apuntesmetodosintegracion1 1erparcial integral675 3ertrim15

Matemáticas II LE.Tema 4: Introducción a la teoría de integración
1
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Integrales inmediatas
xα+1
(f(x))α+1
⌠xα dx =
+ C , si α ≠ -1
⌡
α+1
α
⌠
⌡(f(x)) f '(x) dx =
⌠ 1 dx =
⎮2 x
⌡
⌠ f '(x) dx = 2 f(x) + C
⎮2 f(x)
⌡
x+C
⌠1 dx = ln|x| + C
⌡x
ax
α +1
+C,
si α ≠ -1
⌠f '(x) dx = ln|f(x)| + C
⌡ f(x)
af(x)
x
⌠
⌡a dx = lna + C, si a > 0
f(x)
⌠
f '(x) dx =
+ C,
⌡a
lna
x
x
⌠
⌡e dx = e + C
f(x)
⌠
f '(x) dx = ef(x) + C
⌡e
⌠
⌡senx dx = -cosx + C
⌠
⌡f '(x) senf(x) dx = -cosf(x) + C
⌠
⌡cosx dx = senx + C
⌠
⌡f '(x) cosf(x) dx = senf(x) + C
⌠ 1 dx = tgx + C
⎮cos2x
⌡
⌠ f '(x) dx = tgf(x) + C
⎮cos2f(x)
⌡
⌠ 1 dx = -cotgx + C
⎮sen2x
⌡
⌠ f '(x) dx = -cotgf(x) + C
⎮sen2f(x)
⌡
⌠ 1 dx = arcsenf(x) + C
⎮
2
⌡ 1-x
⌠ f '(x) dx = arcsen f(x) + C
⎮
2
⌡ 1-f(x)
⌠ 1
⎮1 + x2 dx = arctgx + C
⌡
⌠ f '(x) dx = arctg f(x) + C
⎮1 + f(x)2
⌡
si a > 0
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2
Integración por cambio de variable
Dada la integral ⌠
⌡f(x) dx, si consideramos x como una función de otra variable, x = g(t),
entonces dx = g'(t) dt, y obtenemos la integral ⌠
⌡f(g(t)) g'(t) dt .
Supuesto que esta segunda integral es más simple que la primera, se resuelve en la
variable t y posteriormente se sustituye t en función de x, t = g-1(x) (para ello g ha de ser
biyectiva). Formalmente, se tiene el siguiente resultado:
Proposición
Sea x = g(t) una función biyectiva y de clase C(1. Si G(t) es una primitiva de f(g(t)) g'(t)
entonces F(x) = G(g-1(x)) es una primitiva de f(x).
En la práctica, para calcular ⌠
⌡f(x) dx, se procederá a calcular:
⌠
⌡f(g(t)) g'(t) dt = G(t) + C
y, por tanto,
⌠f(x) dx = G(g-1(x)) + C = F(x) + C
⌡
Integración por partes
Teniendo en cuenta la regla de derivación del producto, (f(x) g(x))' = f '(x) g(x) + f(x) g'(x),
se sigue que ⌠
⌡(f(x) g(x))' dx = ⌠
⌡f '(x) g(x) dx + ⌠
⌡f(x) g'(x) dx , de donde se obtiene que:
⌠
⌡f(x) g'(x) dx = f(x) g(x) - ⌠
⌡f '(x) g(x) dx
En la práctica, la notación habitualmente utilizada es u = f(x), dv = g'(x) dx y entonces la
fórmula de integración por partes queda:
⌠
⌡u dv = u v - ⌠
⌡v du
Integración de funciones racionales
Se denomina función racional a una función de la forma
p(x)
donde p(x) y q(x) son
q(x)
polinomios en la variable x.
