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Agujeros Negros, Entropı́a y Holografı́a
Andrés Almeida Toro
Departamento de Fı́sica, Facultad de Ciencias, Universidad de Chile
Abstract—El desarrollo de una teorı́a termodinámica de
los agujeros negros ha tenido muchas repercusiones importantes en el último tiempo. Se está trabajando a partir
de esto, para formular teorı́as holográficas y de limitación
de la información del universo. Es posible, que estemos a
las puertas de una nueva teorı́a que mezcle termodinámica,
gravitación y mecánica cuántica.
I. Introducción
A menudo, cuando exploramos los lı́mites de la Fı́sica
nos encontramos con propuestas vanguardistas, muchas de
las cuáles son difı́ciles de imaginar. Esto ocurrió con el desarrollo de la teorı́a electromagnética, la relatividad, teorı́a
cuántica, entre otras. Algunas de ellas resultaron exitosas,
sin embargo, otras propuestas fueron desechadas, por ejemplo, la teorı́a del éter. Las teorı́as holográficas dan cuenta
del número de grados de libertad que se necesita para describir un sistema. Para explicar esto, se estudia resumidamente las implicancias que tiene la entropı́a en agujeros
negros, luego se revisan algunas propuestas para la cota
que tiene como base el principio holográfico y finalmemte
se ven algunas formulaciones de teorı́as holográficas.
II. Entropı́a de un agujero negro
A. Agujeros Negros
Primero que nada debemos definir qué es un agujero
negro. Existen varios estados finales de la vida de una
Estrella, entre los cuales, si ésta posee una masa superior
a 8 masas solares, sufre un colapso gravitatorio, en el cual
la curvatura del espacio se hace infinita. Por otra parte,
la velocidad de escape, dentro de un cierto radio es mayor
que la de la luz, c, debido al intenso campo gravitatorio.
El radio para el cual la velocidad de escape es igual a la
velocidad de la luz, se denomina radio del horizonte de
eventos,es decir, todo lo que entra no sale. La geometrı́a
que describe un agujero negro de masa M viene dada por
la métrica de Schwarschild:
ds2 = − 1 −
2GM
c2 r
dt2 + 1 −
2GM
c2 r
−1
Además, si 2 agujeros negros chocan y se mezclan, el área
del horizonte de eventos resultante, debe ser mayor o igual
a la suma de los horizontes iniciales.
AT otal ≥ A1 + A2
Esto nos hace recordar la entropı́a estudiada en termodinámica, la cual según la segunda ley no puede decrecer
y también si 2 sistemas se mezclan la entropı́a resultante es
igual a las suma de las 2 entropı́as. Esto es el punto de partida para desarrollar una teorı́a termodinámica de agujeros
negros. La entropı́a para un agujero negro de Schwarschild,
cuyo radio del horizonte de eventos [7] viene dado por:
R=
2GM
c2
(4)
donde M es la masa del agujero, G es la constante de
gravitación universal, viene dado según Bekenstein [2] por:
San = ηkA/L2pw
(5)
donde A = 4πR2 es el área del horizonte de eventos del
agujero negro con simetrı́a esférica, k la constante de Boltzmann, h̄ la constante de Planck y Lpw = (h̄G/c3 )1/2 corresponde a la longitud de Planck-Wheeler, la que refleja
la profunda conección entre gravitación, termodinámica y
mecánica cuántica. El término de proporcionalidad η tiene
un valor igual a 1/4. Con esto, Hawking [5] nos da la siguiente expresión para la entropı́a de un agujero negro,
San =
kc3
A
4h̄G
(6)
Por lo que para un agujero negro tipo Schwarschild, la
entropı́a viene dada por
S=
4πkG 2
M
h̄c
(7)
Utilizando el sistema de unidades naturales h̄ = G = c =
k = 1, la ecuación (6) queda
dr2 + r2 dΩ2
(1)
Los agujeros descritos con esa métrica estática poseen
simetrı́a esférica y carecen de carga eléctrica y de momentum angular.
(3)
San =
A
4
(8)
la cual muestra la relación que existe entre el horizonte de
eventos y la entropı́a de una agujero negro.
