2 INcertidumbre en geotecnia

XXVI Reunión Nacional de Mecánica de Suelos
e Ingeniería Geotécnica
Sociedad Mexicana de
Ingeniería Geotécnica, A.C.
Noviembre 14 a 16, 2012 – Cancún, Quintana Roo
EVALUACIÓN DE INCERTIDUMBRE EN ANÁLISIS DE ESFUERZOS Y
DEFORMACIONES CON EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO ESTOCÁSTICO ESPECTRAL EN GEOTECNIA
Evaluation of uncertainty in analysis of stress and strain by spectral stochastic element finite
method in geotechnical engineering
Alma Rosa PINEDA CONTRERAS1, Gabriel AUVINET GUICHARD2
1Becaria,
Instituto de Ingeniería, UNAM
Instituto de Ingeniería, UNAM
2Investigador,
RESUMEN: Por naturaleza los suelos son altamente variables en sus propiedades, situación que provoca que los
resultados de los análisis con elementos finitos se consideren poco precisos. El Método del Elemento Finito Estocástico
Espectral (MEFEE) permite analizar la influencia de la variabilidad espacial del módulo de elasticidad en el campo de
desplazamientos calculados. Con base en los conceptos matemáticos de esta técnica numérica, en este trabajo se
deducen expresiones matemáticas para evaluar directamente, con un análisis de segundos momentos, la incertidumbre
en el campo de deformaciones y esfuerzos. En particular, en el planteamiento de los esfuerzos aleatorios se utiliza la
expansión en caos polinomial para facilitar el manejo matemático de los campos aleatorios (módulo de elasticidad y
deformaciones). Para ilustrar las implicaciones de las expresiones matemáticas aquí desarrolladas, se analiza una placa
simplemente apoyada y se estudia el efecto de la distancia de correlación en el comportamiento aleatorio del material.
Finalmente, se presentan conclusiones.
ABSTRACT: Soils properties are naturally highly variable; this situation leads to uncertain results in finite element
analyses. The Spectral Stochastic Finite Element Method (SSFEM) allows analyzing the influence of spatial variability of
parameters such as the Young’s modulus on the calculated displacements field. Based on mathematical concepts of this
numerical technical, in this paper mathematical expressions to evaluate, directly by second moment analysis, the
uncertainty on strain and stress field are derived. In particular, in the approach of random stress the polynomial chaos
expansion is used in order to facilitate the mathematical handling of the random fields (Young’s modulus, strain). To
illustrate the implications of the mathematical expressions here developed, a simply supported plate is analyzed and the
effect of the correlation length on the random behavior of material is studied. Finally, some conclusions are presented.
1 INTRODUCCIÓN
El propósito de los análisis con el método del
elemento finito es predecir el comportamiento de las
estructuras geotécnicas; sin embargo, factores como
la variabilidad espacial del suelo (condiciones de
depósito) y los relacionados con la determinación de
los parámetros aportan un grado de incertidumbre
importante que afecta tal predicción. Estudiar cómo
la incertidumbre en los parámetros del suelo se
propaga en los resultados de los análisis es una
tarea que se consigue con el Método del Elemento
Finito Estocástico (MEFE) que combina la teoría de
probabilidad con el Método del Elemento Finito
(MEF) (Cambou y Auvinet 1974; Vanmarcke, 1983).
En el MEFE la incertidumbre de los parámetros
del suelo se puede representar a través de variables
aleatorias cuando la información disponible respecto
al parámetro de interés es escasa; o de campos
aleatorios en donde se toma en cuenta la correlación
espacial de las propiedades del suelo. Entre las
técnicas numéricas para cuantificar incertidumbre se
encuentra el método de perturbaciones que utiliza
variables aleatorias y los métodos de simulación
(Monte Carlo) (Auvinet, 2002) que consideran
variables aleatorias o campos aleatorios.
La utilización del MEFE en los análisis
geotécnicos
ha
proporcionado
conclusiones
importantes respecto a cómo tomar en cuenta la
incertidumbre relacionada con los parámetros
mecánicos (Orlandi, 1996; Mellah, 1999; Auvinet et
al., 2000; Louault, 1997; Pérez-Duarte, 2000) y con
la conductividad hidráulica (López, 2010). Mejores
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