1. Un tipo especial de funciones racionales son las fracciones simples, que son aquellas
A
Mx + N
que toman la forma
donde ax2 + bx + c no tiene
n con n ∈ N, o
2
(ax + b)
(ax + bx + c)n
raíces reales y n ∈ . (Nota: en este curso sólo se considerará para el segundo tipo de
fracciones simples el caso n = 1)
La integral de una fracción simple se calcula fácilmente como se ve en los siguientes
ejemplos:
dx
i) ⌠
= ln|x-3| + C
x-3
⌡
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3
dx
(x-3)-3
-1
1
ii) ⌠
=
+C=
⎮(x-3)4
3 + C
-3
3
(x-3)
⌡
dx
1 ⌠ 2dx
1 (2x+1)-2
-1
1
iii) ⌠
=
=
+C=
⎮(2x+1)3 2 ⎮(2x+1)3 2
4 + C
-2
4
(2x+1)
⌡
⌡
dx
2
x
+3x+5
⌡
iv) ⌠
⎮
⎛
⎝
Se tiene que x2+3x+5 = x +
3 ⎞2
9
3 ⎞2
11
⎛
+5- = x+
+
2⎠
4
2⎠
4
⎝
dx
dx
4
⌠
⌠
=
⎮x2+3x+5 = ⎮⎛
11
3
11
2
⎞
⌡
⎮⎝x + 2⎠ + 4
⌡
⌠⎛
⎮⎜⎜
⌡⎝
dx
3 2
x+
2
⎞
⎟
11 ⎟
2 ⎠
=
2
2x + 3
arctg
+C
11
11
+1
x+1
1 ⌠ 2x+2
1 ⌠ 2x+3-1
v) ⌠
⎮x2+3x+5 dx = 2 ⎮ x2+3x+5 dx = 2 ⎮ x2+3x+5 dx =
⌡
⌡
⌡
1 ⌠ 2x+3
dx
1
1
1
2
dx - ⌠
⎮ x2+3x+5 = 2 ln(x +3x+5) - 2
2
2⎮
2
x
+3x+5
⌡
⌡
1
2x+3
1
arctg
+C
= ln(x2+3x+5) 2
11
11
=
2
2x+3
arctg
+C=
11
11
p(x)
2. Para calcular la integral de una función racional cualquiera ⌠
dx, se procederá según
⌡q(x)
los casos siguientes:
r(x)
p(x)
= c(x) +
q(x)
q(x)
donde c(x) y r(x) son los polinomios cociente y resto de la división respectivamente
y por tanto se verifica que grado r(x) < grado q(x). Así,
a) Si grado p(x) ≥ grado q(x), se realiza la división de polinomios
⌠p(x) dx = ⌠c(x) dx + ⌠ r(x) dx
⌡
⌡q(x)
⌡q(x)
donde el primer sumando es una integral inmediata y el segundo se resolverá
aplicando el apartado siguiente.
b) Si grado p(x) < grado q(x) y q(x) no tiene raíces imaginarias múltiples, se calculan
p(x)
las raíces de q(x) y se descompone
en suma de fracciones simples de la
q(x)
siguiente forma:
- Para cada raíz real simple x0, se asigna una fracción del tipo
A
donde A es
x - x0
un coeficiente real a determinar.
- Para cada raíz real múltiple x0 de multiplicidad r, se asignan las r fracciones
siguientes
A1
,
A2
2,
x - x0 (x - x )
0
reales a determinar.
...,
Ar
(x - x0)r
donde A1, A2, ..., Ar son coeficientes
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4
- Para cada raíz imaginaria simple α ± iβ, se asigna una fracción del tipo
Mx+N
, donde M y N son coeficientes reales a determinar.
(x-α)2 + β2
p(x)
a la suma de
q(x)
las fracciones simples asignadas. Una vez determinados, la resolución de la integral
p(x)
se reduce al cálculo de las integrales de fracciones simples, aplicando la
q(x)
propiedad de linealidad.
