ∑Qdp = ∫𝑥𝑥=0 𝑀𝑀𝑀𝑀
∫𝑥𝑥=0 𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝐸𝐸𝐸𝐸
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝐸𝐸𝐸𝐸
para la deflexión ∑Qmⱷp =
para el cambio en la pendiente “ⱷp”, los momentos Mq y Mp deben expresarse en
función de “x”, es decir la distancia a lo largo del eje de la viga, de manera que se pueda integrar
el lado derecho de la ecuación del trabajo virtual. Si la sección transversal de la viga es constante
a lo largo de su longitud y si la viga se fabrica de un único material de propiedades uniformes,
“EI” es constante. (Leet, 2002)
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Ejercicio:
No es posible escribir una única expresión para “Mq” y “Mp” que sea válida en toda la
longitud de la viga. Por tanto, para la viga se deben utilizar tres integrales para calcular la energía
virtual de deformación total. Para mayor claridad, se denota la región en donde un cuerpo libre
especifico es válido añadiendo un subíndice a la variable”X” el cual representa la posición de la
sección donde se calcula el momento. Las expresiones para “Mq” y “Mp” en cada sección son las
siguientes:
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Desarrollo:
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Conclusiones
1. Cuando esta estructura o una viga se sobrecarga, al límite de sobrepasar su
resistencia original o al ocurrir un sismo, la misma se deforma y sus puntos se
desplazan.
2. El Método del Trabajo Virtual solo es aplicable a vigas y armaduras, pues el
mismo exige que los cambios en geometría sean pequeños; el mismo no podrá
aplicarse a un cable que experimenta un gran cambio debido a una carga
concentrada.
3. El uso La integral definida ayuda a encontrar la deflexión en las vigas entre un
punto “a” y un punto “b” en los cuales se aplica una carga, con lo que puede evitar
defectos en las construcciones.
Recomendación
1. Continuar utilizando el Método del Trabajo Virtual, para calcular la deflexión de
las vigas, a través de la integral definida.
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Bibliografía
El origen de la integral. (s.f.). doi:s.d.
Leet, K. M. (2002). Fundamentos de Análisis Estructurales (segunda ed.). (P. Roig, Ed.) D.F.,
México: McGraw-Hill. doi:ISBN 970-10-5627-2
Meli, R. (2008). Diseño Estructural (Segunda Edición ed.). (G. N. Editores, Ed.) D.F., México:
Limusa. doi:ISBN 978-968-18-5391-4
Meli, R. (2008). Diseño Estructural (Segunda Edición ed.). México: Lisuma.
R.C.Hibbeler. (1989). Mécanica para Ingenieros. (segunda ed.). D.F., México: Continental.
doi:ISBN 968-26-0780-9
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