2
Evaluación de incertidumbre en análisis de esfuerzos y deformaciones con el Método del Elemento Finito
Estocástico Espectral en Geotecnia
resultados en los análisis de incertidumbre pueden
obtenerse si se tiene presente que en Geotecnia, el
principal factor que induce dispersión en los
parámetros del suelo es la variabilidad espacial. Un
método reciente que permite incorporar este tipo de
incertidumbre en los análisis con el MEF es el
enfoque espectral (Ghanem y Spanos, 1991) cuya
formulación se basa en el concepto de campo
aleatorio. El Método del Elemento Finito Estocástico
Espectral (MEFEE) se aplica a problemas de
elasticidad lineal (módulo de elasticidad E y relación
de Poisson ) y solamente considera la variabilidad
espacial de E. Su ventaja, es que la formulación se
realiza en un espacio de funciones ortogonales
(espacio de Hilbert) que permiten minimizar el error
en la aproximación numérica de los resultados
calculados (desplazamientos aleatorios). Hasta el
momento, el enfoque espectral se ha empleado poco
(Pineda y Auvinet, 2006; Pineda, 2007) en
Geotecnia, pero sus resultados han proporcionado
conclusiones
importantes
respecto
al
comportamiento aleatorio del material, aspecto útil
para prever el comportamiento geotécnico de las
estructuras.
En este trabajo se plantean los conceptos
probabilistas que permiten la representación de la
incertidumbre y se explican brevemente las
herramientas matemáticas del MEFEE. Además, se
presenta la deducción de expresiones matemáticas
para evaluar la incertidumbre en deformaciones y
esfuerzos provocada por la variabilidad espacial de
E. Para ilustrar las implicaciones de las expresiones
desarrolladas se analizó una placa simplemente
apoyada.
2 INCERTIDUMBRE EN GEOTECNIA
2.1 Fuentes de incertidumbre
Existen dos fuentes principales de incertidumbre que
dificultan la determinación de los parámetros
mecánicos (módulo de elasticidad). La primera
fuente se debe a la variabilidad espacial. Todas las
propiedades de los suelos (físicas, mecánicas e
hidráulicas) varían considerablemente de un punto a
otro en el espacio debido a la composición
mineralógica y a las condiciones de depósito del
suelo; en ocasiones las técnicas de compactación y
las condiciones ambientales introducen variaciones
adicionales (Auvinet, 2000). La segunda fuente de
incertidumbre es provocada por errores aleatorios y
sistemáticos. Los aleatorios se cometen durante la
realización de las pruebas de laboratorio; y los
sistemáticos son debidos a un sesgo en la medición
producido por el remoldeo de muestras o por otros
factores similares (Auvinet, 2002).
2.2 Representación de la incertidumbre
La teoría de la probabilidad es un camino racional
para representar la incertidumbre de los parámetros
de los materiales mediante los conceptos de
variables o campos aleatorios.
2.2.1 Variables aleatorias
Una variable aleatoria V se define como una
función que asocia el resultado de un experimento 
a los números reales. Su uso es adecuando cuando
se requiere modelar la incertidumbre asociada a
escasa información respecto al parámetro de interés
V, en donde la modelación se realiza por
subdominios que reúnen ciertas condiciones de
homogeneidad. Se caracteriza
por su valor
esperado E{V}=V y su
varianza Var[V]. La
representación de la variabilidad espacial por
variables aleatorias no toma en cuenta la posición
específica de las muestras ni la dependencia
existente entre ellas.
2.2.2 Campos aleatorios
El concepto de campo aleatorio V(X,) permite
representar adecuadamente la variabilidad espacial
de las propiedades del medio analizado. La
propiedad de interés en cada punto X del medio
analizado se considera como una variable aleatoria
(función del resultado del experimento,). Un campo
se define por medio de su valor esperado E{V(X,),
su varianza Var[V(X,)] y su función de
autocovarianza CV(X1,X2) que describe la correlación
espacial entre las distintas variables locales. Los
parámetros y funciones que definen un campo son:
-Valor esperado: V ( X , )  E {V ( X , )}
(1)
-Varianza:  V2 ( X , )  Var [V ( X , )]
(2)
-Desviación estándar: V ( X, )  V2 V ( X )
(3)
-Coeficiente de variación: CV  V / E {V ( X , )}
(4)
-Función de autocovarianza:


CV ( X1, X 2 )  E V ( X1 )  V ( X1 ) V ( X 2 )  V ( X 2 )
(5)
-Función de autocovarianza normalizada:
V ( X1, X 2 )  CV ( X1, X 2 ) / V ( X1 )V ( X 2 )
(6)
2.3 Definición de campos aleatorios
Los parámetros (valor esperado, varianza, etc.)
que definen el campo aleatorio de las propiedades
del material dependerán de la cantidad disponible de
mediciones de campo y muestreo. Los parámetros
se pueden conocer directamente a partir de tales
mediciones, el campo es de tipo condicional. Sin
embargo, en ocasiones los datos son muy limitados,
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
PINEDA A-R. et al.
entonces conviene definir un campo aleatorio a partir
de la experiencia obtenida en sitios con
características semejantes. Mediante un análisis
Bayesiano que tome en cuenta la información a priori
es posible obtener los parámetros del campo (Spry
et al., 1988). Un análisis más completo que tome en
cuenta también la incertidumbre asociada a la falta
de datos se puede lograr usando un enfoque
Bayesiano y las herramientas del enfoque espectral
(Mehrez et al., 2012; Ghanem et al., 2008).
3 MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO
ESTOCÁSTICO ESPECTRAL
En Geotecnia, por la naturaleza de los suelos, la
variabilidad espacial es una fuente de incertidumbre
que tiene mayor significancia en los resultados de los
análisis con el MEF. Una herramienta numérica que
permite modelar adecuadamente este tipo de
incertidumbre es el Método del Elemento Finito
Estocástico Espectral (MEFEE) (Ghanem y Spanos,
1991). En este método, el carácter aleatorio de los
desplazamientos se toma en cuenta en forma
intrínseca, desde la ecuación de equilibrio. Consiste
en representar la variabilidad espacial del módulo de
elasticidad E por medio de un conjunto de variables
aleatorias Gaussianas contenidas en una expansión
en serie llamada de Karhunen-Loève (Papoulis,
1965). La propagación de la incertidumbre en el
campo aleatorio de la respuesta se estudia mediante
una expansión en caos polinomial, cuyo fin es
representar los desplazamientos de forma aleatoria
utilizando el mismo conjunto de variables aleatorias
Gaussianas que representan la incertidumbre de E.
En esta sección se exponen, de forma resumida,
los conceptos básicos del MEFEE, así como la
formulación de su ecuación de equilibrio estocástica.
3.1 Representación de la variabilidad espacial
Matemáticamente el MEFEE está formulado en un
espacio de funciones de Hilbert cuya propiedad
principal es la ortogonalidad. En el enfoque
espectral, la modelación de la variabilidad del
módulo de elasticidad se realiza con la expansión en
serie de Karhunen-Loève. Esta expansión se basa
principalmente en la descomposición ortogonal de la
función de autocovarianza para conocer los valores y
funciones característicos que permiten representar el
campo aleatorio V(X,), en términos de coeficientes
deterministas ortogonales. La realización del campo
aleatorio se expresa por medio de un conjunto finito
M de variables aleatorias y se escribe como:
M
V ( X, )  E {V ( X, )}   i i ( X )i ( )
(7)
3
aleatorias Gaussianas con media cero y varianza
unitaria; i y i son los valores y funciones
característicos que se obtienen al solucionar la
ecuación integral de Fredholm homogénea de
segundo género con la siguiente forma:
 C ( X , X ) ( X )d