Para determinar los coeficientes anteriores, se iguala el cociente
4 - 2x
Ejemplo: ⌠
⎮x4 - 2x3 + 2x2 - 2x + 1 dx
⌡
Las soluciones de x4 - 2x3 + 2x2 - 2x + 1 = 0 son x = 1 doble y x = ± i
Descomponemos en fracciones simples la función racional:
4 - 2x
A
B
Mx+N
=
+
4
3
2
2 +
x
1
x - 2x + 2x - 2x + 1
(x-1)
x2+1
de donde:
4 - 2x = A(x-1)(x2+1) + B(x2+1) + (Mx+N)(x-1)2
e igualando los coeficientes de los polinomios se obtiene: A = -2, B = 1, M = 2 y N = 1
4 - 2x
⌠ dx
⌠2x+1
⌠ -2
Luego, ⌠
⎮x4 - 2x3 + 2x2 - 2x + 1 dx = ⌡x-1 dx + ⎮(x-1)2 + ⎮ x2+1 dx =
⌡
⌡
⌡
= -2 ln|x-1| +
-1
x2+1
(x-1)-1
+ ln(x2+1) + arctgx + C =
+ ln
+ arctg x + C
-1
x-1
(x-1)2
Integración de funciones irracionales
A continuación veremos algunos tipos particulares de integrales irracionales.
1. ⌠
⎮
dx
2
⌡ ax +bx+c
, con a < 0 y b2 - 4ac > 0
Ejemplo: ⌠
⎮
dx
2
⌡ 20+8x-x
=
1⌠
6⎮
⎮
⌡
2. ⌠
⎮
mx+n
2
⌡ ax +bx+c
=⌠
⎮
dx
2
⌡ -[(x-4) -36]
=⌠
⎮
⎮
⌡
dx
⎡
⎛x-4⎞2⎤
36 1 ⎣
⎝ 6 ⎠ ⎦
=
dx
⎛x-4⎞ + C
= arcsen
⎝ 6 ⎠
2
x-4
⎛
⎞
1⎝ 6 ⎠
dx, con a < 0 y b2 - 4ac > 0
El primer paso en la resolución de esta integral es conseguir en el numerador la derivada
de la función que aparece dentro de la raíz, y puede aparecer en este proceso una
integral del tipo anterior.
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5
1
-2x+8
-14
1 -2x-6+8-8
1
dx = - ⌠
dx = - ⌠
dx - ⌠
=
⎮
⎮
⎮
2
2
2
2
2
2
⌡ 20+8x-x
⌡ 20+8x-x
⌡ 20+8x-x
⌡ 20+8x-x
Ejemplo: ⌠
⎮
=3. ⌠
⌡R(x,
x+3
2
20+8x-x2 + 7 arcsen
⎛x-4⎞ + C
⎝ 6 ⎠
ax2+bx+c)dx, siendo R una función racional y a ≠ 0
Existen tres cambios de variable que transforman esta integral en una integral racional:
a) Si a > 0, se hace el cambio
ax2+bx+c =
b) Si c > 0, se hace el cambio
ax2+bx+c = tx +
ax + t
c
c) Si a < 0 y c < 0, se hace el cambio ax2+bx+c = t(x-α), siendo α una cualquiera
de las raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0
Ejemplo: ⌠
⎮
dx
2
⌡x x +4x-4
En este caso, al ser a = 1 > 0, se hace el cambio de variable
por tanto x2 + 4x - 4 = x2 + 2tx + t2 ⇒ x =
x2+4x-4 = x+t
t2+4
-2t2+8t+8
y dx =
dt
4-2t
(4-2t)2
Con este cambio de variable la integral de partida se transforma en la integral racional:
1
⌠ 4-2t
⎮t2+4 t2+4
⌡
4-2t
+t
2
-2t2+8t+8
⌠ dt = arctg t + C = arctg x +4x-4-x + C
dt
=
2
⎮
2
2
2
(4-2t)2
⌡t +4
h/k
s/t
u/v
4. ⌠
⌡R(x , x , ..., x ) dx, siendo R una función racional.
