UNIVERSIDAD DE CARABOBO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESTUDIOS BÁSICOS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CÁTEDRA DE FUNCIONES VECTORIALES
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GUÍA DE ORIENTACIÓN PRÁCTICA
( Tomado de su publicación original de fecha 15 de Marzo de 1995. Trascripción: Prof. Enrique Flores, Septiembre de 2005)
Tema 1: Límites y continuidad
1. En cada caso, determine el dominio de f
   x2 y2  

2
2 
  ,
(a) f(x, y)  lnln

x

y



   9 25  

(b) f(x, y) 
 ln4  x 
, arccos( xy) ,
4  x2  y2

 x2  y 2  1 

(c) f(x, y)  ln
2x


1
1 
1 2 

(d) f(x, y)   y   i  e y  x 2 j
x

(e) f(x, y)  ln 36  9x2  4y2 , arccos3  2y
 
(f) f(x, y, z)   x

, ln(9  x  y  z ) ,
2
2
2

z
2. Dibuje e identifique las gráficas de las siguientes funciones
(a) f(x, y)  3x 2  y 2 


(b) f(x, y)  5 x2  y2  2
(c) f(x, y)  4  4x 2  y 2
(d) en cada uno de los casos anteriores, obtenga, identifique y dibuje la curva de nivel de f
que pasa por el punto (1,1).
3. En cada caso dibuje la gráfica de f(x,y), dibuje e identifique las curvas de nivel para c = ½, 1, 3
(a) f(x, y)  x  y
(b) f(x, y)  2  3 x  y 
(c) f(x, y)  2  x2  y 2
(d) f(x, y)  1  x 2  y 2 
4.
(a) Si
i.
ii.
iii.
x 2  y 2  9 obtenga una cota apropiada para
3x  1 y  1
3x 3  y 2
x2  y2
2x2
x y
(b) Demostrar que si
x 4  3y 4
1
entonces
1
3
4
2
2 2
x y
i.
x, y 

ii.
x, y
 50 entonces


7xy
x y
2
2
 50
5. Se dispone de una variedad de triángulos rectángulos. Se requiere construir cuadrados cuyos
lados sean la suma de los catetos de cada triángulo respectivamente. Busque una cota superior
para la longitud de las hipotenusas de los triángulos para garantizar que el área de cada
rectángulo sea a lo sumo 100 cm2.
6. Demostrar que los puntos
t ,
2
1

 t, 2t caen dentro de S 1,  1, 2,
 para todo
3

1 

t  S1,
 . Represente mediante un dibujo.
10 

1 

7. Hallar un   0 tal que los puntos t2,  t, 2 caigan dentro de S 1,  1, 2,
 para
100 

todo t  S1,  . Represente mediante un dibujo.


8. Demuestre que no existen los siguientes límites
2xy
(a)
lim
x, y 0, 0  x  2y
xy
(b)
lim
x, y 2, 0  4  x 2  y 2
xy
(c)
lim
x, y 0, 0  y  x 2
y  4x
(d)
lim
x, y 2, 8  y  3x 2  2x
(e)
x,
lim
y 2,
4  x2
2  y  2
9. Para cada una de las siguientes funciones calcule el límite cuando x, y  0, 0

1
x 3 
1
(a) f(x, y)   x  y sen sen  ,
x 2  y 2 
x
y

 x2  y2
x3 

(b) f(x, y)   x 2
,
2
x 4  y 2 
 x y
 2
x2  y2 
x2  y 2


(c) f(x, y)   3x  2y  9 , e
,

x

y


 2x 2 y
(d) f(x, y)   4
2
 2x  y

, lnx 2  y 2  10

10. Estudie la continuidad de las siguientes funciones. En caso de discontinuidad no esencial
redefina la función de una manera continua
 x y
si x  k

(a) f(x, y)   senx
k  0,  1,  2, ...
en caso contrario

 1y
2 3
 x y
si x, y   0, 0 

(b) f(x, y)   x 2  y 2

0
si x, y   0, 0 

 x2  y2
si x, y   0, 0
xy
(c) f(x, y)   x 2  y 2

0
si x, y   0, 0

11. Dada la transformación lineal T(x, y)  4x  3y, 2x  5y calcular un  correspondiente a un
 = 0.05 que cumpla la condición de continuidad en todo el plano.
Tema 2: El diferencial
1. Calcule la pendiente en el punto (2,1,7) de la curva obtenida al cortar la superficie z = x 2 + 3y2
con el plano x = 2. Represente en un dibujo. ¿Cuál es la variación aproximada de la cota del punto
cuando la ordenada pasa de 1 a 0.5?
2.
x
x
(a) Demuestre que z  e t cos  y z  e t sen  son soluciones de la ecuación
c
c
2
z
 z
 c2 2 ( c constante).
t
x
1
(b) Demuestre que la función V(x, y, z) 
satisface la ecuación de Laplace
x2  y2  z2
2V 2V 2V


0
x2 y2 z2
3. La temperatura (en grados centígrados) en el pto. (x,y) de una placa de acero viene dada por
Tx, y  500  0.6x2  1.5y2
(a) ¿Con respecto a cuál de las variables es T más sensible?
(b) ¿Cuál es el valor aproximado de la temperatura si a partir del pto. (3,1) la variable x
cambia de 3 a 3.5? ¿Cuál es la variación de la temperatura cuando la variable y cambia de 1
a 0.99?
4.
(a) Calcule la ecuación del plano tangente a la superficie z = 4 + 3(x2 + y2) en el punto
(1,1,z0). Represente en un dibujo la superficie y el plano tangente.
(b) Considere la función f(x, y)  x2  y2 . Calcule, si es posible, la matriz jacobiana de f
en el punto (0,0). ¿Es posible obtener una función lineal que aproxime bien los valores de f
para valores muy pequeños de x e y? ¿Tiene la superficie z = f(x,y) plano tangente en el
pto (0,0,0).
5. Estudie la diferenciabilidad en el origen de cada una de las siguientes funciones
 5x 4 y
si x, y   0, 0 

