10.-Errores. Caso I. Incertidumbre en el trazado de los puntos.

10.-Errores.
En este capítulo se tratarán los errores en dos tipos de situaciones.
Caso I. Incertidumbre en el trazado de los puntos.
Después de haber realizado las medidas (o cálculos) de los datos, procederemos a
graficarlos, pero cuando medimos (o calculamos), el valor obtenido no es exacto, siempre
estará contenido dentro de un margen de incertidumbre equivalente a la apreciación del
instrumento de medida (o del error absoluto).
Por ejemplo, se mide el diámetro de una esfera utilizando una regla ordinaria tendríamos
algo como esto, diámetro = (2,3  0,1) cm eso quiere decir que el verdadero valor está
contenido en el intervalo (2,2 a 2,4) cm. Cuando trasladamos ese punto a un gráfico,
también debemos reflejar dicha incertidumbre en el gráfico.
Para ilustrar mejor lo que se quiere lograr, miremos el gráfico # 10.1.
Grafico # 10.1.
Tenemos una grafica de distancia vs tiempo. La distancia exhibe una incertidumbre de 
0,2 mts y el tiempo  0,5 seg.
Entonces, cuando tracemos un punto, debemos dibujar también su incertidumbre y
comprender que el valor de este punto puede estar ubicado en cualquier lado dentro del
intervalo. Por esa razón, debemos encerrar el punto dentro de un símbolo que represente
la incertidumbre de este, pudiéndose emplear círculo , equis o cuadrado si x = y; o
rectángulo, óvalo, cruz, etc, si x  y.
Hay casos donde la incertidumbre es tan pequeña que no es posible graficarse en el papel,
sin embargo es necesario dibujar el símbolo y citar que el símbolo no corresponde con la
incertidumbre, en este caso el símbolo indicará que se trata de un punto experimental
afectado por cierta incertidumbre, de manera que “siempre” se debe utilizar símbolos
para representar los puntos experimentales.
Caso II. Incertidumbre en el trazado de la recta.
Cuando se dispone a trazar la recta sobre los puntos que se han graficado, se debe tener
un buen criterio para esta finalidad.
En el capitulo #6 se había tratado el criterio para el trazado de la recta para el caso de
baja, media y alta dispersión, empleando el método grafico (regla y lápiz). El trazado de
la recta es de supremo interés ya que de él se deriva la pendiente y el corte que va a servir
para escribir la ecuación de la recta, no obstante este método es muy ambiguo y el error
puede ser significativo.
Existe la posibilidad de calcular la pendiente, corte y sus errores absolutos de manera
“optima”, que no dependa del observador si no de los datos, que sea univoca y confiable.
Dichos métodos de optimización están basados en el cálculo estadístico.
El método de los mínimos cuadrados es uno de los métodos más usados para determinar
la recta que mejor represente la tendencia de un conjunto de puntos experimentales.
Suponiendo que la dispersión de los puntos experimentales es debido a los errores
casuales de las mediciones, la mejor recta será aquella para la cual la suma de los
cuadrados de las distancias ( yi – yo ) sea un mínimo y por eso se le llama “método de los
mínimos cuadrados”.
Consideremos una relación lineal entre dos magnitudes físicas y y x de la forma:
y=mx+b
Donde x es la variable dependiente y y es la variable independiente, en nuestro caso la
magnitud controlada por el experimentador. Con la finalidad de simplificar este estudio
se asumirá que uno de los errores es mayor que el otro, por ejemplo yx.
Por lo tanto, la desviación de un valor cualquiera yi determinado experimentalmente con
respecto a su valor yo en la recta, será:
yi = yi – yo = yi – (b + m xi )
Ahora se puede enunciar el principio básico de este método, el cual dice que:
“La mejor recta que puede ser trazada entre esos puntos, es aquella para la cual la suma
de los cuadrados de las desviaciones yi de los datos experimentales, con respecto a la
línea que se va a determinar, es mínima”
yi)2 =  [yi – (b + m xi )]2
Ya que la condición exigida es la de minimizar la suma anterior, entonces los parámetros
m y b deben ajustarse para cumplir con esta condición. Ello se logra calculando las
derivadas parciales de la suma con respecto a m y con respecto a b, e igualándolas a cero.
2
   Δyi 
2nb  2Σyi + 2mΣxi = 0
b



