Inversor de MC Murry

Inversor de Mc Murry...pág. 1
APUNTES PARA EL CURSO DE ELECTRÓNICA DE POTENCIA I.
R. Chaer 1994.
INVERSOR TIRISTORIZADO DE CONMUTACIÓN
FORZADA.
(INVERSOR DE MC MURRY)
Introducción.
En este apunte, se desarrolla el enfoque dado al tema en
el curso teórico. Este enfoque tiene por objetivo, dar las
herramientas que permitan que el estudiante "visualice" el
funcionamiento de una rama de un inversor a tiristores con
conmutación forzada. Para ello, se considera importante
introducir la herramienta de análisis que es el Plano de
Estados de un circuito LC. Como propósito adicional está la
introducción al estudiante a la utilización de una metodología
de análisis que es aplicable a otros varios convertidores de
electrónica de potencia.
Este material es complementario al del libro de texto
utilizado en el curso.
Observación de un sistema lineal de 2do orden el plano de estados.
Comenzaremos por la introducción de la herramienta del
plano de estado para un sistema genérico de dos variables de
estado para luego aplicarlo al análisis de la evolución de un
circuito LC.
En general, dado un circuito lineal con dos variables de
estados, sometidos a entradas constantes, la evolución del
vector de estado se podrá escribir en forma matricial como:
X  A  X  R
Donde X es el vector de estado, A es una matriz de 2x2
constante, R es un vector constante de dimensión 2x1 que representa al conjunto de entradas constantes.
Llamaremos plano de estados del sistema al plano del vector X. La primera componente del vector X estará en el eje de
las absisas y la segunda componente de X en las ordenadas, tal
como se esquematiza en la siguiente figura.
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(x2)
X
(x1)
La posición de equilibrio del sistema es aquella para la
cual la derivada del vector de estados se anula. De la ecuación de estados se deduce que:
X eq   A1  R
Para ser estrictos, la ecuación anterior es válida
solamente cuando la matriz A es invertible y el desarrollo es
aplicable, por lo tanto, solamente para dichos casos. En los
casos prácticos en que esta condición no se cumple, el sistema
tiene una solución trivial.
El que exista un punto de equilibrio del sistema por
supuesto que no implica que este sea estable.
Es interesante "observar" la evolución del vector de
estados (evolución del sistema en definitiva) desde el punto
de equilibrio del sistema. Introducimos entonces un cambio de
coordenadas Z  X  X eq que equivale a cambiar el centro de
coordenadas tal como se muestra en la siguiente figura.
(z1)
(x2)
X
Z
Xeq
(z2)
(x1)
La ecuación de estados en el nuevo sistema de coordenadas
es:
Z  A  Z
Suponiendo que los autovalores (o valores propios) del
sistema son un par de complejos conjugados1, se puede demostrar
El caso de autovalores reales es más sencillo y de menor
aplicación en electrónica de potencia dado que hay un cambio
1
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que haciendo un cambio de coordenadas es posible escribir la
matriz del sistema como:
 a  w
A  R  A  R 1  

w a 
Siendo R la matriz de cambio de base. Llamemos (Y) al
vector de estado en la nueva base. La ecuación de estados
será:
Y  A   Y
La evolución del estado a partir del instante t=t0 se
puede escribir como: Y t   e At t0   Y0 , en donde Y0 es el estado
en el instante t0.
Para apreciar el significado de los coeficientes de la
matriz A' calculemos su polinomio característico:
2
p(s)  detI  s  A  s  a   w2
Se recuerda que el polinomio característico de un
transformación permanece invariante frente a los cambios de
base, por lo que el polinomio anterior es el polinomio
característico de la matriz A. Las raíces de p(s) son
  a  j  w .
Para calcular el exponencial de A' la descomponemos en la
suma de dos matrices que conmutan entre si y cuyos
exponenciales individuales son bien conocidos:
 a 0   0  w
A  


0 a  w 0 
e
e
a 0
 0 a  t


 e a t

 0
 0  w
 w 0  t


0 
 e a t  I
a t 
e 
coswt   senwt 

  Rotwt 
senwt  coswt  
 a 0   0  w  0  w  a 0 
0 a   w 0   w 0   0 a  

 
 
 