(a) f(x, y)   x2  y2

0
si x, y   0, 0 

 x2  y 2

(b) f(x, y)   x2  y2

0

si x, y   0, 0 
si x, y   0, 0 
6. Para cada una de las funciones en el problema 3, tema 1, use la gráfica para determinar el
conjunto de puntos en el plano donde la función no es diferenciable. Dé una explicación sencilla.
7. Calcule la diferencial de las siguientes funciones

(a) f(x)  ln sen x2  3 en x 
2
 3
 1 
x cos 2  si x  0
(b) f(x)  
x 
0
si x  0



(c)
 xy
si x   y

8. Verifique que la función f(x, y)   x2  y2
tiene matriz jacobiana en (0,0) pero no
 0
si x   y
es diferenciable en ese punto. ¿Es f continua en el origen?
9. ¿En cuales puntos no son diferenciables las siguientes funciones?
 1

1
(a) f(x, y)   2  2 , 2x3  3y2 
y
x


1
2
2
 xsen  , x  y  si x  0
(b) f(x, y)  
x

2
2



0
,
x

y
si x  0

10. La expresión matemática que rige un determinado problema físico viene dada por
R = v2sen(2w) donde v y w son variables. Si en la medición de v existe un error de 1% y 0.01
radian en la de w, calcule el error que se comete en la determinación de R cuando v = 100 y

w .
4
11. El periodo de un péndulo simple de longitud l está dado por T  2
cometido al calcular T con l = 2 pies y g = 32
32 .2
pie
para g.
s2
l
. Hallar el error
g
pi e
si los valores verdaderos eran 1.95 pies para l y
s2
12. Una compañía va a manufacturar 10000 cajas de madera cerradas, con dimensiones de 3m 
bs
4m  5m. El costo de la madera que va a ser usada es de 5 2 . Si las máquinas que se usan para
m
cortar las piezas tiene un error de 0.005 m en cada dimensión, encontrar el máximo error posible
en la estimación del costo de la madera.
13. Sean a, b y c las longitudes de los lados de un triángulo y  el ángulo que forman los lados
cuyas longitudes son b y c. Exprese a en términos de b, c y  y calcule usando la transformación
afín aproximante una aproximación de a cuando b = 1.1 , c = 3.95 y  = 62º.
14.
(a) Calcule la transformación afín aproximante a
Fx, y, z  x cos ysenz, xseny cos z, x cos z
en un entorno del punto (1,,0)
(b) La altura de una forma cónica circular mide 100 cm y disminuye a razón de 10
radio de la base mide 50 cm y aumenta a razón de 5
cm
; si el
s
cm
, demuestre que la rapidez de
s
cm3
cambio del volumen es de 26.18
.
s
(c) En la fórmula PV = KT encontrar el porcentaje de error máximo que se comete en la
determinación de la presión cuando el error en la medida de la temperatura es de 0.1% y
la del volumen 0.9%.
(d) Se tiene un triángulo rectángulo cuyos lados están modificándose pero conservando el
carácter de rectangularidad. Si en un instante dado la longitud del cateto mayor es 16 cm,
cm
cm
aumentando 1
y el otro cateto de longitud 12 cm disminuye 2
determine la rapidez
s
s
de variación del ángulo opuesto al cateto mayor.
15. Considere la región limitada por las superficies z  x2  y2 y z = 2 para todo x e y. Se
requiere construir ese recinto cónico, las variables x, y, z dadas en metros. Determine el margen
de tolerancia que debe cumplir el fabricante en las dimensiones del radio y la altura para que la
variación de su capacidad no exceda 238.76 litros. Para dar su respuesta use el diferencial
(total).
 2
1
x sen  si x  0
16. Demuestre que la función f(x)  
es diferenciable, pero no es de clase
x
0
si x  0

C1.
Tema 3: Derivada direccional
1. Calcule la derivada direccional de f(x, y)  25  x2  y2 en el punto (2,2) en la dirección hacia
el punto (3,1). ¿En cuál dirección es máxima? ¿Cuál es el valor de ese máximo?
2.
(a) La superficie de una montaña está descrita por la ecuación z  1200  x2  y2 . Si el eje
0x apunta hacia el Este y el eje 0y hacia el norte, para un excursionista que está en el pto.
(-10,5,1073) y se mueve en dirección Este ¿asciende o desciende? ¿En cuál dirección
debería moverse para que se mantenga al mismo nivel? ¿Cuál es la dirección de la ladera
más pronunciada?
(b) Un punto móvil se encuentra sobre una superficie suave (diferenciable) desconocida e
inexplorada en las coordenadas (3,4,6) de un sistema de coordenadas orientado con el eje
negativo -0x hacia el norte. Se ha determinado que si se desplaza hacia el sur, su cota
aumenta instantáneamente en proporción 2:1 y si lo hace en dirección éste disminuye 3:1.
¿Hacia dónde deberá desplazarse para que su cota permanezca constante?
3.
(a) Calcule los valores de a, b y c para que la derivada direccional de f(x,y,z)=ax+bxy+cxyz
en la dirección del vector director de la recta determinada por la intersección de los
planos x = 3, y = 4, tenga un valor máximo de 12. ¿Qué significa intrínsecamente éste valor
dado a la derivada direccional?
(b) Calcule los valores de a, b y c de la función f(x,y,z)=ax2+bxz2+cyz para que tenga en el
punto (1,-1,-1) una derivada direccional máxima de 25 en la dirección normal en el origen, a
la superficie x2y + 2xy3 + z = 0.
4. Calcule el ángulo con el semieje positivo de las equis, para el cual la derivada direccional de
f(x,y) = x2 – y2 en el pto. 3,1 es máxima. ¿Cuánto vale la máxima variación de f? Explique el

f
significado intrínseco y el significado geométrico de  3,1  2 con u  0,1 . Haga un dibujo.
u