   Δyi 
2
m

2mΣxi 2 + 2bΣxi + 2mΣ(xiyi)= 0
Donde n es el numero de pares de valores y y x.
Resolviendo el sistema de ecuaciones para m y b, se tiene:
Σxi 
Σyi


2
Σxiyi Σxi2 Σxi Σyi  ΣxiΣxiyi
b=
=
Σxi 
nxi 2  ( xi)2
n


Σxi Σxi2
n

Σxi
m=
n

Σxi
Σyi 

Σxiyi nxiyi  ΣxiΣyi
=
Σxi 
ni 2  (xi)2

Σxi2
Luego,
b=
Σxi2 Σyi  ΣxiΣxiyi
nxi 2  ( xi)2
nxiyi  ΣxiΣyi
nxi 2  ( xi)2
Ecuaciones con las cuales se pueden calcular los parámetros m y b determinando así la
ecuación de la mejor recta que se puede trazar entre los puntos experimentales.
Nótese que los términos xi2 y (xi)2 no son lo mismo. Idéntica observación se puede
hacer para los términos xiyi) y xiyi.
Para usar este método de los mínimos cuadrados se recomienda construir la siguiente
tabla, para asi ordenar la información y facilitar los cálculos.
m=
Yi ( )
Y1
…
…
Yn
yi.
Xi ( )
X1
…
…
Xn
xi
Xi2 ( )
X12
…
…
Xi2
xi2
XiYi ( )
X1Y1
…
…
XiYi
xiyi
Las cuatro sumas en la última línea, son los valores necesarios para calcular m y b. Los
valores de m y b que se obtengan por el método de los mínimos cuadrados, deberán ser
muy próximos a los obtenidos directamente utilizando el método grafico.
Actualmente cualquier calculadora científica de bolsillo posee software que permite los
cálculos necesarios para el ajuste de la recta.
Hay que hacer notar que el uso de este método no nos obliga a hacer el grafico de la
recta; pero, por razones pedagógicas, es conveniente hacerlo para así observar más
claramente las desviaciones de los puntos experimentales con respecto a la recta
calculada. Además el software no le dirá si es o no una recta, la representación grafica de
los puntos experimentales, solo le muestra si la correlaciona es buena o mala.
Una vez obtenido los valores de m y b, es necesario calcular sus errores correspondientes
m y b.
Para calcular estos valores, por el método de los mínimos cuadrados, se utilizan las
siguientes expresiones:

n
Δm = 
2
2
 n(xi)  ( xi)
1
2
 Sy


Σ(xi)2
Δb = 
2
2
 n(xi)  ( xi)
1
2
 Sy

Donde,
1
 Σ(yi  b  m xi)  2

Sy = 
n2


2
Para calcular Sy, se puede utilizar como ayuda la siguiente expresión:
Sy =
Σdi2
n2
Donde Sy representa la llamada “Desviación Estándar” de y respecto a la recta.
Finalmente se puede utilizar la siguiente tabla para ordenar los valores y calcular la
desviación estándar.
X()
Y()
d()
d2 ( )
X1
Y1
Y1-mX1-b (Y1-mX1-b)2
X2
Y2
Y2-mX2-b (Y2-mX1-b)2
…
…
…
…
Xn
Yn
Yn-mXn-b (Yn-mXn-b)2
di2
Aplicación del método de mínimos cuadrados.
Grafiquemos los siguientes puntos
X()
Y()
0,5
1
1
2
1,5
3
2
4
X()
Y()
0,5
1,2
1
1,8
1,5
3,2
2
3,8