At
a t
 e  e  Rotwt 
Donde se aplicó el resultado que dice que el exponencial
de la suma es el producto de los exponenciales que trantándose
de matrices se cumple si las matrices (sumandos) conmutan
entre si.
Entonces si en el instante t1 el estado es Y(t1), en un
instante posterior t2 el estado será:
Y t 2   e at2 t1   Rotw  t 2  t1   Y t1 
de coordenadas que desacopla las ecuaciones de estado en dos
independientes.
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Se puede interpretar la evolución del estado entre los
instantes considerados como una rotación de ángulo w(t2-t1)
del estado inicial Y(t1) alrededor del origen en sentido
horario seguida por una contracción (o homotecia) de constante
e at 2 t1  . Si la constante de contracción es mayor que 1, el
estado se alejará del origen (punto de equilibrio) a medida
que pase el tiempo y corresponde a valores de a>0. Para
valores de a>0 el sistema es inestable y por consiguiente si
el estado se aparta, por el motivo que sea, de la posición de
equilibrio se alejará de dicha posición.
La evolución del estado se realiza girando con velocidad
angular w en sentido antihorario y con una velocidad de
crecimiento de su distancia al origen dada por    a .
Si a=0, el sistema es un oscilador, en el sentido que
puede describir "órbitas" cerradas alrededor del origen
(siempre con velocidad de giro w).
Si a<0, el sistema es estable y las trayectorias serán
espirales que se enrollan sobre el origen.
Para completar el desarrollo general falta solamente
considerar que sucede si las entradas del sistema pueden tomar
valores de un conjunto discreto. En estos casos cambiará el
punto de equilibrio. Observar que los cambios de coordenadas
para "ver" la evolución como una roto-homotecia no cambian.
Entonces, para cada uno de los posibles valores del conjunto
de entradas, tendremos un punto de equilibrio (o vértice del
sistema) alrededor del cual el estado evolucionará de acuerdo
a la roto-homotecia fijada por los autovalores de la matriz A.
Cuando se produce un cambio en las entradas, vasta con dejar
el estado constante y cambiar el centro de la roto-homotecia
al nuevo estado de equilibrio. En la siguiente figura se
esquematiza la situación. En t1, el vector de entradas
constantes es tal que el estado de equilibrio del sistema es
Yeq1. De t1 a t3 el sistema evoluciona con la roto-homotecia
(determinada por los autovalores de A) con centro en Yeq1. En
t3 se produce un cambio en las entradas hacia un nuevo vector
constante para el cual el estado de equilibrio es Yeq2 que
pasa a ser el centro de la roto-homotecia.
t2
t1
Yeq2
Yeq1
t3
t4
t5
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Observación de un circuito LC.
En la figura se muestra el circuito al que nos referiremos
y la convención de signo adoptadas para las variables. En este
caso la entrada al circuito es la fuente de tensión constante
E.
Como primera aplicación de la sección anterior podemos
decir que si adoptamos como variables de estado la tensión en
el condensador (V) y la corriente en la inductancia (I) y
graficamos el estado del circuito en un plano (V,I), las
trayectorias serán órbitas cerradas alrededor del estado de
equilibrio fijadas por el estado inicial. Podemos además
adelantar que haciendo un cambio adecuado de coordenadas,
dichas órbitas son circunferencias.
I
C
L
- +
V
+
-
E
En este caso el estado de equilibrio es fácil de calcular
y corresponde a I=0 y V=E.
Las ecuaciones del circuito son:
C V   I
L  I   E  V
Escribiendo las mismas en forma matricial tenemos:
1

 0 
0  C
 1 
X  

X


1
 L E 

0 
L

V 
X  
I 
Los autovalores de la matriz A del sistema son las raíces
1
de: s2 
 0 ; por lo que en este caso la constante de
LC
amortiguación (a) es nula y la velocidad angular (w) es:
w 1
LC
Para poder visualizar correctamente las trayectorias, nos
falta identificar un cambio de coordenadas tal
 0  w
que: A  R  A  R 1  

w 0 
Lo más sencillo es realizar simplemente un cambio de
escalas en las variables de estado originalmente consideradas
 C
0 
así: Z  
  X . Entonces, si graficamos C V en abscisas
L
 0
y L  I en ordenadas las trayectorias serán circunferencias
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entorno al punto de equilibrio. Por comodidad etiquetaremos
los ejes con los valores de las variables de estado
originales.
Ejemplo. El siguiente es un ejemplo de análisis de un circuito
LC sometido a un generador de onda cuadrada.
La siguiente figura muestra el comportamiento del circuito
LC si E(t) es una onda cuadrada de valor E y 0 la mitad del
período en cada uno, partiendo del estado (0,0) y suponiendo
que en medio periodo el ángulo wt es pi/2
(I)
t2
t6
t4
t3
t0
0
E
(V)
t1 t5
La trayectoria comienza en el instante t0 estando el
circuito en el punto (0,0) en t1=t0+T/2, el circuito habrá
girado en torno a al punto (E,0) 90º en sentido antihorario,
en ese instante la tensión de la fuente vuelve a valer 0 y por
consiguiente cambia el centro de giro al punto (0,0). Durante
el siguiente medio periodo el estado gira 90º alrededor al
(0,0) hasta el instante t2 donde cambia nuevamente el valor de
la fuente.
La tensión del condensador en el instante en que es máxima
1
2 C E
 2  E , mientras que la corriente en t1 vale:
vale:
C
1
C
 C E