5. Dada f(x,y,z) = x2y2 - yz + z3 – 1, calcule la derivada direccional de f en X0 = (0,2,1) en la
dirección normal a la superficie f(x,y,z) = f(X0).
6. La distribución de temperatura en una placa circular caliente está expresada por:
64
T(x, y)  2
x  y2  2
con el origen en el centro de la placa. Para el pto. (1,2) determinar la razón de cambio de la

temperatura en la dirección   . ¿En cuál dirección es máxima la razón de cambio?.
3
 3 3
 de la pared de una habitación elíptica con
7. Una cucaracha se encuentra en el punto  1,

2


2
2
y
x
borde

 1 , y se de cuenta que ésta ha sido fumigada con un insecticida. Si la
4
9
concentración de insecticida en la habitación está dada por la función c(x,y) = 9x2 + 4y2.
(a) ¿En que dirección debe comenzar a moverse para tratar de evitar envenenarse?
(b) Si su madriguera está en el origen de coordenadas, ¿cuál debe ser su trayectoria si en
cada instante se mueve en la dirección en la cual c(x,y) disminuye con mayor rapidez?
8. Calcule la ecuación de la recta tangente a las siguientes curvas, en los puntos indicados
(a) x2 + 2x – y = 2 en el pto (1,1)
(b) xy = 2 en el pto. (1,2)
3
1 
 1
(c) x2  xy  y 2  en el pto. 
,
.
2
 2 2
9. Calcule (si es posible) la ecuación del plano tangente a cada superficie en el punto indicado
z2
1 1

 1 en  , , 2 
(a) x2  y2 
4
2 2

2
2
2
(b) x + y – z = 0 en (0,0,0)
(c) x2 - y2 + z = 1 en (0,0,0)
10. Dibuje la superficie de nivel de la función F(x,y,z) = x + y + z para c = 4. Calcule el plano
tangente a la superficie en los ptos. (1,1,1) Y (1,1,-1). Identifique los puntos de dicha superficie
donde no existe plano tangente. Relacione éste hecho con la diferenciabilidad de F en dichos
puntos.
Tema 4: Función compuesta, función inversa, función implícita
1. Dadas las funciones f(x,y,z) = (x2 – y2 , x – yz2) = (u , v) y g(u,v) = uv – uv2, estimar el valor de la
función compuesta en el punto (1.1 , 2.9 , 4.02). Calcule la ecuación del plano tangente a la
superficie definida por la función compuesta en el pto. (1,2,4).
2. La empresa transportista “Big Low trips” opera desde Valencia con dos vehículos de la misma
capacidad hacia Pto. La Cruz y Cumaná, transportando siempre simultáneamente el mismo número
de adultos, niños y peso de equipaje. Se han establecido los siguientes costos (en bolivares) en
función de lo transportado
Para Pto. La Cruz:
xy
3


P  2 x2  y 
 2z 
5
30


Para Cumaná:
xy 3 

C  2 x2  y 
 z
20 2 

donde x,y,z corresponde al número de adultos, niños y equipaje respectivamente.
En Oriente, la empresa filial “Guácharo Tours” ofrece excursiones a uno de los tres lugares
siguientes: Coche, Cubagua o Araya, con la condición de llevar a todos los pasajeros que fueron
llevados a Pto. La Cruz y Cumaná por la empresa “Big Low trips”. Sus costos (en bolívares) han
sido estimados en los siguientes
Para Coche:
P2
C
CH 

15000 7
Para Cubagua:
1
P2  C 
G
16000
Para Araya:
1
100P  C 
A
90
donde P y C son los costos a Pto. La Cruz y Cumaná respectivamente. Se desea conocer utilizando
la función compuesta y la regla de la cadena: cómo afecta el costo de las excursiones un ligero
aumento en el número de niños transportados y cuál excursión resulta más económica si se
prevee un plan inicial con 30 adultos, 20 niños y 400 kg de cada vehículo que parte desde
Valencia.


3. Calcule la derivada direccional de g(x,y,z) = x2 + y2 + z2 en 0,0, 14 definida en la dirección

del vector v , tangente a la curva definida por la intersección de las superficies x + y + z = 3 ;
g
x2 – y2 + 2z2 = 2 en el punto (1,1,1). ¿Cuál es el significado de  0,0, 14  4 ?.
v


4. Calcule la derivada direccional de f(x,y,z) = x3 + y2 + z en (2,-1,-5) la dirección del vector
tangente a la curva dada por la intersección de las superficies 6x-3y+2z–5=0 ; z2–4x2–9y2=0.
5. Dadas las superficies F(x,y,z) = xy + yz – 4xz = 0; G(x,y,z) = 3z2 – 5x + y = 0
(a) Demuestre que se cortan ortogonalmente en el pto (1,2,1)
(b) Calcule las ecuaciones de la recta tangente a la curva determinada por la intersección
de las superficies definidas por F y G en el pto. (1,2,1).
2x3 y  yx2  t2  0
6. Las ecuaciones 
definen implícitamente una curva f(x) = (y(x) , t(x)) que
x  y  t  1  0
satisface f(1) = (-1,1). Calcule la recta tangente a la curva definida por f en x = 1.
7. En un cierto proceso se ha determinado que las variables (x,y,z,u,v) satisfacen las ecuaciones
xu  yv  zv  2v  3  0

xu  yz  zv  1  0
u
si se sabe además que las variables (u,v) están ligadas a (w,t) por w = eu – v y t  arctg  obtenga
v
las funciones lineales aproximantes que permitan calcular a w y t cuando (x,y,z) = (0.9, 1.1, 0.8).
8.
(a) Considere el pto. (x,y,z) que satisface las ecuaciones x2 + 2y2 + z = 4, x2 + y2 + z2 = 3. Si
w = ln(3z2 - 2y2), calcule la razón de cambio de la variable w con respecto a la variable x.
¿Cómo varía la variable w cuando x cambia de 0.9 a 1?
(b) Sean u,v,t las variables de un proceso que satisface las siguientes condiciones uvt = 50;
u + v + t = 16. Determine como deben modificarse las variables u y v si t se incrementa de 1
a 1.06.