V
1
2
i
2
X2
 
i i ( X1 )
(8)
donde:  es el dominio espacial del campo aleatorio;
CV(X1,X2) es la función de autocovarianza, que es
real, simétrica y positiva; X1 y X2 son las
coordenadas espaciales. Ghanem y Spanos (1991)
propusieron soluciones analíticas y numéricas de la
ecuación 8.
3.2 Representación de los desplazamientos
En el MEFEE se considera que cada desplazamiento
nodal es una variable aleatoria. El conjunto de los
desplazamientos aleatorios define un campo
aleatorio, función de la variabilidad de E, con
características desconocidas (valor esperado,
desviación estándar, función de covarianza). La
expansión en caos polinomial (Wiener, 1938) se
utiliza para representar los desplazamientos
aleatorios desconocidos en términos de variables
aleatorias (i(): variables Gaussianas) conocidas a
través de funcionales no lineales (({i()}), para i
=1…M). Se puede decir que el concepto de caos
polinomial es una generalización de las series de
Taylor a funcionales no lineales (Cameron y Martín,
1947) y se define como el producto de polinomios de
Hermite unidimensionales de variables Gaussianas,
(Ghanem y Spanos, 1991, Matthies y Keese, 2005)
de la siguiente manera:
M
   H (i ),
i 1
i
i  0
(9)
donde:  es una secuencia de M enteros no
negativos {1, …, M} y Hi es el polinomio de
Hermite, de orden p, asociado a .
El caos polinomial [{i()}] corresponde a los
polinomios multidimensionales ; la secuencia M
corresponde al número de variables aleatorias (i())
que provienen de la expansión de Karhunen-Loève.
La expansión de cada desplazamiento nodal
aleatorio en caos polinomial se expresa como:
P 1
u( )   uj  j [{i ( )}]; i  1...M
(10)
j 0
donde: uj son las coordenadas de los
desplazamientos u() y P es el número de
coeficientes necesarios para representar la
variabilidad de u(). Por simplicidad, se asume que
j[{i()}] = j().
i 1
donde: E{V(X,)} es la esperanza matemática del
campo aleatorio; i() es un conjunto de variables
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Evaluación de incertidumbre en análisis de esfuerzos y deformaciones con el Método del Elemento Finito
Estocástico Espectral en Geotecnia
4
3.3 Formulación estocástica de la ecuación de
equilibrio del MEF
La forma general de la ecuación de equilibrio del
método del elemento finito determinista se escribe
con el siguiente sistema de ecuaciones:
K U  F
(11)
siendo F un vector de fuerzas nodales y
volumétricas, U es un vector de desplazamientos
nodales y K es la matriz de rigidez que contiene las
propiedades del material.
Como la variabilidad se encuentra contenida en K,
la forma estocástica de esta matriz es:
K ( )   B D( X, )Bd 
T
(12)

donde:  es dominio de estudio, B es la matriz de
forma
que
relaciona
deformaciones
y
desplazamientos y D(X,) representa el campo
aleatorio del módulo de elasticidad.
De acuerdo con Ghanem y Spanos (1991) la
formulación de la ecuación de equilibrio se obtiene al
representar D(X,) con la expansión de KarhunenLoève (7) y U con la expansión en caos polinomial
(10), teniendo:
M


  P 1
 K   Ki i ( )   Uj  j ( )   F

  j 0
i 1

(13)
siendo K la matriz de rigidez que contiene el valor
esperado del módulo de elasticidad y Ki es igual a:
Ki ( ) 
i  i ( X )B D0Bd 
T
(14)