C. Segunda Ley Generalizada
B. Área y Entropı́a
Según el teorema de Hawking [4], el área del horizonte
de eventos de un agujero negro no puede decrecer en el
tiempo mediante procesos clásicos,
dA ≥ 0
(2)
Existe un teorema, el cual dice que los agujeros negros
no tienen pelo, o más precisamente, que las únicas cantidades que quedan después de la formación de una agujero
negro son su masa, su carga elécrica y su momentum angular. Éste teorema parece violar la segunda ley de la termodinámica, ya que, cualquier sistema que se convirtiera
2
en una agujero negro, o que cayera en uno, supondrı́a una
pérdida de su entropı́a (la cual puede ser muy grande) y
conllevar un decrecimiento de ésta en el universo, violando
la segunda ley, que establece que la entropı́a del universo
no puede disminuir.
Bekenstein [1], pensó que si querı́amos que la segunda
ley de la termodinámica continuase teniendo validez, deberı́amos incluir en la cantidad de entropı́a total del universo, la entropı́a de todos los agujeros negros. Si un sistema cae en un agujero negro, la entropı́a del universo decrece, pero la del agujero negro se incrementa, ya que, hubo
un incremento en su masa 1 , lo que hace que aumente su
horizonte de eventos y por ende, su entropı́a. Por lo tanto,
la entropı́a total del universo viene dada por:
inicial
Stotal
= Smateria + San
(9)
Aquı́ tenemos que Smateria es la entropı́a de toda la materia
del universo y San la de todos los agujeros negros. Después
de cierto tiempo, algunos objetos colapsaron formando
agujeros negros y otros fueron absorvidos por. También
consideramos radiación de los agujeros hacia el universo,
en un proceso cuántico denominado radiación de Hawking
2
. Luego de alcanzarse el equilibrio, la segunda ley generalizada establece que
f inal
inicial
Stotal
≥Stotal
(10)
III. Una idea de holografı́a
La holografı́a consiste en codificar la información de una
región del espacio en otra de una dimensión menor. Según
la idea de la relatividad general, existen 3+1 dimensiones,
3 espaciales y una temporal que constituten el espaciotiempo. De acuerdo a la holografı́a podemos guardar la
información de una manzana tridimensional 3 en una superficie bidimensional. Esto se logra mediante interferencia
de figuras [5]. Los hologramas son producidos cuando la
luz procedente de un láser es bifurcado en 2 rayos separados. Uno de ellos se hace rebotar en el objeto (nuestro
ejemplo una manzana) y luego es recibido en una placa
fotosensible. El otro rayo atraviesa un lente, el cual se
encuentra con la luz reflejada en la manzana. Esto produce en la placa una figura de interferencia. Luego, si la
placa revelada es iluminada con un láser produce una imagen completamente tridimensional, la cual al ser rotada
muestra las caras que usualmente permanecen ocultas en
las imagenes bidimensionales. Además la placa tiene la
propiedad que cualquier pedazo pequeño de la superficie
de ella, posee toda la información para reconstruir la imagen completa del objeto, en nuestro ejemplo la manzana.
1
Asumimos que los objetos del universo tienen masa positiva
Ésta es una de las mayores repercusiones de la teorı́a termodinámica de los agujeros negros, el hecho de que debı́an tener una
temperatura distinta de cero y por lo tanto irradiar. Recientemente
se ha discutido la naturaleza de la radiación, la que se suponı́a que
era netamente termal, Hawking en su última charla deduce que no
deberı́a ser totalmente termal sino que además contener información
de lo que ha caı́do agujero. Por lo tanto, los agujeros negros nos son
tan negros
3 En este caso sólo consideramos las dimensiones fı́sicas
2
Tal vez la pregunta en este momento serı́a, cuál es la
relación entre holografı́a y entropı́a?. Bueno esto será respondido en las siguientes secciones, pero podemos adelantar que la propiedad de la entropı́a de los agujeros negros,
que es proporcional al área del horizonte de eventos, nos
puede sugerir que la entropı́a de un sistema cualquiera en
el universo también puede ser proporcional al área de la
superficie que lo cirscunscribe, y es por eso, que podemos
hacer una analogı́a entre holografı́a y entropı́a.4
IV. Cotas de entropı́a
Gracias a las Segunda Ley Generalizada de la Termodinámica, tenemos un universo cuya entropı́a siempre
es creciente. Pero no existen garantı́as de que se cumplirá
siempre. El crecimiento del área del horizonte de eventos
depende esencialmente en la cantidad de materia que el
agujero negro recibe, parece no importarle la cantidad de
entropı́a de ésta. Pueden existir sistemas de masa reducida
que tengan entropı́as arbitrariamente grandes, por lo que
la segunda ley generalizada seguirı́a siendo violada. Bekenstein [4], ha argumentado que la segunda ley generalizada
implica la cota
Smateria ≤2πER
(11)
donde E es la energı́a del sistema tratado y R es el radio de la esfera más pequeña que encaja alrededor del
sistema. Se asume, no obstante, que el sistema tiene
gravedad suficientemente débil para decir que el espacio
es casi Euclideano. Esto es lo que podemos denominar
como cota holográfica: La entropı́a de un sistema está acotada por arriba por un cuarto del área de la superficie
circunscrita medida en unidades de la longitud de Planck
al cuadrado, lp 2 ≡Gh̄/c3 [3]. Sin embargo, esta cota funciona en casos en que la gravedad es débil. Para sistemas
con un campo gravitacional fuerte es complicado aplicar la
cota por la dificultad de definir el radio del sistema en una
geometrı́a altamente curvada5 . De todas maneras, para
sistemas simétricamente esféricos, podemos definir R en
términos del área de la superficie. Por lo que para un agujero tipo Schwarzschild tenemos que R = E, y su entropı́a
S = A/4 satura exactamente la cota de Bekenstein.