9. Sea f(x,y,z) = xy + senz. Calcule la derivada direccional de f en el punto  1,2,  en la dirección
4

del vector normal la superficie S de nivel de f que pasa por (3,0,4).
10. Un cambio de coordenadas viene dado por   x2  y2 ,   arctg
y
x
. Si x,y están
relacionadas con t mediante las ecuaciones:
x cost – y (t + 1) = 0 ; y sent + x (t + y) = 1
(a) Determine si es posible obtener las funciones (t) y (t) en un entorno de t = 0
(b) Calcule  y  cuando t = 0.005


11. Sea g(x, y, z)  xy, x2  z2  (u, v) y f(u,v) una función que satisface fu(1,2) = 1, fv(1,2) = 2.


Determine el plano tangente a la superficie S definida por h  f  g en el punto 1,1, 3 .
12.
(a) Encuentre la función afín que aproxima mejor a la inversa de la función
f(x,y) = (x2 + 2xy + y2 , x2 + y)
en un entorno del punto f(1,1).
(b) Sea f(u,v) = (u2 + u2v + 10v , u + v3)
i. Demuestre que f tiene una inversa f-1 en una vecindad del pto. (1,1)
ii. Calcule el valor aproximado de f-1(0.8,1.2)
13. Sea T definida por (x,y) = T(r,) = (rcos , rsen) , r  0 , 0    2
(a) Calcule la matriz del diferencial de T y su inversa para los puntos (r,) para los cuales
existe
(b) Obtenga una representación explícita de T-1.
14. Sea z = f(x,y), x = ucos , y = usen. Calcule
ambas derivadas parciales en el punto
z   
 2,  sabiendo que f es diferenciable y que
  4 
 2, 2  vale
2.
15. Dada F(u,v) = 0; u = zsenx; v = zcosy, donde F es una función diferenciable arbitraria.
F
F
Tomando derivadas parciales respecto de x e y , y eliminando de las ecuaciones a
y
u
v
demuéstrese que la ecuación diferencial en derivadas parciales resultante es
F
F
tgx
 ctgy
z0
x
y
16. Dibuje e identifique cada una de las siguientes superficies dadas en forma implícita:
(a) x2 + y2 – z2 = 0
(b) x – 2y + 3z = 6
(c) 3x2 + 2y2 + 4z2 – 12 = 0
(d) x2 - 2z = 0
(e) y2 + z2 = 4
(f) Las superficies de nivel de f(x,y,z) = x2 + y2 – z2 para c = -1,0,1,4
x2 y2 z2


1
(g)
9 12 4
y2 x2
(h)

 z  0.
4
9
Tema 5: Extremos y extremos condicionados
1. Diagonalice y clasifique las siguientes formas cuadráticas
(a) f(x,y,z) = 2x2 + 3y2 + z2 + 4xy – 2yz
(b) f(x,y,z) = -3x2 - 4y2 - 5z2 + 2xy – 2xz + 4yz
(c) f(x,y,z) = 4x2 + y2 + z2 - 4xy + 4xz - 2yz.
2.
(a) Calcule el desarrollo de Taylor de segundo orden de la función f(x,y) = x cos(xy) en un
entorno del punto (4,0). Calcule el valor numérico de f(3.99,0.01)
(b) En cada caso use el desarrollo de Taylor de segundo orden de una función apropiada
para calcular
i. (0.95)2.01
ii. 3.1  0.9e0.01
iii. 0.9e0.2arctg(1.1).
3. Calcule los extremos de las siguientes funciones y discuta su naturaleza
(a) f(x,y) = 3x2 + 2xy + 2x + y2 + y + 4
(b) f(x, y)  e 4  x
2
 y2
(c) f(x,y) = cos(x2 + y2)
(d) f(x,y) = y + xseny
1 1
(e) f(x, y)  xy  
x y
(f) f(x,y) = (x + y)(xy + 1).
4. En cada caso calcule los extremos de la función y discuta su naturaleza
(a) f(x,y) = xy en el rectángulo R = { (x,y) / x  1 , y  1 }
(b) f(x,y) = senx + cosy en el rectángulo R = [0,2]  [0,2]
(c) f(x,y) = x3 – xy + y2 – 6 en la región encerrada por el triángulo de vértices (-2,-1); (1,3)
y (4,-1).
5.
(a) Sea n un entero mayor que 2 y sea f(x,y) = axn + byn donde ab  0. ¿Para que valores de
a, b y n ocurre un máximo o un mínimo o un punto de ensilladura?
(b) Dada f(x) = 3a3x2 – 3ab + 2b2x + 2, determine los valores de a y b para que
1
 f(x)dx
0
alcance su valor mínimo en [0,1]
6.
(a) Demostrar que una caja rectangular de volumen dado tiene superficie mínima cuando la
caja es un cubo
(b) Demostrar que una paralelepípedo rectangular de superficie fija y volumen máximo es
un cubo
(c) Considere la familia de pentágonos con perímetro constante y construidos colocando un
triángulo isósceles encima de un rectángulo. Identifique la forma del pentágono de dicha
familia que tiene el área máxima y calcúlela.
7. Demostrar que la menor distancia del pto. (1,2,-3) al plano tangente de la superficie definida
5