Se transforma en una integral racional haciendo el cambio de variable:
x = tλ
Ejemplo: ⌠
⎮
siendo λ = m.c.m.(k, t, ..., v)
dx
⎮ 4 x3- x
⌡
Se hace el cambio x = t4, de donde, dx = 4t3dt, y queda la integral:
3
4
4
t
⌠4t dt
dt = 4t + 4 ln|t-1| + C = 4 x + 4 ln| x - 1| + C
⎮ 3 2 =4⌠
⌡t-1
⌡ t -t
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Una generalización de este tipo de integrales irracionales es la siguiente:
⌠R⎛αx+β, ⎛ax+b⎞h/k, ⎛ax+b⎞s/t, ..., ⎛ax+b⎞u/v⎞ dx, siendo R una función racional
⎝ cx+d ⎠
⎝ cx+d ⎠
⎝ cx+d ⎠ ⎠
⌡ ⎝
Se transforma en una integral racional haciendo el cambio de variable:
ax+b
= tλ
cx+d
siendo λ = m.c.m.(k, t, ..., v)
Integración de funciones trigonométricas
1. ⌡
⌠R(senx, cosx) dx, siendo R una función racional.
El procedimiento general para calcular esta integral consiste en transformarla en una
x
integral racional en t mediante el cambio de variable: tg = t
2
2dt
1+t2
2t
senx =
1+t2
1-t2
cosx =
1+t2
⎧⎪
Con este cambio se tiene: ⎨
⎪⎩
dx =
Sin embargo, en algunos casos concretos es más práctico considerar cambios
alternativos. Así:
a) Si la función es impar en senx, R(-senx, cosx) = -R(senx, cosx), se puede hacer el
-dt
cambio de variable cosx = t, de donde senx = 1-t2,
dx =
1-t2
b) Si la función es impar en cosx, R(senx, -cosx) = -R(senx, cosx), se puede hacer el
dt
cambio de variable senx = t, de donde cosx = 1-t2, dx =
1-t2
c) Si la función es par en senx y cosx, R(-senx, -cosx) = R(senx, cosx), se puede hacer
el cambio de variable tgx = t , de donde:
dt
t
1
dx =
, senx =
,
cos x =
2
1+t2
1+t
1+t2
2
⌠ sen x
Ejemplo: ⎮
2 dx
⌡1 + cos x
sen2x
es par en senx y cosx, luego aplicamos el cambio tgx = t y la
1 + cos2x
integral queda:
La función
2
t
⌠ 1+t
2
⎮
1
⎮1 + 1+t
2
⌡
t2
dt
⌠
=
⎮
2
2 dt = -arctgt +
1+t2
⌡(1+t )(2+t )
= -arctg(tgx) +
⎛tgx⎞ + C
⎟
⎝ 2⎠
2 arctg⎜
⎛ t ⎞+C=
⎟
⎝ 2⎠
2 arctg⎜
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2.
7
Muchas integrales de funciones trigonométricas se pueden resolver utilizando
determinadas relaciones trigonométricas. Entre otros casos, se pueden señalar los
siguientes:
a) Las integrales de la forma
par,
se
convierten
transformaciones:
en
n
⌠
⌡sen x dx,
integrales
n
⌠
⌡cos x dx donde n es un número natural
inmediatas,
mediante
las
siguientes
1 - cos2x⎞n/2
n/2
⌠sennx dx = ⌡
⌠(sen2x) dx= ⌠⎛
dx
⌡
2
⎝
⎠
⌡
1 + cos2x⎞n/2
n/2
⌠cosnx dx = ⌡
⌠(cos2x) dx= ⌠⎛
dx
⌡
2
⎝
⎠
⌡
n
es un número natural, la suma que aparece dentro del paréntesis se puede
2
n
;
desarrollar por el binomio de Newton, apareciendo así un polinomio de grado
2
repitiendo este proceso tantas veces como sea necesario se consiguen integrales
inmediatas.