Se puede obtener otra cota de entropı́a haciendo un análisis
del proceso de Susskind, en el cual un sistema se convierte
en un agujero negro. Susskind ha argumentado que la segunda ley generalizada aplicada a este proceso, nos lleva a
la cota esférica
A
(12)
Smateria ≤
4
Donde A es un área conveniente encerrando al sistema.
Definimos A como la menor esfera que encaja alrededor
del sistema. Hay que sealar que A está bien definido para
métricas cerca del sistema que sean, al menos aproximadamente, simétricamente esféricas, el cual es el caso para todos los sistema esféricamente simétricos y para todos los
sistemas con gravedad débil, pero no es ası́ para sistemas
4 De todas las definiciones de entropı́a, adoptamos en nuestro caso
aquella que dice tener una estrecha relcación con la información y los
grados de libertad del sistema
5 Se tiene que E∼R y R∼2M [3]
SHORT NAMES: AGUJEROS NEGROS, ENTROPÍA Y HOLOGRAFÍA
de fuerte gravitación que carecen de tal simetrı́a. Se puede
esperar que el sistema, el cual posee una masa M pueda
ser convertido en un agujero de área A, colapsando una
”vaina” de masa M − E hacia el sistema. Hacemos que la
vaina esté explı́citamente separada del sistema y que posee
entropı́a. Por lo tanto el sistema tiene una entropı́a inicial
de
inicial
Stotal
= Smateria + Svaina
(13)
El estado final corresponde a un agujero negro, por lo que
la entropı́a final
f inal
Stotal
= San =
A
4
(14)
Por la segunda ley generalizada la entropı́a inicial no puede
ser mayor que la final y como Svaina es evidentemente no
negativa, se cumple la ley.
Relacionando con la cota anterior, uno debe especı́ficar
primero que el sistema sea estable gravitacionalmente,
esto es, que 2M ≤R en cuatro dimensiones. Por lo tanto
podemos escribir
S≤2πM R≤πR2 =
A
4
S[L(B)]≤
A(B)
4
Como la entropı́a no es más que una medida de la información total contenida en un sistema, ello sugiere que la
información asociada con todos los fenómenos en el mundo
tridimensional puede ser almacenada en su frontera bidimensional, como se hace con una imagen holográfica.” [5]
La anterior es una definición un poco simplista, pero nos
ilustra de buena manera cuál es la idea central para establecer un principio hologáfico. Bekenstein [3] establece que
para la validez del principio holográfico, se debe cumplir la
condición impuesta por la cota holográfica. Éste principio
es visto como una guı́a hacia la teorı́a fı́sica primordial, ya
que integra elementos de gravitación y teorı́a cuántica.
Otra formulación del princio holográfico es la de Bousso [4]:
La cota de entropı́a covariante es una ley de la fı́sica que
debe ser manifestada en una teorı́a fundamental. Ésta
teorı́a debe ser una teorı́a cuántica unificada de la materia
y el espacio-tiempo. De ésta, las geometrı́as Lorentzianas y
su contenido de materia deben emerger en una vı́a tal que el
número de estados cuánticos independientes que describen
las hojas de luz de cualquier superficie B es manifiestamente acotado por la exponencial del área de la superficie
N [L(B)]≤eA(B)/4
(15)
Esto muestra que la cota esférica es más débil que la de
Bekenstein, de todas maneras está más cerca del principio
holográfico y es una manera de aplicar la segunda ley generalizada para encontrar la cota holográfica.