por f(x,y,z) = x2 – y3 + 6z – 17 = 0 en el pto.  1,1,  es 6.
2

8.
(a) Demuestre que las distancias máxima y mínima desde el origen a la curva
5x2 + 6xy + 5y2 – 8 = 0 son 1 y 4 respectivamente.
(b) Calcule la menor distancia de la superficie x2+2y2–z2–1=0 al origen de coordenadas.
(c) ¿Cuál es le pto. del paraboloide z = x2 + y2 más próximo a (3,-6,4)?
(d) Busque la distancia mínima entre la rama de la hipérbola xy=4 , x>0 y la recta y=-3x, y
dos puntos que la realicen
9. Use el método de los multiplicadores de Lagrange para resolver los siguientes problemas:
(a) Una caja rectangular está contenida en el elipsoide 2x2 + 3y2 + z2 = 18 y cada lado es
paralelo a uno de los ejes coordenados. Demuestre que el máximo volumen que puede tener
la caja es 48 unidades de volumen.
(b) Se desea construir con 20 m2 de lona una carpa en forma cónica. ¿Cuáles deben ser las
dimensiones del radio y la altura para que el volumen sea máximo?
(c) Se desea construir un tanque, de tal forma que la base sea un triángulo rectángulo y
sus paredes verticales para que tenga una capacidad de 2 m3. ¿Cuál es el menor área de
metal que puede ser usada en su construcción?
(d) Busque el rectángulo de área máxima que puede inscribirse en el triángulo formado por
y
x y
x
  1;
  1 ; y = 0, de tal manera que uno de sus lados esté sobre el
las rectas
3 4
4 3
eje x.
10.
(a) Estudie los extremos de f(x,y,z) = x + y + z sobre la hipérbola x 2 – 4y2 = 1; z = 1.
Sugerencia: use la ecuación cosh2t – senh2t = 1 para parametrizar la curva. Recuerde que
et  e t
et  e t
cosh t 
, senht 
.
2
2
(b) Un servicio de entrega de paquetes requiere que las dimensiones de una caja
rectangular sea tal que la longitud, más el ancho, más el doble de la altura no exceda 108
cm. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja de mayor volumen que puede enviar la compañía?
(c) Demuestre que el volumen del paralelepípedo rectangular de volumen máximo con lados
x2 y2 z2
paralelos a los ejes coordenados, que se puede inscribir en el elipsoide 2  2  2  1 es
a
b
c
8abc
.
3 3
(d) El método de los mínimos cuadrados consiste en lo siguiente: realizamos una serie de
experimentos donde es razonable suponer que el resultado y es una función lineal y=mx+b
de los datos x, pero existe un error experimental cuando medimos los datos xi y los
resultados yi , i = 1,2,…,n. Los coeficientes m y b se obtienen calculando el mínimo de la
suma de los cuadrados de los errores
n
E(m, b)   yi  mxi  b
2
i 1
i. Use el método de mínimos cuadrados para hallar la recta que mejor se ajuste a los
puntos (0,1);(1,3);(2,2);(3,4) y (4,5). Dibuje los puntos y la recta obtenida.
ii. Una pieza se estira a una longitud de L = 5 , 6 y 7 pies bajo la acción de fuerzas
F = 1 , 2 y 4 toneladas respectivamente. Suponiendo la ley de Hooke L = mF + b,
encontrar la longitud si la fuerza aplicada es de 6 toneladas.
Tema 6: Integrales múltiples
1. Dibuje la región de integración en invierta el orden de integración en las siguientes integrales
iteradas:
(a)
(b)
(c)
2

a
2
dx 
1
0
 
0
a
2
0

2 ax x2
3 y2
2
y
2
dy 
f(x, y)dy
f(x, y)dydx
a2  y2
a 2 y
a
f(x, y)dx  a dy 
2
0
a2  y 2
f(x, y)dx
2. Calcule las siguientes integrales iteradas. Dibuje la región de integración. Compruebe sus
resultados usando el teorema de Fubini
(a)
(b)
(c)
2
x
0
x2  x
 
dydx
1
1 y2
0
 1 y2
1
1 y
0
0
 
 
dydx
e x  ydxdy
3. Demuestre que
8
 2  ydzdydx  3 , donde B es la región del espacio:
B
B = { (x,y,z) / 0  x  y ; 0  z  2y ; 0  y  2 }
Plantee las restantes integrales de acuerdo con el teorema de Fubini.
4. Calcule el volumen de las siguientes regiones del espacio:
x y z
(a) El tetraedro limitado por el plano    1 ; a, b, c > 0 y los planos coordenados
a b c
(b) La región común a los dos cilindros x2 + y2  a2 , y2 + z2  a2
(c) La región debajo del cono z  a  x 2  y 2 y por encima del plano xy.
5. Calcule la masa de la región B, si la densidad de masa (x,y) es la indicada en cada caso:
(a) B = { (x,y) / y  5 – y2 ; y  x2 – 3 }, (x,y) = x2y
(b) B = { (x,y) / 0  x 2 y ; y  1 } , (x,y) = 3(1 – y)
6. Una placa de oro grabado D tiene una densidad de masa (x,y) = y2sen2(4x) + 2
g
. Si el oro
cm2
cuesta 2000 Bs por gramo ¿Cuánto cuesta la placa?
D = { (x,y) / 0  x  2 ; 0  y   }
Las unidades de x e y en la placa D están dadas en cm.
7. Calcule la masa de una esfera maciza de radio a cuya densidad varía en cada punto en forma
directamente proporcional al cuadrado de la distancia del punto al centro de la esfera.
8. Calcule los momentos de inercia Ix , Iy y el centro de masa (x,y) para la lámina y densidad
especificadas:
(a) Lámina: región limitada por y = x , y = x2 , (x,y) = kxy
(b) Lámina: región limitada por y  a 2  x 2 ; y = 0; la densidad es proporcional a la
distancia al eje x.
9. Calcule la integral I haciendo uso del cambio de variables dado:
1
1
xy
xy
; v
(a)   x2  y 2 dxdy ; u 
0
y
2
2
y
1
1x
y
(b)   e x  y dxdy ; u  x  y; v 
0
0
xy
10. Dada la transformación T y la región A, calcule y dibuje la imagen B = T(A). Determine el área
de B.
(a) T(u,v) = (2u – 3v , 5u + 7v) = (x,y); A es la región triangular del plano uv cuyos vértices
son (0,0); (1,0) y (0,1).
(b) T(u,v) = (u2 – v2 , 2uv) = (x,y); A es el cuadrado cuyos vértices son (1,0); (2,0); (2,1) y
(1,1).
11. Calcule  x 4  y 4 dxdy , donde r es la región limitada por las hipérbolas xy=4, xy=9, x2–y2=1,
R
2
2
x – y = 4. Ayuda: (x2 + y2)2 = (x2 - y2)2 + (2xy)2.
12. Calcule la integral I usando coordenadas polares
 