D0 es una matriz de elasticidad unitaria.
El punto principal en la formulación del MEFEE es
minimizar el error M,P resultante del truncamiento de
las series. Mediante el método de Galerkin
(Zienkiewicz y Taylor, 1995) es posible hacer cero el
error al proyectarlo ortogonalmente en el espacio del
caos polinomial k(). Así la ecuación (13) se puede
escribir como:
La ecuación 16 representa la ecuación de
equilibrio estocástica global que establece un
sistema de ecuaciones lineales de dimensiones NxP
x NxP, donde N es el número físico de grados de
libertad en el modelo de elemento finito y P es el
número de coeficientes que se utilizan en la
expansión en caos polinomial. Para conocer los
desplazamientos aleatorios es necesario calcular los
coeficientes cijk que denotan la esperanza
matemática del producto de dos polinomios y una
variable aleatoria (Sudret y Der Kiureghian, 2000;
Dumitriu et al., 2007) representada por E{ijk}.
4 CÁLCULO DE MOMENTOS ESTADÍSTICOS
La solución de la ecuación de equilibrio estocástica
del
MEFEE
proporciona
un
conjunto
de
desplazamientos nodales aleatorios que por si solos
no reflejan la incertidumbre en los desplazamientos.
Sudret y Der Kiureghian (2000) propusieron un
análisis de segundos momentos (Cornell, 1971) para
conocer las características del campo de respuesta.
Como se explicó en el inciso 3.2 cualquier
cantidad de respuesta (desplazamientos, esfuerzos y
deformaciones) se puede representar por la
expansión en caos polinomial como:
P 1
R   Rj  j
(18)
j 0
De acuerdo con el análisis de segundos momentos,
el valor esperado de la respuesta R corresponde al
primer momento, que es el primer término de la
expansión (18). Se tiene que:
E {R }  R0
(19)
La varianza de la respuesta se calcula con el
segundo momento, expresada como:
P 1
R2   E {2 }Rj RTj
(20)
j 1
M P 1
E {M ,P , k }   Ki U j E {i  j k }  E {F k }
0
(15)
i 1 j  0
E{} representa el operador de la esperanza
matemática, Fk=E{Fk} es cero para k>0.
En la minimización del error se recurre a la
propiedad del producto interno porque es un camino
algebraico para sintetizar la ecuación (13) de la
siguiente forma:
P 1
K
jk
U j  Fk
(16)
j 0
con:
5 EVALUACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE EN
DEFORMACIONES Y ESFUERZOS
En esta sección se deducen expresiones
matemáticas para calcular la incertidumbre en
deformaciones y esfuerzos. Las expresiones se
derivan considerando la variabilidad de los
desplazamientos, y en los esfuerzos se considera
también la del módulo de elasticidad. En particular, el
algebra de la deducción de esfuerzos aleatorios se
apoya en la propiedad del producto de polinomios
(caos polinomiales).
M
Kjk

c
ijk
Ki
(17)
i 0
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
PINEDA A-R. et al.
5.1 Evaluación de incertidumbre en deformaciones
En el elemento finito las deformaciones se calculan
en cada elemento de la malla; para un punto X se
escriben:
 ( X )  B( X )Ue
(21)
donde: Ue es el vector de desplazamientos aleatorios
del elemento e, expandido en caos polinomial es:
P 1
Ue   Ue, j  j
(22)
j 0
Considerando (22), las deformaciones aleatorias
se escriben como:
P 1
i ( )  Gik k
donde: Gik son coeficientes a evaluar por medio de
métodos numéricos (Berveiller, 2005). Cuando las
variables que representan el campo aleatorio son
Gaussianas los coeficientes se calculan simplemente
como: Gi0= , Gi1=, Gik=0 para k2.
Al sustituir 29 en 28, los esfuerzos aleatorios se
escriben como:

M

i 1
(24)
La expresión (23) cumple con la forma general de
representación de cantidades aleatorias, señalada
en el inciso 4, siendo posible escribir el valor
esperado y la varianza de las deformaciones como:
P 1
Var ( )   E {2j } 2j
E { }  0
Para cada elemento de la malla, el vector de
esfuerzos se expresa, para un punto X, como:
 ( X )  D ( X )
(26)
En la expresión anterior la matriz de elasticidad D
contiene la variabilidad del módulo de elasticidad y
su representación estocástica se realiza recurriendo
a la expansión de Karhunen-Loève, teniendo:
M


D( )   E {E }   i i ( X )i ( )  D0
i 1


(27)
Considerando el campo aleatorio D() y las
deformaciones aleatorias (23), el vector de esfuerzos
estocásticos es:


 ( X, )   E {E }   i i ( X )i ( )  D0B( X )Ue, j j


i 1
J o
M
(28)
Para facilitar el manejo algebraico de esta
expresión se recurre a un artificio matemático que
permite caracterizar los esfuerzos aleatorios en
términos del caos polinomial. Wiener (1938)
establece que cualquier variable aleatoria con
varianza finita se puede expandir en polinomios
multidimensionales (productos de polinomios de
Hermite) de variables Gaussianas. Así i() se
representa como:
(30)
P 1
k j   dlkj l
(31)
l 0
Los coeficientes dlkj se calculan de la siguiente forma
(Rosic, 2008):
E {l k  j }
(32)
E {2l }
Finalmente, el producto de polinomios permite
simplificar de forma adecuada los desplazamientos
aleatorios y expresarlos de la forma señalada en la
sección 4.
P 1
P 1
l 0
l o
 ( X, )    E {E }D0 ( )j  l* l  l l
(33)
con:
M P 1 P 1
 l*   i i ( X )Gik dlkj
(34)
i 1 k  0 j  0
De acuerdo con el análisis de segundos
momentos (sección 4), el valor esperado y la
varianza de los esfuerzos se expresan como:
E { }  0
P 1

Si se considera que el producto de dos polinomios
sigue siendo un polinomio (Malliavin, 1997), se tiene
que:
dlkj 
5.2 Evaluación de incertidumbre en esfuerzos
k 0


 D0 B( X )Ue, j  j 
j o


(25)
j 1

P 1
(23)
 j ( X )  B( X )Ue, j
P 1
 ( X , )   E {E }   i i ( X )Gik k   ...
j 0
con
(29)
k 0
P 1
 ( X , )    j ( X ) j
5
P 1
Var ( )   E { 2j } 2j
(35)
j 1
6 EJEMPLO DE APLICACIÓN
Las expresiones para calcular incertidumbre en
esfuerzos y deformaciones se implementaron en una
subrutina del programa FERUM (Finite Element
Reliability Using Matlab) llamada FERUMssfem
(Sudret y Der Kiureghian, 2000). Este programa
permite estudiar la influencia de la incertidumbre del
módulo de elasticidad en los desplazamientos
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
6
Evaluación de incertidumbre en análisis de esfuerzos y deformaciones con el Método del Elemento Finito
Estocástico Espectral en Geotecnia
mediante
el
MEFEE,
considerando
un
comportamiento constitutivo elástico lineal El
programa realiza análisis en dos dimensiones.
6.1 Descripción del problema
Para ilustrar la funcionalidad de las expresiones
desarrollas en este artículo, se analizó una placa
metálica simplemente apoyada colocada de canto
(Auvinet et al. 2000). El espesor de la placa es de
4mm y está sujeta a una carga de 120 kN. Las
dimensiones del elemento se muestran en la Figura
1. En el análisis se asume un estado de esfuerzos
planos. La placa está constituida por un material
aleatorio cuyo módulo de elasticidad (E) se
considera como un campo aleatorio Gaussiano con
las
siguientes
características
supuestas:
E{E}=21x104 MPa; CV{E}=0.1. La función de
autocovarianza normalizada es de tipo exponencial:

E ( X1, X2 )  e
2 X1  X2
(34)
L
donde: L es la “distancia de correlación”, y se define
como la distancia a partir de la cual la correlación se
considera despreciable.
En el estudio de la propagación de la
incertidumbre de E en el campo de esfuerzos y
deformaciones, la distancia de correlación se
consideró como un parámetro de análisis.
La relación de Poisson  se asumió determinista.
Figura 1. Placa simplemente apoyada.
(incertidumbre) de los esfuerzos y deformaciones es
nula en todo el cuerpo de la placa, debido a un
efecto de compensación estadística que elimina la
desviación
estándar
(Auvinet,
2002).
Una
característica del enfoque espectral es que permite
modelar este comportamiento, conocido como
campo aleatorio de tipo “ruido blanco” en donde el
material se comporta como homogéneo no aleatorio.
Para la distancia de correlación intermedia
(L=0.015 m) la Figura 3 muestra que en los puntos
donde la esperanza de los esfuerzos y de las
deformaciones es mayor, la desviación estándar
también es mayor. Este mismo efecto se presenta
de forma incrementada cuando la distancia de
correlación es igual a infinito (Figura 4), distancia
para la cual la incertidumbre ya es máxima y está
condicionada por la impuesta en el módulo de
elasticidad. En este momento el material tiene un
comportamiento homogéneo aleatorio. En particular,
la incertidumbre máxima en el cuerpo de la placa se
localiza bajo la carga. El comportamiento general del
material se resume con la gráfica de la Figura 5 que
presenta la influencia de la distancia de correlación
en los esfuerzos horizontales, para el elemento A
localizado en la parte superior de la placa. Cuando la
distancia de correlación es pequeña, la incertidumbre
en los esfuerzos es nula (efecto de compensación
estadística), conforme la distancia de correlación
crece la incertidumbre en los esfuerzos sigue
incrementándose y alcanza su mayor valor cuando la
distancia de correlación es aproximadamente cien
veces la longitud de la placa, a partir de esta
distancia, la incertidumbre se mantiene constante y
el material tiene un comportamiento estrictamente
homogéneo pero aleatorio. La máxima incertidumbre
alcanzada en los esfuerzos depende de la impuesta
en el módulo de elasticidad. La situación es similar
para los esfuerzos cortantes y las deformaciones
(horizontales y por cortante). Los resultados aquí
presentados son típicos y muestran el potencial que
puede tener el método en mecánica en general y en
particular en geomecánica donde las incertidumbres
son particularmente grandes.
6.2 Resultados
El efecto de la variabilidad del módulo de elasticidad
en las deformaciones y esfuerzos se evaluó con la
desviación estándar, para diferentes distancias de
correlación (cero, intermedia=0.015m e infinita). En
las gráficas de curvas de isovalores de las Figuras 2
a 4 se observa el valor esperado (que coincide con el
presentado en Auvinet et al. 2000) y la desviación
estándar de los esfuerzos (horizontales, verticales y
cortantes) y de las deformaciones (horizontales,
verticales y por cortante) en todo el cuerpo de la
placa.
Para la distancia de correlación igual a cero, se
observa (Figura 2) que la desviación estándar
7 CONCLUSIONES
Se presentaron los conceptos básicos de la
formulación del Método del Elemento Finito
Estocástico Espectral que permite analizar la
propagación de la incertidumbre del módulo de
elasticidad en el campo de desplazamientos. Con
base en estos conceptos, se realizó la deducción de
expresiones
matemáticas
para
evaluar
la
incertidumbre en el campo de deformaciones y de
esfuerzos. Con un ejemplo sencillo de análisis
estructural se mostró la funcionalidad de las
expresiones desarrolladas aquí. Se puso en
evidencia que la distancia de correlación es un
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
PINEDA A-R. et al.
parámetro determinante en el comportamiento del
material.
En los análisis geotécnicos, la implicación de los
resultados presentados es que para materiales
variables pero poco correlacionados (distancias de
correlaciones pequeñas) se tienen menores riesgos
de falla o excedencia de estados límites de servicio.
Por el contrario, los materiales bien correlacionados
(distancia de correlación grande) presentan
generalmente mayores riesgos. Por ejemplo, en una
zapata, la influencia de la variabilidad del módulo de
deformación del suelo en los asentamientos totales y
diferenciales se considera mínima para distancias de
correlación pequeñas. Por lo contrario, cuando la
distancia de correlación es muy grande respecto a la
dimensión horizontal del cimiento, la incertidumbre