Como
1+cos2x
1
1
1
1
⌠cos2x dx = ⌠
Ejemplo: ⌡
dx = ⌠dx + ⌠
cos2x dx= x + sen2x + C
⌡
2
2
2
2
4
⌡
⌡
b) Las integrales de la forma
⌠senkx dx, ⌡
⌠coskx dx donde k es un número natural
⌡
impar, se convierten en integrales inmediatas, teniendo en cuenta que:
(k-1)/2
(k-1)/2
k
2
2
⌠
dx = ⌠
dx
⌡sen x dx = ⌠
⌡senx (sen x)
⌡senx (1 - cos x)
(k-1)/2
(k-1)/2
k
⌠
⌠cosx (cos2x)
⌠cosx (1 - sen2x)
dx = ⌡
dx
⌡cos x dx = ⌡
k-1
es un número natural, la suma que aparece dentro del paréntesis se puede
2
desarrollar por el binomio de Newton; repitiendo este proceso tantas veces como sea
necesario se consiguen integrales inmediatas.
Como
3
2
2
Ejemplo: ⌠
⌡sen x dx = ⌠
⌡senx sen x dx = ⌠
⌡senx (1-cos x) dx=
2
⌠senx dx - ⌠
=⌡
⌡senx cos x dx= -cosx +
cos3x
+C
3
n
n
c) Las integrales de la forma ⌠
⌡sen 1x cos 2x dx, donde n1 y n2 son números naturales
pares, se convierten en integrales inmediatas utilizando en ambos factores las
transformaciones del caso a)
k
k
d) Las integrales de la forma ⌠
⌡sen 1x cos 2x dx, donde k1 y k2 son números naturales y
al menos uno de ellos es impar, se convierten en integrales inmediatas al aplicar las
transformaciones del caso b a la potencia que sea impar. En caso de que ambos
exponentes sean impares, es indiferente la elección del factor a transformar.
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e) Las integrales de la forma ⌡
⌠senmx cosnx dx, ⌡
⌠cosmx cosnx dx, ⌡
⌠senmx sennx dx, se
convierten en integrales inmediatas utilizando las siguientes igualdades:
1
(sen(mx + nx) + sen(mx - nx))
2
1
cosmx cosnx = (cos(mx + nx) + cos(mx - nx))
2
1
senmx sennx = (cos(mx - nx) - cos(mx + nx))
2
senmx cosnx =
Ejemplo: ⌠
⌡sen3x cos2x dx
Teniendo en cuenta que sen3x cos2x =
1
(sen(3x+2x) + sen(3x-2x)), se tiene:
2
1
⌠
⌡sen3x cos2x dx = 2 ⌠
⌡(sen5x + senx) dx =
=
1
1
1
1
⌠sen5x dx + 2 ⌠
⌡senx dx = - 10 cos5x - 2 cosx + C
2⌡
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Cálculo de áreas planas
b
Si f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ [a, b],
⌠
⌡ f(x) dx representa el área de la figura plana definida por
a
{(x, y) ∈ 2 | a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}
a
b
Si f(x) no es positiva en todo [a, b], para calcular el área de la figura plana limitada por:
b
x = a, x = b, y = 0, y = f(x) se considera la función módulo, |f(x)|, y será
⌠
⌡ |f(x)| dx
a
a
b
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9
Cálculo de superficies y volúmenes de revolución
Sea una función y = f(x): [a, b] → 
Si la gráfica de f(x) gira en torno al eje horizontal en el intervalo [a, b] se genera una
superficie y un volumen de revolución, como muestra la siguiente figura:
a
b
El área de la superficie de revolución es:
b
S = 2π ⌠
⌡ |f(x) |
1 + f '(x)2 dx
a
y el volumen de revolución:
b
V=π
2
⌠
⌡ f(x) dx
a
Cálculo de la longitud de un arco de curva
Dada la función f: [a, b] → , la integral definida permite calcular la longitud del arco de
curva que determina y = f(x) en [a, b] y este valor es:
b
L= ⌠
⌡
a
1 + f '(x)2 dx