(b) I =

0
B
(c) I =
5  x2
1
(a) I =
x
x
x y
x
 e
3
(x 2  y 2 ) 2 dydx
2
2
 y2
2
dA ; B = { (x,y) / x2 + y2  1 }
dxdy ; R = { (x,y) / a  x2 + y2  b ,
R
1
x y
3
3x , x > 0 }
13. En cada caso calcule el volumen del sólido limitado por:
(a) El cilindro x2 + y2 = 1, el hiperboloide x2 + y2 – z2 = 1 y los planos z = 0 y z = 1.
(b) Las superficies: x2 + y2 + z2 = 3 ; x2 + y2 – 1 = z
(c) El cilindro x2 + y2 – 2x = 0, el paraboloide x2 + y2 = az y el plano z = 0.
(d) Las superficies: x2 + y2 – 2x = 0 ; 4z = x2 + y2; z2 = x2 + y2.
14. En cada caso dibuje la región B y calcule su volumen.
(a) B = { (x,y,z) / x2 + y2 – 2y  0 ; z  3x2 + 3y2 ; z  0 }
(b) B = { (x,y,z) / x2 + y2 + z2  36 ; z 
x2  y2 ; x  0 ; y  0 }
(c) B = { (x,y,z) / x2 + y2 + (z – 3)2  9 ; x2 + y2  4 z 
Ayuda:
n
 sen (x)dx  
x2  y2 }
sen n 1 (x) cosn (x) n  1

sen n 2 (x)dx
n
n 
15. Demuestre que el volumen del elipsoide
cambio x = au , y = bv , z = cw).
2
4
x2 y
z2
abc (Sugerencia: use el


 1 es
2
2
2
3
a
b
c
16. A Ud. Como pasante de una empresa le corresponde calcular la capacidad de un tanque en
forma de paraboloide de diámetro 8m y altura 3m. A falta de una tabla que indique la fórmula

correspondiente, deduzca usando integrales múltiples que ésta es r2h . Aplíquela y determine
2
cuántos litros de agua caben en el tanque. Suponga que el tanque es un cono circular y repita

todos los pasos anteriores (La fórmula respectiva para el volumen de un tanque cónico es r2h ).
3
17. El recipiente de un líquido formado por un hemisferio de 10 m de radio se va llenando de agua
a razón de 30000 litros por minuto. ¿A que velocidad se eleva el nivel de agua en el momento de
desbordarse, si el radio crece a una razón de 70 cm por minuto? Usando integrales múltiples

demuestre que el volumen de un casquete esférico de radio R y altura H es V  H2 (3R  H) .
3
18. Una esfera de radio a metros es taladradada en la dirección de su centro con un agujero de
radio b metros b < a . Calcule el volumen de la porción de esfera restante.
19. Calcule el centro de masas de un sólido de densidad constante limitado por la semiesfera




 = cos ,
, y el cono   . Calcule el momento de inercia de éste sólido respecto al
4
2
4
eje z (Iz).
20.
(a) Para el cilindro circular recto r = 2asen de altura h y densidad constante, calcule el
momento de inercia respecto a su eje.
(b) Para el sólido contenido en la concha cilíndrica B = { (x,y,z) / a  x2 + y2  b } de
densidad constante, calcule el momento de inercia respecto a su eje.
(c) Calcule el momento de inercia respecto de su eje, de un cono circular recto de radio r,
altura h y densidad constante.
(d) Calcule el momento de inercia respecto a su diámetro, de una esfera de densidad
constante y radio a.
Tema 6: Integrales de línea e integrales de superficie
1. Escriba las siguientes curvas en forma paramétrica
(a) La curva intersección de la esfera x2 + y2 + z2 = 4a2 con el cilindro x2 + (y – a)2 = 4a2
desde el punto (0,0,2a) al punto (0,2a,0) , x  0.
(b) La intersección del cono z  x2  y2 con el plano z + y = 1.
(c) La intersección del cono z  2  x2  y2 con el plano x + y + z = 1.
(d) La intersección de los cilindros x2 + y2 = a2 y y2 + z2 = a2.
2. Dibuje e identifique las siguientes curvas (superficies) dadas en forma paramétrica.
(a) f(t) = (2cost , 2sent) ; 0  t   .
(b) g(t) = (3t + 1 , 2t) ; 0  t  1 .
(c) g(t) = (3cost , 4sent) ;   t  2 .
(d) g(t) = (3cosht , 2senht) ; t  R .
(e) (t) = (2t + 3 , t , t + 1) ; 0  t  1 .
(f) (t) = (cos3t , sen3t) ;   t  2 .
(g) f(t) = (5cost , 5sent , 2t) ; 0  t  2 .
(h) (t) = (4cost , 5sent , 2 - t) ; 0  t  2 .
(i) C(r,) = (rcos , rsen , r) ; 0  r   , 0    2.
(j) P(r,) = (2rcos , 3rsen , r2) ; 0  r  
(k) E(,) = (3coscos , 3sencos , 3sen),    ,   
(i) H(r,) = (rcos , rsen , ) ; 0  r  1 , 0    2.
3. Calcule el plano tangente a las superficies dadas en forma paramétrica en el punto
especificado ¿En cuáles puntos la superficie no posee plano tangente?
(a) F(u,v) = (2u , u2 + v , v2) = (x,y,z) en (0,1,1)
 1 1 
(b) G(u,v) = (u2 – v2 , u + v , u2 + 4v) = (x,y,z) en   , ,2 
 4 2 
1