es máxima en cuanto a asentamientos totales pero
Esperanza de los esfuerzos
0.10
0.07
0.07
0.03
0.03
0.00
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
pequeña en cuanto a asentamientos diferenciales.
Finalmente cuando la distancia de correlación es
intermedia es decir del mismo orden de magnitud
que la dimensión del cimiento, la incertidumbre sobre
asentamientos diferenciales es máxima. Los autores
realizan actualmente un estudio específico de esta
problemática.
El método presentado se puede considerar como
una técnica útil para evaluar los riesgos de falla en
todo tipo de estructuras.
Se espera que los resultados presentados
marquen la importancia de realizar análisis de
incertidumbre en el campo de la Geotecnia, y que a
la vez despierten el interés de los ingenieros
geotecnistas por incorporar estas técnicas en sus
quehaceres ingenieriles.
.
Desviación estándar
Distancia de correlación = cero
Esperanza de las deformaciones
0.10
0.25
0.30
0.00
0.00
7
0.10
0.07
0
0.03
0.05
Horizontales
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
Horizontales
0.00
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
Esfuerzos y deformaciones horizontales
0.10
0.10
0.10
0.07
0.07
0.07
0.03
0.03
0.03
0
0.00
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.00
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
Esfuerzos y deformaciones verticales
Verticales
Verticales
0.00
0.00
0.10
0.10
0.10
0.07
0.07
0.07
0.03
0.03
0.03
0
0.00
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
Cortantes
0.25
0.30
0.00
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
Por cortante
0.25
0.30
0.00
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
Esfuerzos y deformaciones cortantes
Figura 2. Esperanza y desviación estándar de los esfuerzos y deformaciones. Distancia de correlación: cero
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
Evaluación de incertidumbre en análisis de esfuerzos y deformaciones con el Método del Elemento Finito
Estocástico Espectral en Geotecnia
8
Desviación estándar.
Distancia de correlación = 0.015
Esperanza
Desviación estándar.
Distancia de correlación infinita
0.10
0.10
0.10
0.07
0.07
0.07
0.03
0.03
0.03
0.00
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.00
0.00
0.05
Esfuerzos horizontales
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.00
0.00
0.10
0.10
0.07
0.07
0.07
0.03
0.03
0.03
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.00
0.00
0.05
Esfuerzos verticales
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.00
0.00
0.10
0.07
0.07
0.07
0.03
0.03
0.03
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.00
0.00
0.05
Esfuerzos cortantes
0.10
0.15
0.20
0.15
0.20
0.25
0.30
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
Esfuerzos verticales
0.10
0.05
0.05
Esfuerzos verticales
0.10
0.00
0.00
0.10
Esfuerzos horizontales
0.10
0.00
0.00
0.05
Esfuerzos horizontales
0.25
0.30
0.00
0.00
0.05
Esfuerzos cortantes
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
Esfuerzos cortantes
Figura 3. Esperanza y desviación estándar de los esfuerzos. Distancia de correlación: 0.015 e infinita
Desviación estándar.
Distancia de correlación = 0.015
Esperanza
Desviación estándar.
Distancia de correlación = infinita
0.10
0.10
0.10
0.07
0.07
0.07
0.03
0.03
0.03
0.00
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.00
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.00
0.00
Deformaciones horizontales
Deformaciones horizontales
0.10
0.10
0.10
0.07
0.07
0.07
0.03
0.03
0.03
0.00
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.00
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.00
0.00
Deformaciones verticales
Deformaciones verticales
0
0.10
0.07
0
0.07
0.03
0
0.03
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
Deformaciones por cortante
0.30
0
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
Deformaciones verticales
0.10
0.00
0.00
0.05
Deformaciones horizontales
0.30
0.00
0.00
Deformaciones por cortante
0.05
0.10
0.15
0.20
Figura 4. Esperanza y desviación estándar de las deformaciones. Distancia de correlación: 0.015 e infinita
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
0.25
Deformaciones por cortante
0.30
PINEDA A-R. et al.
Desviación estándar de los
esferzos horizontales, MPa
70
60
120 kPa
Elemento A
50
Material estrictamente homogéneo
40
30
20
Material fuertemente heterogéneo
10
0
1.E-05
1.E-03
1.E-01
1.E+01
1.E+03
1.E+05
Distancia de correlación, m
Figura 5. Influencia de la distancia de correlación en la
incertidumbre de los esfuerzos horizontales
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