Sin embargo las cotas presentadas tienen problemas
cuando tratamos con geometrı́as no Euclideanas o semiclásicas. Además, éstas mismas presentan cambios significativos frente a cambios de coordenadas, por lo que
se propone una cota de entropı́a covariante, la cual no
está directamente basado en el espacio, si no en superficies
definidas por hojas de luz 6 . Estas corresponden a hipersuperficies nulas, las que se construyen siguiendo rayos de
luz que emana la superficie B, los que no se están expandiendo. La cota de entropı́a covariante establece que la
entropı́a en cualquier hoja de luz de una superficie B no
exederá el área de B [4]
(16)
A partir de ésta cota, se pueden hacer formulaciones para
el principio holográfico y es conjeturado que debe ser válida
para todos los sistemas fı́sicos realistas.
V. Una formulación del Principio Holográfico
”Haber advertido que el área de la superfice del horizonte
de eventos que rodea un agujero negro es una medida de
la entropı́a de éste, nos hace pensar que la entropı́a de
cualquier región cerrada del espacio no puede sobrepasar
un cuarto del área de la superficie que lo circunscribe.
6 Estas hojas de luz son usadas para la construcción de superficies
acústicas y pantallas holográficas. Por el momento definiciones más
concisas no están disponibles ya que aún no existe un concenso en
la comunidad cientı́fica, pero parecen funcionar adecuadamente para
definir superficies en cualquier geometrı́a del espacio-tiempo
3
(17)
Existe otra formulación dada por Bousso [4], que evita
el inconveniente de que no es obvio que una teorı́a unificada tenga que contener como ingrediente primordial la
mecánica cuántica: N , el número de grados de libertad (o
el número de bits veces ln2) involucradas en la descripción
de L(B) 7 , no debe exceder A(B)/4.
VI. Conclusiones
En una primera instancia, de acuerdo con la segunda
ley generalizada, la entropı́a de los agujeros negros debe
tomarse como un real aporte a la entropı́a de todo el universo. Sin embargo, aún subsiste el problema de la pérdida
de la información de los sistemas que caen o se transforman
en un agujero negro. Es muy probable que ésta vuelva al
universo a través de la radiación de Hawking [6], pero de
un forma destrozada o desmenuzada. De todas maneras,
si es ası́, la segunda ley generalizada se mantiene válida
y por lo tanto, el desarrollo de una completa teorı́a termodinámica de agujeros negros es exitosa.
Según se puede apreciar, existen evidencias de que la entropı́a del universo puede presentar una cota, lo que nos
induce a pensar que tal vez exista un máximo. No obstante,
estas cotas estan definidas ya sea por el espacio-tiempo o
hojas de luz, por lo que este máximo de entropı́a serı́a
infinito. Más que nada, las cotas limitan la cantidad de
entropı́a (o bien información que puede ser almacenada)
en una determinada región de espacio. Si resulta cierto,
esto puede tener implicaciones en la vida cotidiana, ya que
limitarı́a la cantidad de información que puede ser almacenada en un espacio fı́sico, sea cual sea nuestra tecnologı́a.
La idea de un universo que cumpla con el principio
holográfico, harı́a limitar drásticamente el número de grados de libertad que usamos para describir la naturaleza.
7
L(B) corresponde a la hoja de luz de la superficie B
4
En cierto sentido, el universo es bidimensional y nosotros
al ”sentirnos” tridimensionales, nos puede revelar que es
sólo un hecho de percepción innata de la realidad.
References
[1] Bekenstein, J.D., 1972, Black Holes and Entropy, Physical Review D
[2] Bekenstein, J.D., 1980, Black-Hole Thermodynamics, Physics Today
[3] Bekenstein, J.D., 2000, Holographic Bound for Second Law of
Thermodynamics, hep-th/0003058
[4] Bousso, R., 2002, The Holographic Principle, hep-th/0203101
[5] Hawking, S.W., 2002, El Universo en una Cáscara de Nuez
[6] Hawking, S.W., 2004, Talk at the 17th Internatioanl Conference
on General Relativity and Gravitation, Dublin
[7] LoPresto, M.C., 2003, Some Simple Black Hole Thermodynamics, The physics teacher, Vol. 41