(c) H(u,v) =  u2 , usen(ev ) , u cos(e v )  = (x,y,z) en (13,-3,1). ¿Son suaves las superficies
3


dadas? En cada caso determine un vector unitario normal a la superficie dada.
(d) Dada la superficie paramétrica S definida por G(u,v) = ((u – 1)2 , u + v , u - v). Calcule la
ecuación general del plano tangente a S que pasa por G(u0 , 1) y es perpendicular a
x+y+z+1=0.
4.
(a) Calcule la longitud de arco de una onda de la cicloide x = a(t – sent); y = a(1 – cost);
0  t  2 .
(b) Calcule al longitud de la curva C
1 

i. C: g(t) =  t2, t3, t  , 0  t  2 .
3 

ii. C: y = x3 entre los puntos (-1,-1) y (1,1).
(c) Calcule la longitud de la elipse x = 2sen , y = 3 sen, 0  t  2 . Ayuda: Use una tabla
de integrales elípticas.
En cada caso determine la masa del alambre que sigue la trayectoria C, si la densidad es k
gramos/metro.
5. Calcule la integral de f(x,y) = 2x –y a lo largo de la trayectoria C definida por g(t) = (t2 , t2) ;
-1  t  1. Interprete geométricamente el valor de la integral.
6. Calcule las siguientes integrales de línea:
(1,1)

(b) 
(c)  F
(a)
(2, 0)
(x  y)dx  (x  7 y)dy
( 5,3)
(1,1)
(x  y)dx  (x  y)dy
, donde F(x,y) = (x+y , x) y  es la curva formada por el arco 1 : (x-4)2 + y2 = 4

desde (0,0) hasta (2,2) y el segmento de recta que va desde (2,2) hasta (3,0).
(d)
 3  
 , 
 2 2
 0,   

cos xsenydx  senx cos ydy
( 2 3 ,2 )
(e)

(f)
e
(1,1)
ydx  xdy
x2  y2
senydx  e x cos ydy , donde C es el arco g(t) = (t – sent , 1 – cost) desde (0,0) hasta
x
C
(2 , 0).
(g)
 x
C
(h)
2
2x

2 2
y
dx 
 e dx  xe dy ,
y
y
2y
x
2

2 2
y
dy donde C : (x-4)2 + (y-5)2 = 9.
donde C es el arco de hipocicloide que va desde (0,-1) hasta (-1,0).
Justifique el por qué de la aparente ambigüedad en la notación de los problemas (6a), (6b),
(6d) , (6e).
7.
(a)
Un
objeto recorre una trayectoria elíptica sometido al campo vectorial
 y x
F(x, y)  
,  . Determine una relación entre el trabajo realizado y el área de la elipse.
 2 2
(b) Calcule el trabajo realizado al mover una partícula desde el punto A(0,1) hasta el punto
B(1,0) a lo largo de la curva g(t) = (cos3t , sen3t) bajo la influencia del campo
F(x,y) = (1 + x)yexî + (xey – ey)ĵ .
(c) Una partícula se desplaza de O a P bajo la acción del campo F(x,y) = (xy , x) (el campo
medido en Newtons) siguiendo una trayectoria medida en metros en el sentido horario
definido por la curva parcialmente suave 1  2 , donde 1 : y = x2 desde el origen hasta la
intersección con 2 : x2 + y2 = 3 que termina en su intersección P con el eje x. Calcule el
trabajo realizado por el campo de fuerzas.
(d) Calcule el trabajo efectuado por el campo F(x,y) = (xy2 , x2y) (Newtons) para desplazar
una partícula en el sentido antihorario, entre los puntos extremos del trayecto del

3
astroide x = cos3t ; y = sen3t,  t 
medido en metros.
4
2
8. Determine h(x) para que
F  0
para toda  si F(x,y) = (yex+eycosx)î + (eysenx+h(x))ĵ, h(0) = 0.

9. Verificar el teorema de Green para la función vectorial F definida en el recinto R. En cada
caso dibuje R y la trayectoria.
(a) F(x,y) = (x,x) ; R = { (x,y) / 1  x2 + y2  4 , -2  x  0 }
(b) F(x,y) = (exy , 1-xy) ; R es la región del plano xy limitada por el cuadrado de vértices en
(1,1) ; (-1,1) ; (-1,-1) ; (1,-1).
(c) F(x,y) = (y2 + y , 2xy – ey) ; R es la región del plano limitada por el arco x2 + y2 = 1, x > 0,
y > 0, y la recta y = 1 – x.
(d) F(x,y) = (x3 – 3xy2 , 3x2y – y3) ; R es la región del plano constituida por el sector
circular de radio unidad, comprendido entre los ángulos 30° y 120°.
(e) F(x,y) = (x + 2y , y + x) ; R = { (x,y) / x2 + y2  4 , -y  x  y , y > 0 }
10. Calcular el área del helicoide x = rcos , y = rsen , z = ; 0  r  1 ; 0    3.
11. Calcular el área de la superficie definida por x + y + z – 1 = 0 en el interior de x2 + 2y2  1.
12. Se perfora un hoyo cilíndrico de radio 1 a través de una esfera de radio 2 para construir un
acoplador anular. Calcule el área de superficie exterior del acoplador.
13. Evalúe
 zdS
donde:
S
(a) S es la concha hemisférica de radio a y con centro en el origen de coordenadas.
(b) S es la superficie z = x2 + y2 , x2 + y2  1.
14. Calcule
 z dS , donde S es la frontera del cubo de lado 1 metro cuyo centro está en el origen
2
S
de coordenadas, y cuyas caras son paralelas a los planos coordenados.
15. Calcule el área de superficie esférica x2 + y2 + z2 – 2z = 0 que está dentro de la superficie
cónica z  x2  y2 . ¿Cuál es el área de la parte de la superficie cónica que está dentro de la
superficie esférica?
16.Sea S la superficie cerrada formada por la concha hemisférica x2 + y2 + z2 = 1 , z  0 y su base

x2 + y2  1, z = 0. Sea E el campo eléctrico definido por E(x,y,z) = 2x î + 2y ĵ + 2z k . Calcule el
flujo eléctrico a través de S.
m
. Calcule cuántos
s
metros cúbicos de fluido están cruzando por la superficie x2 + z2 = y , 0  y  1 en la dirección en
que y crece.