E.
L
L
Desde t2 hasta t3, el sistema evoluciona girando entorno a
(E,0). En t3 el estado alcanza el punto (0,0).
De t3 hasta t4 el sistema gira concentro (0,0) pero como
se encuentra en dicho punto la trayectoria es el punto (0.0).
A partir de t5 se repite la secuencia descripta.
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Conmutación forzada con tiristores.
La siguiente figura muestra una rama de un inversor a
tiristores constituida por los tiristores T1, T2 y los diodos
D1 y D2. El condensador, de valor C, y la inductancia, de
valor L, junto con los tiristores T3 y T4 forman el circuito
auxiliar que permitirá apagar los tiristores principales (T1 y
T2).
Se analizará el funcionamiento del circuito en el plano de
estado del circuito LC auxiliar.
T1
E
+
-
I
+
V
-
D1
T4
T3
T2
Io
D2
Se supone la carga es lo suficientemente inductiva como
para que la corriente de carga I0 permanezca constante durante
la conmutación.
Supongamos para comenzar que T1 está conduciendo y que el
condensador se encuentra cargado con una tensión E0 mayor que
E. En estas condiciones, T3 se encuentra con tensión aplicada
E0-E y por lo tanto un disparo sobre él será efectivo. Al
disparar T3 (t0), el circuito LC queda con tensión E aplicada
y oscilará entorno al (E,0) creciendo la corriente por la
inductancia I. Cuando la corriente por la inductancia iguala
al valor de la carga Io, la corriente por T1 es 0 (t1 en la
figura), como I sigue creciendo conduce el diodo D1 por donde
se deriva I-I0. La corriente I pasa por su valor máximo
1
C  E  E 0  
y comienza a decrecer. En el instante (t2) la
L
tensión en el condensador vale E/2 (mitad de la fuente de
continua). En este instante disparamos el tiristor T2 por lo
que la tensión aplicada sobre el circuito LC será 0 y el
centro de giro es ahora el punto (0,0). Mientras la corriente
I sea positiva sigue conduciendo T3. En el instante t4 la
corriente I intenta hacerse negativa y por lo tanto se corta
T3. Desde t2 hasta t3 conduce T2 dado que I es mayor que Io.
En t3 comenzó a conducir el diodo de rueda libre D2 dado que
la corriente I se vuelve menor que I0. Desde t3 hasta t4
conduce el diodo de rueda libre D2. En t4 se corta T3 quedando
el condensador cargado al valor negativo: (E-Eo). En este
estado se completó la conmutación de la rama, y conducirá D2
mientras que Io> 0; si Io se invierte conducirá T2 para lo
cual se debe mantener el disparo de T2. De t4 hasta t5 el
circuito permanece en el mismo estado que alcanzó en t4. En t5
disparamos T4 para iniciar el transitorio que apagará al
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tiristor T2 y poder prender T1 nuevamente. Si la corriente Io
se hizo negativa durante el intervalo (t4,t5) la situación es
simétrica a la de inicio. Si Io mantuvo su signo, el tiristor
T2 está en realidad cortado y al disparar T4 se reanuda la
oscilación alrededor del (0,0); en el instante t6 (instante en
que la tensión del condensador vale E/2) disparamos T1
obligando al circuito a girar ahora alrededor a (E,0) hasta el
instante t7, en que se cortará T4 y se alcanza la condición
inicial.
(I)
t2
t3
t1
to
t4
t5
Io
E
0
t7
(V)
t6
Para pensar.
 Dimensionar el circuito LC para garantizar con E= 300VDC que
se pueda cortar 100A con un tiristor cuyo tq es 40us.
 En la práctica se producen caídas de tensión en los
semiconductores hace que los centros de giro no sean
exactamente los dibujados sino que según el signo de I habrá
que sumar o restar al centro ideal, la caída total en los
semiconductores. Además las pérdidas tanto en la inductancia
como en el condensador hace que las trayectorias no sean
circunferencias perfectas sino que mostrarán un leve
amortiguamiento. Todo esto se debe compensar realimentando
el circuito de disparó para que en lugar de forzar el cambio
de centro cuando la tensión en el condensador sea E/2 lo
efectúe un poco antes.