17. Sea F el campo de velocidad de un fluido descrito por F(x, y, z)  y j

18. Calcule el flujo de F(x,y,z) = î + ĵ + z(x2+y2)2 k a través de la superficie del cilindro x2 + y2  1
, 0  z  1.
19.
(a) Un fluido uniforme (lluvia fuerte) cae verticalmente, y se describe por el campo

vectorial F(x,y,z) = - k . Calcule el flujo total a través de la superficie cónica z  x2  y2 ,
x2 + y2  1.
(b) Debido a un fuerte viento, la lluvia cae de lado, de modo que forma un ángulo de 45°

2
2
 . ¿Cuál es ahora el flujo a través
,0,
con el plano, y se describe por F(x, y, z)   

2
2


de la superficie S?
20. Suponga que la temperatura en un punto (x,y,z) de una región R está dada por una función
T  C1. El campo vectorial T(x,y,z) se llama gradiente de temperatura y bajo ciertas hipótesis
físicas T(x,y,z) es proporcional a la dirección de flujo de calor por unidad de área en (x,y,z). Si
T(x,y,z) = x2 + y2 para x2 + y2  4, calcule el flujo total de calor a través de la superficie
cilíndrica x2 + y2 = 1 , 0  z  1.
21. Sea F el campo gradiente del potencial Newtoniano f(x, y, z) 
1
x2  y2  z2
. Demuestre que
la circulación de F es cero en la vecindad de todo punto de dominio de F.
22. Sea F(x,y,z) = x2î + (2xy + x)ĵ . Sea C la circunferencia x2 + y2 = 1 y S el disco x2 + y2  1 en el
plano z = 0.
(a) Calcule el flujo de F hacia afuera de S.
(b) Determine la circulación de F alrededor de C.
(c) Halle el flujo de F. Verifique el teorema de Stokes en éste caso.

23. Sea un fluido con un campo de velocidad F(x,y,z) = xyî + yzĵ + xz k . ¿Cuál es la circulación
alrededor del círculo unitario en el plano xy? De una interpretación al valor calculado.
24. Sea F(x,y,z) = -yî + xĵ
(a) Demuestre que F es irrotacional.
(b) Suponga que F representa en el campo de velocidad de un fluido. Demuestre que si
colocamos un corcho en este fluido, girara en un plano paralelo al plano xy en una
trayectoria circular alrededor del eje z.
(c) ¿En cuál dirección girará el corcho?

y
x 

25. Sea F(x, y)    2
,
2
2
2 
x

y
x

y


(a) Demuestre que F es un campo gradiente.
(b) Calcule la circulación de F en torno a un círculo C: x2 + y2 = a2 en sentido antihorario.
(c) ¿Es F irrotacional en el interior del círculo C?
(d) ¿Es F incompresible en el interior del círculo C?
26. Evalúe la integral
   F  dS
donde S es la parte de la superficie de la esfera definida por
S



x2 + y2 + z2 = 1 , x + y + z  1 y F = r  ( î + ĵ + k ) , donde r es el vector de posición.
2 
u [Teslas] representa una densidad de flujo magnético en coordenadas cilíndricas.
r
Calcule el flujo magnético    B  dS [Webers] que cruza la superficie plana definida por
27. B 
S
1
5
 r  [metros] , 0  z  2 [metros].
2
2

103
A
cos

u
  2  en coordenadas esféricas. Calcule la
2
r
m 

corriente I   J  dS que atraviesa la franja cónica  
, 0.001  r  0.008 m.
4
S
28. Dada la densidad de corriente J 
29. En cada uno de los siguientes casos siguientes obtenga el valor de la integral de superficie
evaluando una integral triple (Use el teorema de Gauss).
(a) Demuestre que

 F  dS = 0 donde F(x,y,z) = î + ĵ + k y  es la superficie del cubo:

 = { (x,y,z) / 0  x  1 , 0  y  1 , 0  z  1}.
(b) Calcule que


 F  n dA , donde F(x,y,z) = î + ĵ + z(x2 + y2)2 k y  es la superficie del

cilindro:  = { (x,y,z) / x2 + y2  1 , 0  z  1}.
30. La intensidad de campo magnético H, medida en
A
, producido por un filamento de corriente
m


I0   y i  x j 
a lo largo del eje z es: H 
. Demuestre que la densidad de corriente J =   H es
2  x2  y2 


nula en todo punto.
A
en coordenadas esféricas. Calcule la corriente
m2
I   J  dS que atraviesa la concha esférica de radio r = 0.02 m.
31. Dada la densidad de corriente J = 103 sen
S
32.
Un conductor cilíndrico de radio r0 = 1 cm tiene

104  1
r
  A
. Calcule la corriente total I.
H
 2 senar cos ar u   , a 
2r0
r a
a
 m
Ayuda: Use la ley de Ampere I   H  dl     H  dS .
un
campo
interno
S
33. Dado el campo vectorial F y S la frontera de la región , verifique el teorema de la
divergencia de Gauss en cada uno de los siguientes casos siguientes:

(a) F(x,y,z) = (x+z)î + (y+z)ĵ + (x + y) k ;  = { (x,y,z) / 0  y2 + z2  1 , 0  x  2}.
 


(b) F(x, y, z)  r r donde r = xî + yĵ + z k y S la superficie x2 + y2 + z2 = a2.
34. Suponga que S y  satisfacen las condiciones del teorema de la divergencia de Gauss,
demuestre que:

(a) Si r es el vector posición, entonces el volumen de  puede ser calculado mediante la
fórmula:
V

1  
r  n dS
3 S
(b) Si r0 es un vector constante, entonces


 r0  n dS  0 .
S
35. Verifique el teorema de Stokes en cada uno de los casos siguientes:

(a) F(x,y,z) = 2yî - zĵ + 3 k ; S es la superficie del paraboloide z = 4 – x2 – y2 que se
encuentra dentro de la superficie cilíndrica x2 + y2 = 1.

(b) F(x,y,z) = x2î + y2ĵ + z2 k ; S es la superficie del cono z  x2  y2 acotada por el plano
z = 1.

(b) F(x,y,z) = xy2î + yz2ĵ + zx2 k ; S es la superficie del triángulo con vértices (1,0,0) ,
(0,2,0) y (0,0,3).
evfc/09-05.
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